CHAMPS DE PÉRIODES
Nous sommes dans la nécessité d'introduire encore une série de défini tions indispensables, car nous aurons à considérer à chaque pas, soit les objets qu'elles représentent, soit les propriétés qu'elles expriment.
Soient &,, 4, ..., &,, à périodes données, indépendantes ou non, E un ensemble quelconque de valeurs d’une variable réelle £. Considérons dans l'espace à n dimensions l'ensemble des points dont les coordonnées a
£,,..., £, sont données par les formules
EE md); ba Ë + Mi; En + Mis
£ appartenant à l’ensemble E, et »2,, 2,, ..., 17, prenant Loutes les valeurs
À: + et à A UT À entières positives, négatives ou nulles. L'ensemble des points 4, 6, ..., 4, définit le champ absolu (") relatif à l’ensemble des valeurs E.
(1) M. Bohl, dans un travail déjà cité, donne des définitions à peu près analogues, sous
le nom de classe, points de première catégorte, ete.
8/ E. ESCLANGON.
Si£,,Ë,,...,£, est un point du champ absolu, le nombre £ s’appellera la valeur congrue à cet élément.
A tout élément P du champ absolu ne correspond qu'une seule valeur congrue, si toutefois parmi les périodes considérées il y en a au moins deux d’indépendantes. En effet, si £ était congru au même élément P,
on aurait, en désignant par #1, 7n,, .., m,, les entiers correspondants, (Am) Um. = m)e—. (nn, mi) er,
s’il y a au moins deux périodes indépendantes, a, et a, par exemple, on en conclut m\—m, = 0, m, — m,= 0 et, par suite, Ë — £/.
Si £ est une valeur quelconque de l’ensemble E, le point de coordonnées égales P(£, &, ..., Ë) appartient évidemment au champ absolu, et £ est la valeur congrue correspondante.
Considérons maintenant le cas, et dans la suile nous nous placerons toujours dans celte hypothèse (à moins d'indication contraire) où l’ensemble E est formé de toutes les valeurs réelles de £ comprises entre — # el + æ.
Si P(E,, 8, ...,6,) est un élément du champ absolu, tous les points de coordonnées 6,+ À, 6, + À, ..., £,+7X appartiennent aussi au champ absolu; ces points sont situés sur une même ligne droite, que nous appellerons une caractéristique du champ absolu.
Les caractéristiques ont une signification géométrique très simple. Soit, dans l’espace à 7 dimensions, le domaine parallélépipédique formé au moyen des vecteurs @,, &,, ..., &, portés à partir de l’origine sur chacun des axes de coordonnées, et considérons le réseau de parallélépipèdes obtenu avec ce
parallélépipède fondamental. La droite
rencontre certains de ces parallélépipèdes qui découpent sur elle des segments de droite. Considérons les segments homologues dans le parallélépipède fondamental, et plus généralement dans tout parallélépipède du réseau; en prolongeant indéfiniment ces segments de droites, nous obtenons un ensemble dénombrable de droites qui sont précisément les caractéristiques,.
Le champ absolu est donc un ensemble de points bien déterminés, se composant de tous les points des diverses caractéristiques. Lorsqu'on se déplace d’une façon continue sur l’une d’elles, le nombre congru correspondant varie d’une manière continue; mais en deux points voisins du champ absolu qui ne sont pas sur une même caractéristique, les nombres congrus correspondants n’ont pas nécessairement des valeurs voisines.
Si, É2; -.., €, définissent un élément du champ absolu, le point de coordonnées £,+m,a,, E,+ mas, ..., E,+ m,a, appartient au même champ, quels que soient les entiers +3 les divers points ainsi obtenus ayant d’ailleurs même nombre congru. Le champ absolu est donc un ensemble périodique; 11 sera complètement déterminé lorsqu'il sera connu dans le domaine parallélépipédique
ES ae Le DS Che DEEE CD Ro Or
La définition la plus générale que nous venons de donner du champ absolu n’exclut pas le cas où plusieurs des périodes &,, ..., a, seraient nulles; mais ce cas ne présente en réalité que fort peu d’intérèt.
Nous allons étudier maintenant, d’une manière plus complète, la nature du champ absolu, en considérant son dérivé, c’est-à-dire l’ensemble formé par les points limites, et nous appellerons cet ensemble le champ total.
