FONCTIONS PÉRIODIQUES D'UNE VARIABLE

Soit f(x) une fonction de la variable réelle x, définie pour toutes les valeurs de x comprises entre — &æ et + +. Le nombre a est dit période si l’on à, quel que soit x,

Il est clair que si à est période, ma, où m désigne un entier quelconque positif ou négalif, estégalement période. L'ensemble formé avec les périodes comprend donc toujours, si la fonction est périodique, une infinité de termes qui, en valeur absolue, dépassent tout nombre donné. Quelle que soit d’ailleurs la nature de cet ensemble, ce dernier doit satisfaire aux conditions suivantes : si 4, a’ sont deux termes quelconques de l’ensemble, la somme, la différence, et plus généralement tout nombre de la forme ma + m'a’ (mn, m' élant deux entiers quelconques positifs ou négatifs) appartient aussi à l’ensemble.

Relativement à la nature de l'ensemble des périodes nous distinguerons deux cas, suivant que les modules des périodes ont ou n’ont pas o comme minimum absolu.

1° Les modules des périodes sont supérieurs à un nombre fixe À different de o. Soit « une période; toute autre période b est nécessairement commensurable avec 4, sinon on pourrait déterminer des entiers » et n de façon que la période #74 + nb soit aussi petite que l’on veut, par suite inférieure à À.

D. ee …. >) a élant une période, toutes les périodes sont donc de la forme 2®, petq q

étant deux entiers que l’on peut supposer premiers entre eux; enfin si a

pa ne a De el Fi sont périodes, - estaussi période, car on peut choisir #2 et n de façon

que mq + np = 1, et alors

pa a MA +N— = —.

0 ol

= Le is (Le :

Considérons toutes les périodes de la forme a il y en à une qui est

e + , [42 . is plus petite que toutes les autres, soit & — a Alors si b est une période

quelconque, elle est nécessairement de la forme b=pa, car si elle se

mettait sous la forme (p, g premiers entre eux), or serait aussi

CR [4A « . a période, et 7 est, par hypothèse, la plus petite période de la forme à {1

Ainsi dans ce cas »l existe une période & que nous appellerons la période minimum, telle que toutes les autres périodes soient de la forme ma, rm étant un entier quelconque positif ou négatif, et d’ailleurs tous les nombres de cette forme sont des périodes.

2° Les modules des périodes ont o comme minimum absolu. Cela veut dire que, étant donné p aussi petit que l’on veut, il existe des périodes comprises entre — p et + 9. Alors l’ensemble des périodes est un ensemble dense dans tout intervalle ; en d’autres termes, étant donné A, il y a des périodes aussi voisines que l’on veut de A.

Ceci posé, soit x, une valeur quelconque de la variable, et considérons l’ensemble des valeurs x, + a, où a désigne une période quelconque. Cet ensemble est également dense dans tout intervalle, et la foncuon f(x) a la mème valeur pour tous les points de l’ensemble. Supposons que la fonction f(æ) ne soit pas une constante; il existe alors au moins une valeur #, pour laquelle f(x,) £ f(x, ); l'ensemble x, + a est également dense dans tout intervalle, et l’on a

fera) =) (ri):

Par conséquent dans tout intervalle aussi petit qu'il soit, on pourra trouver des points pour lesquels f (æ) a la valeur f(x,) et des points pour lesquels

1 4 E. ESCLANGON.

f(æ) à la valeur f(x,). La fonction f(x) ne serait continue en aucun point, elle serait totalement discontinue ().

Nous partagerons donc en deux classes l’ensemble des fonctions périodiques : la première qui comprend les fonctions périodiques admettant une période minimum, la seconde les fonctions périodiques admettant des

périodes infiniment petites.

A la première classe appartiennent certainement toutes les fonctions périodiques continues ou ponctuellement discontinues, mais certaines fonctions totalement discontinues peuvent également appartenir à cette classe.

Quant à la seconde classe, elle se compose nécessairement, à part les

constantes, de fonclions qui sont totalement discontinues.

Nous exclurons de notre étude les fonctions de la seconde classe, à Pexceplion toutefois des constantes pour lesquelles tout nombre peut être considéré

comme une période.

Remarques. — 1° Si une fonction périodique f(x) admet une dérivée f’(æ) pour toutes les valeurs de æ, cette dérivée est évidemment périodique et les deux fonctions f(x), f'(x) ont toutes leurs périodes communes. Îl est évident que toute période de f(x) appartient à f(x). Inversement f(x) étant périodique, toute période de f’(x) appartient d 7):

En effet, soient a la période minimum de f(x), et b une période quelconque de f(x). On conclut de là

, f(x +b)=/f(x) +A et, par suite, J(æ+ma+nb)=f(x)+nA.

Si b était incommensurable avec «4, ma + nb pourrait être choisi aussi petit que l’ou veut, d’où l’on conelurait À — 0, et, par suite, f(x + b) = f(x),

(1) I existe des fonctions totalement discontinues admettant des périodes infiniment petites. Tel serait le cas d’une fonction égale à o pour les valeurs rationnelles de +, à 1 pour les autres valeurs; l’ensemble des périodes se composerait alors de l’ensemble des nombres rationnels.

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 1 ce qui est impossible, On a donc DA Pom ne q

s il À e et, d’après le même raisonnement, npa f(x + Ma + a ) = f(x) + nÀ,

CA n}) ou, en choisissant »+ et n de façon que m + Een z

fix+a)=/f(x)+nA;

d'où

et, par suite,

ce qui entraine J= 1%

la période b appartient donc à f(x).

2° Soit f(x) une fonction périodique; si l’on effectue sur x une substitution linéaire, la fonction reste périodique et la nature de Pensemble des périodes n’est pas modifiée; d’ailleurs les substitutions linéaires sont les seules transformations définissant une correspondance univoque de — © à ++ entre les variables, et conservant la périodicité vis-à-vis de toutes les fonc-

tions périodiques.