FONCTIONS PÉRIODIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES

Soit F(%,, La, : - + , #,) uné fonction des variables réelles æ,, x,,..., x,

définie pour toutes les valeurs de ces variables. Nous dirons que &,,%,, ..., «, sont les éléments d’une période w si lon

a pour toutes les valeurs attribuées aux variables la relation Fri is de + Gay os 3 Cn En) = Frs Las + Œn}e

: FLE RAA :

Au point de vue geomelrique &,, Lo, «+ + ; En sont dans l espace à 72 dimen-

16 E, ESCLANGON.

sions les projections d'un vecteur; nous appellerons module de la période ©

la quantité Vai+ai+...+a.

Siw,,0,,..., w, désignent des périodes quelconques, leur somme géométrique et, plus généralement, toute somme géométrique de la forme

M (os) + Mao) +... + Mp(@p)s

OÙ M4, Ma, -.., My Sont des entiers quelconques positifs ou négatifs, est également une période.

Je me propose de rechercher la nature de l’ensemble des périodes w appartenant à une même fonction.

J’étudierai tout d’abord les fonctions F(x,, æ,, ..., æ,) qui possèdent la propriété suivante :

Sur toute droite À Li) + Cl Pa) at, cs Tr Ln + Ant)

on peul trouver des points (au moins un) où F(x,,x,,...,x,)est continue par rapport à l’ensemble des variables.

Il en résulte, en particulier :

1° Que toutes les fonctions de / obtenues en posant D(t)=F(xt Et, al Eat, , at Fat)

sont continues pour certaines valeurs de /; *

2° Que ces fonctions (4), si elles sont périodiques, n’admettent pas de périodes infiniment petites à moins d’être constantes.

Ilest à peine utle de remarquer que les fonctions continues (*) jouissent toujours de ces propriétés.

Dans le cas des fonctions périodiques d’une variable, nous avons fait observer que les substitutions linéaires ne modifiaient en rien la nature de

de . x l’ensemble des périodes; il n’en est plus de même pour certaines fonctions de plusieurs variables.

(1) Lorsque j'emploie l'expression fonction continue, j'entends par là la continuité par rapport à l'ensemble des variables; je spécifierai quand il ÿ aura lieu de distinguer la continuité par rapport à certaines variables.

Avant de traiter le cas général, nous examinerons une classe de fonc-

tions pour lesquelles la nature de l’ensemble des périodes n’est pas modifiée par les substitutions linéaires.

Fonctions irréductibles. — Nous dirons que la fonction F(x,,7,,.….,æ) est IRRÉDUCTIBLE sul est tmpossible, par une substitution linéaire effectuée

SUP Li, Lo, ce) Ln, d0 l@ ramener à une fonction d’un nombre moindre de variables.

Au contraire, la fonction F(x,, &,, ..., x,) sera RÉDUCTIBLE si, par une substitution linéaire convenable, on peut la transformer en une fonction DO) (ON n) Où y.) < 7) sont des loncuon.

linéaires de æ,, &,,..., æ,.

Remarquons immédiatement qu'il n'y à pas à distinguer les cas où les

formes linéaires sont ou ne sont pas homogènes, car on peut poser Pr + Va + Ko, por Rp) == PO ST

et, pour celte raison, nous supposcrons toujours que les formes linéaires de réduction sont homogènes.

PdonsltoncnonD%....0,) lesformes linéaires y; ye, 2 n'étaient pas indépendantes, on pourrat abaisser encore le nombre des variables indépendantes.

Shunefoncthon (TZ, ...,%,)estreéductble, ilest clair qu'onvpeut toujours la ramener à une fonction irréductuble P(y,, y:, ..., y,) par une substitution linéaire convenable à déterminant non nul; de plus, si, par une autre subsütution linéaire, on transforme également F en une fonction irréductible W'(z,, z:,..., z,), il est évident d’abord que 9 — p et ensuite HO UDIDAernenD( Ne, 10 perna W(z, 2, ..,<;)parune substütution linéaire à déterminant non nul.

Nous ne nous préoccuperons pas de rechercher les caractères qui, dans le cas le plus général, permettent de reconnaitre si une fonction est réducüble ou non. Nous ferons simplement remarquer que si la fonction F(x,, @, ...,æ,) peut se ramener à une fonction irréductible de p variables D(y,, 2, ..., y,) et, si elle admet des dérivées partelles continues OF 0F dE .

—, +. =—, il existe entre ces dernières # — p relations linéaires D'AROES 0x;

18 E. ESCLANGON.

homogènes et distinctes, à coefficients constants; la condition est nécessaire et suffisante, Dans le cas général on peut dire, en employant un langage géométrique, qu'il existe #2 — p directions distinctes telles que, sur toute droite parallèle à l’une quelconque d’entre elles, la fonction reste constante. J'entends par 2 — p directions distinctes des directions telles

que, dans le Tableau formé avec leurs projections sur les axes

Il ANA %: TL An 2 2 2 œi XL Xn , n—p lip n—p æ T Th

les déterminants d'ordre » — p ne soient pas tous nuls. On peut, du reste, avec ces 2 — p directions, en obtenir une infinité d’autres sur lesquelles la fonction est également constante, mais elles ne sont pas distinctes des précédentes.