Quelle est la nature du champ total? c’est la première question qu'il importe de résoudre, en commençant par le cas le plus simple, celui où les périodes données 4,, &,, ..., 4, sont indépendantes, ce qui, bien entendu, les suppose différentes de o.
Champ total défini par un système de périodes indépendantes. — Nous allons démontrer que st &,, &,,..., a, sont des périodes indépendantes, le champ total se compose de tous les points de l'espace à p dimensions.
Je m'appuieral pour cela sur le théorème suivant :
Li, Le, …, &v étant des valeurs arbitrairement choisies, on peut trou-
ver des entiers m,, m,,..., m, et des nombres x, de facon que les quan-
86 E. ESCLANGON.
(1) THEM — Lys LE Malo — Lay cs LC + Mpdp = Lp sotent en valeur absolue inférieures à tout nombre donné &.
J'avais obtenu ce dernier théorème en montrant que s’il est vrai pour p—1 variables il est vrai pour p, lorsque j’appris que M. Bohl l'avait déjà établi dans son intéressant travail (‘) sur les séries trigonométriques avec plusieurs arguments proportionnels. M. Bohl déclare ignorer lui-même si ce théorème est absolument nouveau; il est à noter, en effet, qu'on peut le rencontrer, sous des formes plus ou moins variées, dans des recherches d'ordres très différents. Je ne reproduirai pas ici la démonstration complète de M. Bohl, me bornant seulement à en indiquer la méthode et renvoyant pour plus de détails au Mémoire déjà cité.
M. Bohl démontre que si &, &,, &,,..…., a, sont des nombres quelconques, différents de o, entre les inverses desquels n'existe aucune relation linéaire homogène à coefficients rationnels, on peut trouver des entiers m, m,, 1350 .. Jn, telsiquedes différences
(2) MO + Mit — Lys MO + Mal — Lo, sn» MA IRL Op Lp;:
OÙ, 3, ..., &, SOnt arbitrairement donnés, soient inférieures en module à tout nombre positif donné €. Considérons alors les périodes indépendantes &,,4a,,...,a,et l’ensemble des nombres & (?) donnés par la formule 1 La be De
FR
= ++... + a a; CA
OÙ Hi, Us -.., ft, prennent toutes les valeurs rationnelles possibles. C’est un ensemble dénombrable; il existe done dans tout intervalle des nombres x n'appartenant pas à cet ensemble. Si & est l’un d’eux on pourra, étant donnés %,, &,, ..., x, choisir les entiers »m, m,, ..., m, de façon que les
(1) Piers Bour, Ueber die Darstellung von Functionen einer Variabeln durch trigonometrische Reihen mit mehreren einer Variabeln proportionalen Argumenten, p- 4. Dorpat, 1893.
(2) C'est-à-dire les éléments du corps défini par &, &», à. Gps
quantités (2) soient aussi petites que l’on veut, et en posant »4 — # nous obtenons le théorème en question. On remarquera que parmi les nombres 4 permettant de rendre infiniment peutes les quantités (1) il y a des mulüples entiers de n'importe quel nombre non nul à condition que celui-ci n'apparlienne pas au corps des périodes &,, 4,, a). Nous pouvons maintenant interpréter facilement ce théorème. Si l’on pose
LH Midi — Ë1, D NIT 9 Do — Ces Fr AE lp — ce
les quantités (1) s’écrivent alors Etes Cor Lay ce) Ep — Lp3
comme £,, RE ca sont les coordonnées d’un point du champ absolu, on peut donc dire que, étant donné un point quelconque P de coordonnées Dis Los se.) y) 1 existe des points du champ absolu aussi voisins qu’on le veut du point P. En d’autres termes l’ensemble dérivé du champ absolu se compose de tous les points de l’espace; le champ absolu constitue un ensemble dense dans tout domaine à p dimensions, où enfin l’ensemble des caractéristiques du champ absolu est un ensemble dense.
Étant donné £, considérons tous les nombres # qui, avec un choix convenable d’entiers 72,, m,, ..., m,, permettent d'écrire les inégalités
(3) [x +mia— lle, Ne [tæ+ mL a,—x,|£e.
