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Ceci posé, soit p le plus grand des nombres permettant, étant donné e, de satisfaire à lPinégalité (5) sous les conditions (3); 9 est une fonction de x,,%:,...,%,. Lorsqu'on fait varier +, %,,..,,2,, p à un minimum absolu différent de o. En effet, la fonction F(x,,...,x,) étant périodique,

on peut se borner au domaine parallélépipédique

< OZ < di, o 0 0 =Ty < Aye

Si p avait un minimum nul, il suffirait, en suivant une méthode classique, de considérer un ensemble de points pour lesquels 9 serait de plus en plus peut, ettendrait vers o. Alors, P étant un point limite, il ne pourrait exister pour ce point de nombre 9 >> 0 permettant d'écrire les inégalités correspondantes(3)et(5), ce qui est impossible. Il en résulte done, qu’étant donnée, on peut choisir p de telle facon que (x,,x,,...,x,) étant un point quelconque (du champ absolu ou du champ total) et (£,,8,,...,6,) un point quelconque du champ absolu, ces deux points étant assujettis aux seules conditions

lé <p, AE [En Æn| <p; on ait

le lee La démonstration s'achève maintenant sans difficulté. Soient PTE L DANCE 2) deux points quelconques assujettis seulement à vérifier les inégalités

[æ, —æ | <p, Te EUR A ESQE

On peut alors trouver un élément du champ absolu (puisque celui-ci est dense dans tout domaine) £,,£,,...,€6, pour lequel on a simultanément

Lai <p, 9 Gif) mp, LE AEST eee Léna, |<p;

par suite, | F(x;, "2 +» Tn) # pe se a) | Cs ES sie HE) LS F(E*, wie 2) LE;

d’où

PR rer) Nue Am )| 2e, ce qui établit /a continuité uniforme de la fonction K dans le domaine

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