CHAMPS ÉQUIVALENTS, CHAMPS MULTIPLES D'UN CHAMP DONNÉ

Définttion. Soient (a,, 4, . 4), (b,, ba, .., b,)deuxeystemende périodes quelconques, A et B leurs champs absolus respectifs. Nous dirons que deux points P et Q pris respectivement dans les champs A et B sont correspondants, s'ils correspondent à la méme valeur congrue £.

Ceci posé, les champs À et B seront dits équivalents si, Pet Q étant deux points correspondants donnés, mais quelconques, à tout point P'du champ À voisin de P, on peut faire correspondre un point Q'(correspondant de P) du champ B voisin du point Q, et inversement. D'une façon précise, il faut qu’à tout domaine D entourant P on puisse faire correspondre un domaine À entourant Q, de façon que tout point du champ absolu A, pris dans D, ait un correspondant dans le champ B contenu dans A, et inversement. |

Un point quelconque pris dans l’un des champs possède dans l’autre une infinité de correspondants; par exemple au point P de coordonnées

Étui, ss EE Em an correspondent dans B tous les points de coordonnées Henri D, n lg Con, be

où les entiers 2,, ..., n, sont arbitraires.

Il résulte de la définition même que deux champs équivalents à un

Lroisième sont équivalents entre eux.

Champs équivalents de périodes indépendantes. — Soit A un champ défini par les p périodes indépendantes 4,, 4,, …., 4,3 proposons-nous de déterminer tous les champs de périodes indépendantes qui lui sont équivalents.

Soit ,, b,, ..., b, un système de 4 périodes indépendantes dont je suppose le champ B, équivalent au champ A. Je vais montrer que q=p et FRANCE PRES b,) sont deux bases d’un même corps réduit (voir p.77) : le corps réduit dé fini Dar Abe GMar rar,

Montrons par exemple que D, appartient au corps des périodes &,, ds, dy Soient P et Q deux points correspondants donnés dans les

champs À et B,

( ) \ IE Con Mi Ge Ci CLONOT) É EMEA) — 60 (| « [Q Ann TA UN CR Vo

et y, une valeur réelle arbitraire. Si les périodes a,, a,, ..., a,, b, étaient indépendantes, on pourrait déterminer £ et les entiers 7°, m!, …., ms; D; de façon que les quantités

Cl ! Eiq cl ! nt el 1 a h) BE He = es es nm OC E+nibi=n;

La : k , différent respectivement aussi peu que l’on veut des nombres £,, ..…., de Soit P’ le point de coordonnées £, ..., £,. Puisque les champs sont équi-

valents on pourrait, d'autre part, trouver les entiers »;, n,, ..., n; de façon que les nombres

ou ñ ’ , 2) / nr) E + n bi=n,, É ÆN3-02— Vo» BTE OU ie

» . sw x . . Es al £ ee / soient respectivement voisins de 1,, 2, +, 99 En particulier, Ê+n,b;=1, devrait être, par un choix convenable de l’entier #,, voisin dé, -:Orona

(nn); — ee cie (ni — Yi) — (ni — M).

Puisque (n, — y,)et (n, — n,) sont aussi petits que l’on veut, il faudrait que y, — 1, soit un multiple de b,; or y, est arbitraire ; cela est donc impossible. La période D, appartient au corps &,,&@:,..., 4; démemer#b".2, Inversement @,, 4,, ..., à, appartiennent au corps ,, D, D, Donc p = q. Les périodes b,, b,, .., b, s'expriment par conséquent en fonction