Il n’est pas difficile de se représenter la nature de l’ensemble des valeurs x ainsi caractérisées. À tout nombre x de l’ensemble correspond un point du
champ absolu dont les coordonnées satisfont aux inégalités
(4) [hi —2|£e, lÉe— 21e, 6 0} lËp— æh|£E,
el inversement. Or tous les points du champ absolu satisfaisant à ces conditions sont contenus dans un certain domaine D entourant le point P(x,, &,, .., æ,), domaine très petit défini par les inégalités (4). Soit C une caractéristique rencontrant ce domaine, qu'elle coupe en deux points Net N' distants de moins de 2e. Au segment NN’ correspondent des valeurs congrues æ comprises dans un intervalle très petit ##". À chaque caractéristique coupant le domaine D correspond ainsi un intervalle »2#' pour les
valeurs æ, et un système d’entiers 77,, m3, ..., m, restant le même pour toutes les valeurs x de cet intervalle. L'ensemble des nombres x est donc constitué par les valeurs appartenant à une infinité dénombrable d'intervalles moindres que 2e. Si € est assez petit, ces intervalles n'empiètent pas les uns sur les autres. Il suffit, pour l’établir, de montrer qu’à deux points du champ absolu compris dans D et situés sur deux caractéristiques distinctes correspondent des valeurs congrues distinctes. Soient, en effet, (£,,5,,...,6,), (E', Es «.., 6,) ces deux points; x, x’ les valeurs congrues correspondantes ; on a respectivement pour certaines valeurs des 7», mn
TIME; æ'+ mia = Ë; les caractéristiques étant distinctes, les entiers »; — m; ne sont pas tous
= [ nuls; si par exemple #1; —m;=£ 0, on à
; " , DIE LÈ— à —. En (m;— m;) dis
c’est-à-dire
RAA EE | (My m;)a;| — ER > |ail— 2e;
par conséquent, si € est assez petit, les intervalles auxquels appartiennent respectivement # et x’ n’empiètent pas l’un sur l’autre.
Si maintenant l’on faisait diminuer €, certains (‘) des intervalles #n' disparaîtraient, les autres diminuant seulement d’étendue; mais il n’y à pas d'intervalles limites lorsque € tend vers o; tous les intervalles s'élimineraient successivement à mesure que € deviendrait de plus en plus petit, si toute fois le point P(x,, .….,x,) n’est pas un point du champ absolu.
Parmi les points du champ limite, ou champ total, on pourrait faire encore de nouvelles distinctions. Reprenons, en effet, l’ensemble des nombres x dont il vient d’être question et correspondant à la valeur &. Parmi ces nombres, 1l Y en à toujours une infinité dénombrable pour lesquels l’une des quantités x + m;a;— x;eslexactement égale à o, et cela quel que soit e.
Il suffit pour s’en rendre compte de remarquer que le plan X,—x;= 0
£ coupe, à l’intérieur du domaine D, une infinité dénombrable de caractéris-
(1) Une infinité dénombrable.
ques. Mais il n'existe pas en général de nombres x pour lesquels deux des quantités & + m;a;— x; soient nulles; les points du champ total pour lesquels il en est ainsi constituent un nouvel ensemble dans ce champ; les points du champ total pour lesquels trois des quantités x + m;a;— x; pourraient devenir nulles, pour des valeurs convenables de x et des m,, formeraient un troisième ensemble, et ainsi de suite, .… les points pour lesquels toutes les quantités & + m;a;— x; pourraient devenir nulles constituant enfin le champ absolu. Ces classifications n’ont en réalité aucun intérêt, et je les laisserai complètement de côté.
On remarquera que nous écartons également le cas où p = 1, c'est-à-dire celui où il y aurait une seule période. Le champ absolu comprendrait alors toutes les valeurs réelles, mais à un point de ce champ correspondrait une infinité de valeurs congrues.
Champ total défini par un système de périodes dépendantes. — Soient 4, d, ..., d, des périodes que nous supposons dépendantes, mais différentes de o. Parmi ces périodes il y en a un certain nombre d'indépendan POInid 4... 0, Des périodes d,,,, ..., ad, verihent alors des relations de la forme
VA ri lo 4
— (re a OT ER)
€ p+1 d A ah
(1) Rene Nr amer oies eue (ei ele , Rp Rp rue ane os no.
