EF

122 E. ESCLANGON, et, par conséquent, dans tout domaine tnfint. La foncuon (ANNE, A0)

est donc une fonction quasi-périodique uniformément continue.

D'ailleurs, à part la périodicité et la continuité, la fonction F(x,,æ,,...,4,) est quelconque; en d’autres termes, foule fonction F(x,,x,,...,,) conuinue et périodique définit une fonction quasi-périodique uniformément continue

EAN A attachée au champ des périodes @,, a, ..., &,. En tout point du champ

absolu, on a bien, en effet, CE) == F(Ë, 6 ac Nr

F(E,,6,...,4,) étant uniformément continue sur le champ absolu. On verrait sans peine que st deux fonctions continues périodiques F(x,,2,,...,æ,), D(x,,%,...,%,), à périodes indépendantes, deviennent identiques lorsqu'on Ja, —%;—...—%,— 2, ces deu fonctions Sontidentiques pan

rapport à l’ensemble des variables.

La deuxième définition, qu'on vient de comparer à la première, montre que lorsque 7 —1-0on retombe sur la définition des fonctions continues simplement périodiques.

Examinons maintenant les fonctions caractérisées par M. Bohl dans un Mémoire cité (!) et voyons de quelle façon elles se rattachent aux fonctions quasi-périodiques.

M. Bohl considère une fonction f(x) qui, dans un domaine donné T (domaine qui du reste peut être infini), est développable en une série unifor-

mément convergente (6) f(a)=w+u+... +<uw+..….,

dans laquelle le terme général w, est un polynome entier en

3b L JE . ; COS2T—) COS2R—)» +++) COS2R—5 SIN2T—» +e.s SIN2T—» a; 2 a a Gr

(1) Voir l'Introduction.

les périodes &,, a, ..., a, étant différentes de o, mais quelconques, c’està-dire indépendantes ou non.

On peut remarquer d’ailleurs qu'en transformant les produits de sinus et cosinus, en sommes de sinus et cosinus, chaque terme &, peut aussi se mettre sous la forme d’une somme finie de termes de la forme

M, ..., M, étant des entiers positifs, négatifs ou nuls. M. Bohl a formulé, et c’est là le principal objet de son Mémoire, une condition nécessaire et suffisante de l'existence d’un tel développement :

Il faut et il suffit, qu'étant donné € positif, on puisse déterminer un nombre positif à de façon que, x ex +h appartenant au domaine T, on ail

[fx + h)— f(x)1<e chaque fois que les nombres

la hi li

4, A2 An

différent de nombres entiers de moins de à en valeur absolue.

Je laisse de côté la nécessité de la condition qui est presque immédiate. Pour en établir la suffisance, M. Bohl montre d’abord que, si elle est satisfaite, 1l existe une fonction continue K(x,,...,2,), définie pour toutes les valeurs des variables, périodique et de périodes &,, &,,..., a, par rapport à ces variables et vérifiant, pour toute valeur x du domaine Ÿ, Pidentité