NE
E. ESCLANGON.
de a,,a,,..., a, par des formules de la forme
1 1 {1 li lo lp = | He rat ; ” 7 b, d te ap 7 qe 7 (23) > = eee ss Dee vale relie ee , = AO) P .P V2 p rÊ lp 1 SUP TE = oaticourcs 559 b, 4, :
les coefficients g et 7 sont entiers, et l’on peut supposer que les coeflicients d'une même ligne n’ont pas de diviseur commun. Je dis enfin que
DE A D = et AEUr
Soient, en effet, P et Q deux points correspondants donnés (1). L'élimi-
nation de £entre les relations (1) et (2) donne
LUN 1 é 1 Ep ; 1 0 Dee nn, = gi —(rinu +. +, mp) 1 di Up (3) 0 Da Den ONU O OL OLO DE Denie D Eos dodo 0 coin ts ON DNUOLo OS DU UD GED eo , Np 1 Es = (pet PS) — (7rP .P PT. (ri LE ni = gpl (M Eee EM).
Geci posé, soit Q’ un point du champ B voisin de Q; n,, n,, ..., n, ses coordonnées
NES) ! SRE AT 0 $ Ni 71,08 . Né n;b,:
si P’ est un point correspondant quelconque de Q défini par les entiers arbitraires 72,, ..., 21, on aura entre les coordonnées de P’et de Q des relations analogues à (3) où les lettres seraient accentuées, et, en les retran-
chant respectivement des équations (3), il viendra
(im) (CÉret) mor)
di ne on, ne 2 +...+r! E. | = giCn ri) [rm ent) ONE (m,— m,)], (A, Np) Ce — € ) (E FR 5)
DR bem ne er ECC ENESE rh Cm, — m)]
Puisque les champs sont correspondants on pourra déterminer les en- Fe a e L21172070 7 TASSE
tiers m,, m,,..., mm, de façon que ce soient respectivement voi-
sins de &,, 6, ..., &,. Les premiers membres de (4) seront alors très petits; comme les seconds membres sont des entiers, ceux-ci devront être nuls. Il faut donc en définitive que, par un choix convenable d’entiers Miss. M, on ail
| PAU AU TE Om — 7), TOME, — mp),
(5) D nn uen re te et .
| Do lp) TE (M, Mi) +... rem)
(6) ri ,
admettent des solutions entières en #,, ..., æ,. Si cette condition est remphNelponte"/%"ceralars voisin duvpoint &,, £, ..., E commele montrent les relations (4) où les seconds membres sont devenus nuls. Or, d’après le théorème déjà cité de M. Méray (p. 91), il faut pour cela que A
divise tous les déterminants d'ordre p formés avec les éléments du Tableau
V2 D : (RES | Ten OU CUp(Re— Rp)
Ces conditions sont toujours réalisées lorsque A — + ret
h=g=. gel
-Ceci montre déjà que les champs absolus obtenus avec les diverses bases
du corps réduit défini par &,, @,, ..., a, sont tous équivalents. [l'est facile
. “2. . [ x de voir que ce sont les seuls. Etablissons pour cela que ;- par exemple |
, es : ne s LS à nl s'exprime en fonction linéaire à coefficients entiers de nn ! 2 P
Ecrivons en effet
: ' , Q Éric ù léténterss se, s, étant supposés n'avoir aucun diviseur commun.
100 E. ESCLANGON.
Si l’on pose
1| à = a ) a a, &, 54 on pourra trouver une base (') a, &,,..., a, du corps réduit (4, die @n) 5 or / ; . . / 2 qui comprend la période a. Les champs définis par à;, &,, ..., @ etb,, b:, ..., b, sont encore équivalents. L’on a ici
Ti TA / b, a 9 2 GÉRPQUE PA lp — 0 Les 1 Ù Gn Da, do a,
et les équations (6) deviennent
D Ci Jp)
Tite ET pales Ni)
ces équations doivent avoir des solutions entières chaque fois que les quanutés
(ni—=nm)h=(n—n)t, (nm m)b-(n—nr;)8,
deviennent très petites. Or il est clair qu’on peut rendre ces quantités aussi F petites que l’on veut, avec un système d’enuers (n,—n,)...(n,—n,), dans lequel (7, — #,) n’est pas divisible par g,; les entiers g,, g' pouvant A , : . fini ni) A ètre supposes premiers entre eux, et le nombre Fa rue devant être entier, 1l faut nécessairement que g,==1. L’équivalence étant une pro-
priété réciproque, on en conclura également 9,=— 1. Il viendra donc en définitive
= — - + L, b, ai de DO RS ; I SA £ se Se : SE ; b, a; de
(1) Voir le théorème établi dans la Note T, à la fin du présent Mémoire.
A ft Q , . I I 1 ae .
comme la même propriété doit avoir lieu POUT —; —» ++.) —, vis-à-vis
ay p DT 1 Rd )
RD res il faut de plus que
.p Sh
ce qui établit la proposition. Les champs équivalents sont tous fournis par les bases du corps réduit.
Champs équivalents à un champ donné de périodes dépendantes. — Soient maintenant &,, @,, ..., a, des périodes dépendantes, parmi lesquelles p sont indépendantes, par exemple &,, &,, ..., a,. Je veux montrer
qu'il existe un champ de p périodes indépendantes équivalent au cham P CORDES A... On
. il ï [l . . . .
Il existe, entre LU D relations distinctes à coefficients
tait: Un
entiers de la forme,
si s, de — ++ +. + —o, UR CE An
Cd —— {'55660000864 30000000) oo coop , Hp n—p n—p pe ss sh es à == 2 Q = O, di d2 Xn
[l 1 Sp+1 Sn
Rp n—p S p+1 Sa
est différent de 0.
Je m'appuierai sur le théorème suivant :
Étant donné un Tableau de n(n—p) nombres entiers
1,02 E. ESCLANGON.
si l’on désigne par A le plus grand commun diviseur des déterminants d'ordre (n — p) formés avec les termes de ce Tableau, on peut trouver un système de np entiers u{, de façon que le déterminant
(l 1 il Bi Ma + Un D ) P Pi ue? Pa (a 1 [l Il S; S2 Sn Sas Re
soil égal à A.
Je ne sais si ce théorème est connu, j'en donne dans tous les cas une démonstration que, pour ne pas interrompre la suite des idées, j'ai placée dans une Note à la fin de ce travail.
Les entiers y} étant ainsi choisis, posons