An da, A Xp
dans lesquelles les coefficients 7° et y sontentiers, les coefficients g;, r1, 1e d’une même ligne pouvant être supposés premiers entre eux.
Voyons d’abord à quelles relations satisfont les coordonnées des points du champ absolu. Soit P(E,, &,, ..., &,) un point de ce champ; on a pour
une certaine valeur £, el avec un choix convenable d’entiers m,, m,,...,m,, PT = C1; Eore + Mplp— Ep Le OUT, ce que l’on peut écrire
(ei Gi 5 Gn ; = = — m;, M à 1.
CA a An di
E. ESCLANGON.
en multipliant les p+r premières de ces relations, respectivement TER 4 APR «x
Par 7, Pas ce Tps — Q1s ajoutant et tenant compte de la première des
relations (1), on obtient
/ Cp+1 61 1 G2 ; SpA\ 1 ñ == ge ne TI LA HT, = )=impn — (rt ++mprs = Mi,
Gp S1 mile .2 ,2 + 2 — ee RC de + ri ZE) = gares — (nur +..+ mr )= M, CE p+a \ a; Up D SCD Dot D AE an CA GI Do ü ae qe .
Gn S 61 ‘ ip OPI\ ie .A—p ADN np = |\Ti PL PRE | = og ,ma (Mar rm Tr = Mr.
| 5 ” di 1 hp
Nous allons montrer que les coordonnées des points du champ total satis-
font à des relations de la même forme.
Soit, en-elfet, P(x,,x,,...,%,) un point du champ total, il existe des
nombres : et des entiers 722,, m,, ..., mn, tels que les quantités VMEMTONCT, = CE CAT nono LR ln Dr = An soient, en module, inférieures à tout nombre donné. On türe de là :
GE GE CA 5e Dr —- RENE er sn RC:
= nl; —+ ? ss nm, Cho
“à a; a; ln Ge
ou, en faisant les mêmes combinaisons que précédemment et tenant compte
des relations (1),
€ p+1 di ph .1 1 7 ? I D À p+1 == CA L T Xp ] di ph € p+1
Le premier membre de cette relation est la somme d’un nombre fixe et d’un entier positif ou négatif, le second membre est infiniment petit. Or le premier membre ne pourra être rendu infiniment petit que si le nombre fixe
gs (1 he Tr 2) D Xp+i @i ph
est un enter, et un enter de la forme
A / | A D | Mi mMphigi=(MuriE Mara Et CR Tp)
Pour que #,, æ,, ..., æ, puissent être les coordonnées d’un point du champ total, il doit donc exister des entiers 7»,, m3, ..., m,, tels que l’on ait
Dr a Doi) a ) FDEUON =
An-p— — (: le æ) Une Mn (Ni er ent 0) Me, c'est là une condition nécessaire; nous montrerons dans un instant qu’elle est suffisante. Auparavant examinons d’un peu plus près cette condition. Les premiers membres de (3) doivent être égaux à des entiers M,, ..., M mais ces entiers ne sont pas en général quelconques : il faut que les équations
ee — Mali... MpT, —=M,;,
aient des solutions entières en »?,, m,,...,m,,...,m,. I en serait toujours ainsi si les entiers g,, gs, -.., Qn » étaient égaux à l’unité. Sinon nous remarquerons que les équations (4), privées de leurs seconds membres, sont algébriquement Ne puisqu'elles sont résolues par rapport aux dariablee 72, 7. Pourreconnaitre, étant donnés M, M," elles ont des . entières, il suffit de s'appuyer sur un théorème établi
par M. Méray (‘), dont je rappellerai l'énoncé :
Pour que les équalions algébriquement indépendantes, à coefficients
entiers
aPrit x +...+ ait = bn,
admettent des solutions entières, il faut et il suffit que les déterminants
(:) MÉRay, Solution du problème général de l'Analyse indéterminée (Annales de l'École Normale, t. XII, 1883).
92 FE. ESCLANGON.
d'ordre p formés avec les éléments du Tableau
1 1 1} DO en A
P P p DEP CE Are AE
atent pour plus grand diviseur un nombre d divisant tous les détermi-
nants obtenus en remplaçant dans les premiers une colonne quelconque Ou Par be:
On pourrait donc par un nombre limité d'opérations arithmétiques reconnaître si les entiers M,, M,, ..., M,, permettent la résolution en nombres entiers des équations (4).
Démontrons maintenant que les conditions trouvées sont suffisantes et que si elles sont vérifiées le point P(x,,2,,...,æ,) est un point limite.
Par hypothèse il existe des entiers déterminés »,, ..., m, satisfaisant aux relations (3). Plaçons-nous tout d’abord dans le cas particulier où les seconds membres des relations (3) sont nuls (M, =M,=...—M,,—0), et remarquons que, les périodes &,, a, ..., &, étant indépendantes, les périodes À,4,, À,4,, ..., À,4,, où les À sont des entiers quelconques non nuls, le sont également. On peut donc trouver des nombres æ# et des entiers M, Le, LL. de dacoD Que DA di) Tu (0 an) soient aussi voisins qu’on le veut de x,, æ,, ..., æ,. En particulier, faisons
M Mens tg, ‘q è ier divisibl PCI | 1er P g étant un entier divisible par chacun des entiers q,, os .., n-p. FOSONS
LE + H19 = Li + SG Ge EL + BpI 4 p—= Lp + Up el
/ ns NT, Es DORE pit pi lets ER DIN Cnil ln
les quantités &,,æ,, ..., «, étant infiniment petites, et les entiers »2,,,,..., m!,
étant pour l'instant indéterminés. En éliminant x entre ces relations et les
relations (1) existant entre les périodes, on obtient 72 — p relations, telles que la suivante
q: T p+1 (r: DA ni 72) 52 5 Ap+1 a; de : 1 7 7 Q sil 1 nr Da p VE = 91 Mpya — 9 (HaPit- EUpTi) + di boot C2; CL pat >
ou, à cause des relations (3), dans lesquelles M,, M,, ..., M,, sont nuls,
(5) Tapn— D(BA TEE Br) pa UE — (a li CAR :)
et 7 — p — 1 relations analogues.
S1 nous choisissons
LA q 1 s d UE le IA CP Eur) ! er q .1—p 1—p TOR (ri ans au. 4 D In—p
les premiers membres des relations (5) devenant nuls, et &,, &, ..., ©, étant infiniment petits, il faut nécessairement que ,,,, ..., æ&, soient eux-mêmes infiniment petits, et la proposition est établie dans ce cas; le point P(x,,æ,,...,x,) est bien un point limite du champ absolu.
Supposons maintenant que les entiers M,, M,, ..., M, , ne soient pas nuls, mais soient de la forme (4). Alors, d’après la proposition qui vient d'être établie, le point Q de coordonnées +, — m,a@,, &, — m,@,., Zn — My &, est un point limite comme le champ absolu est un ensemble de points admettant les périodes a,, a,, ..., a,, il en résulte qu'il y a aussi des points du champ absolu, aussi voisins qu'on le veut du point BP 2%. 71); etle theoréemeseltrouve démontre dans lé"casrgéneral. Les conditions (3) sont nécessaires et suffisantes.
On obtient donc tous les points du champ total en considérant les points dont les coordonnées vérifient les équations
L p+1 Ti 1 Th Ci Er! == +rl —, dp+1 di € hp (6) RE un ue :
Th np T1 np Tp P Î | np — F}; ù Sie ip ?
n di Ah
eten ajoutant aux coordonnées de ces derniers respectivement, des multiples entiers quelconques de périodes 4,, &,, ..., a,. Les relations (6) se déduisent très simplement, comme on le voit, des relations (1) existant entre les pé-
riodes. Nous les appellerons les formes adjointes des relations entre les
94 E. ESCLANGON.
° ° il périodes. On les obtient en remplaçant dans ces dernières les nombres A
] J . : I] . ae bl Ti æ) Ln .
— y ce) — respectivement PAreles VATADIES ES ETES éLICECI permet UE L Gi 2 (7
d'écrire les formes adjointes lorsque les relations existant entre les périodes ne sont pas mises sous la forme (1).
On voit finalement que, parmi les 7 coordonnées d’un point du champ total, il y en a p seulement d’entièrement arbitraires. L'ensemble des points définis par les formules (6) est formé de tous les points d’un espace à p dimensions compris dans l’espace à 7 dimensions, et le champ total se compose d’une infinité dénombrable d’ensembles analogues (*). Pour ces raisons nous appellerons ordre d’un champ le nombre des périodes qui sont indépendantes parmi celles qui servent à le définir.
Il nous reste encore quelques remarques importantes à faire.
1° Si x,, æ», ..., a, sont les coordonnées d’un point quelconque du champ total, il existe des entiers 72,, m,, ..., m, satisfaisant aux relations (3); il en existe alors une infinité. Pour que 7», m,,..,,m,...,m, soit un autre système d’entiers satisfaisant aux mêmes relations, il faut et il suffit en effet que l’on ait
Di (Ma Mon)=ri (mm) + (m—m)+.+ri (mm),
: ! er — / = D SD Nr A) TT ACL NE Ce Dia er (me MS)
Or ces équations ont toujours des solutions entières (6) par rapport aux
inconnues (m2, — M,), ..., (m,—m,). Chaque fois que, pour des valeurs convenables de x, les différences
LT + Mid — Li, , LM n — Ln
(1) Ces ensembles, qui sont des ensembles continus de points, sont distincts, c’est-à-dire n'ont aucun point commun. De plus, si l’on considère deux de ces ensembles, la distance de deux points quelconques pris respectivement dans chacun d'eux a un minimum différent de zéro.
(2) Les résultats énoncés dans le Mémoire déjà cité de M. Méray permettraient d'obtenir la forme générale de ces solutions entières, mais cette forme générale ne nous intéresse pas
pourront être rendues assez petites, le système d’entiers 7°, ..., m! satisfera aux conditions (7).
Ici encore, comme dans le cas de périodes indépendantes, l’ensemble des valeurs x pour lesquelles on a, avec un choix convenable d’en- DCE ON ERA
|t+ma—xlSe, es [ZE mia =]
se compose de toutes les valeurs comprises dans une infinité dénombrable d’intervalles inférieurs à 2e.
2° Considérons le cas particulier où les entiers 4,42, ..., Qn » Sont tous
égaux à +1 (ce qui arriverait par exemple si, aux périodes &,,,, @,i25.., Gn,
ë b . « [42 on substituait leurs sous-multiples 2, ... un).
Val | Jn—p La restriction que l’on doit faire dans le cas général sur les entiers M,, M,, ..., M, , disparaît; ces nombres peuvent être quelconques, car les équations (4) ont alors des solutions entières en »,, m,,..., m,,..., m, quels'quesoïent M,3:.. M, Dans ce cas, si l’on a déterminé des entiers m,, m,,...,m, et un
nombre x de telle façon que les quantités
L ” ! , (8) = L+ My — Li, es Lip = L + Mpp— Lp
soient infiniment petites, on peut déterminer des entiers m,,,,..., m, de
façon que, pour la même valeur x, les quantités
! — x ! — (9) pi E + M pi Cpra = Ppti Re Gi dE Min LR
sotent aussi infiniment petites. On peut écrire en eftet
2 ’ ri = En de.
(10) GAS Tito ie ati Mur; eo (Wtz DES : 1 Fe ga l'; 2 =? À | (C: os À »
P+A1 1 L ] dp+1 d Xp
puisque g, = 1, on peut prendre LES TT ta (m — IN) 7 SET Gao (mn, — Mp) RS
le premier membre de (10) est alors nul; æ&,, &,,...,«, étant infiniment
90 E. ESCLANGON.
peuts, il en est de même de &,,,. On arrivera à la même conclusion
pour &
Dos Crete
SLA ny see, SONT Nuls, %,.1,..2, @,serontnuls, de sorte que; dans CE CAS, 4, Los .., &, Clant un point quelconque du champ absolu défini DArLGi ee de € sa valeur congrue, en déterminant &,:,, ..., &, par les formules (6) aux seconds membres desquelles on peut d’ailleurs ajouter des entiers quelconques, le point de coordonnées x,, ..., Æn, Æpiys ces Œn devient un point du champ absolu défini par àa,, ..., a, et € sa valeur
congrue. Nous aurons tout particulièrement à nous servir de cette remarque.