Nous remarquerons enfin que les substitutions linéaires ne modifient pas la nature des discontinuités d’une fonction, En particulier, si une fonction possède les propriétés définies page 16, il est clair que les fonctions irrèductibles qu’on en déduit possèdent ces mêmes propriétés. Il y a plus : st une fonction possède les caractères de la page 16, et si elle est réductible, elle est continue pour toutes les valeurs des variables, ainsi que les foncons irréductibles qu’on en déduit par substitution linéaire. Je ne m'attarderai pas à la démonstration qui est facile ; on en conclut que, si une fonction possédant les propriétés en question est discontinue pour certains points, elle est certainement irréductüble.

Nous allons envisager maintenant les fonctions irréductibles au point de vue des périodes qu’elles peuvent présenter, et démontrer le théorème fondamental suivant :

Tuiorèue. — Les fonctions irréductibles continues et, plus généralement, celles qui satisfont aux conditions de la page 16, ne peuvent admettre de périodes infiniment petites (c’est-à-dire de module aussi pettt que l’on veut).

LP ie ] d L : , . : ñ : : ‘ out d'abord voyons, au point de vue géométrique, quelle est la consé-

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES,. (Ko)

quence de lirréductibilité. Soit A(&,, &, ..., #,) une direction quelconque mais fixe, et considérons toutes les fonctions d’une variable obtenues en prenant les valeurs de la fonction sur les droites parallèles à A; en d’autres termes, considérons les fonctions obtenues en posant

DONS E(r Et, 2 + all ae at)

Si Fest irréductible, la fonction (4) ne peut être constante quels que soient Li Lace ne OA en était autrement, il suffirait de changer les axes, et de prendre comme nouvel axe Oy,, une droite parallèle à A; la nouvelle fonetion W(y,, V2, ..., Y,) serait constante par rapport à y,, quels que soient Vas Vas ces Yns C'est-à-dire qu'elle ne contiendrait pas y,; la fonction F serait réductible, ce qui est contre l'hypothèse.

Ceci posé, supposons que la fonction F admette des périodes de module aussi pelit que l’on veut. Pour simplifier l'exposition, nous raisonnerons sur le cas de trois variables.

Imaginons une sphère de rayon wn ayant l'origine O comme centre et, à toute période &(&«,, #,, 4,), faisons correspondre sur la sphère le point de coordonnées

CA CA ce

y ; 2 = = 5 ; 2 2 2 z 2 2 Te Voita+taoi Vai+ai+o Vai+a+o

qui définit ainsi la direction de la période considérée.

Donnons-nous maintenant une suite de nombres positifs &,,€,,..., ex, ..., tendant vers 0; €, désignant l’un quelconque de ces nombres, il existe au moins une période w, dont ie module est inférieur à &;, de sorte que nous obtenons ainsi une suite de périodes ©,, &,, ...w%, ... dont les modules or) cHvementiniérieurs de. e, cr woienth,, PP leurs points représentatifs sur la sphère. L'ensemble des points P à sur la sphère au moins un point limite P,, de coordonnées &°, 4,,4,. Ce point P, jouira de la propriété suivante : si, sur la sphère, on imagine une petite surface quelconque, un cercle de centre P, par exemple, on pourra trouver à son intérieur des points représentatifs de périodes dont les modules sont inférieurs à tout nombre donné €.

Soient maintenant, Q un point quelconque de lespace, Q° un autre

point quelconque situé sur la droite passant par Q et parallèle à OP, :; et

désignons par F(Q) la valeur de la fonction au point Q. Je vais montrer qu'il existe dans tout domaine S entourant le point Q' (une sphère de centre Q’ par exemple) des points Q° pour lesquels on a

FCO = Er0):

Pour cela, à partir de l’origi > Q, portons les seg our cela, à parur de l'origine commune Q, portons les segments

op. 201) Motor PO):

Grst V2 (0e Lo Cne) ets Dal A%,

De TE : rires u : è Ge, MD (0L)s LOU) NES PO) AV RE r ne ; Ne ; :

Je désigne par À,, A, ..., Az, ... les droites qui portent les segments des hones 12,2, K,:22, Les exirémités de tousces sesments lonmentran ensemble bien déterminé de points; soit E cet ensemble. Je dis que tout point de la droite QQ", Q’ par exemple, estun pornt limite de l’ensemble E,.

Considérons en effet une petite sphère quelconque S ( fig. 1) de centre Q”,

les droites A4 ont la droite QQ' comme droite limite, on pourra en trouver

de rayon & et une sphère S’ de rayon Ê concentrique à la première. Puisque

une infinité qui rencontrent la sphère S'; parmi les périodes correspon-

dantes &,, il y en aura donc certainement dont le module (!} est inférieur à Ê; si A4 est l’une d'elles, il en résulte que la sphère S contient au moins

une des extrémités Q, des vecteurs w4, 3(w4), ..., p(wx). La sphère S ayant un rayon quelconque aussi petit que l’on veut, il en résulte bien que Q' est un point limite de l'ensemble E.

Or, en tout point de l’ensemble E, la fonction à manifestement pour valeur F(Q). Par conséquent, si la fonction était continue en Q”, sa valeur ne pourrait être que F(Q). La démonstration s'achève alors immédiatement. La fonction F étant irréductible, elle ne peut être constante sur toutes les droites parallèles à QQ’. Soit donc QQ' une droite sur laquelle elle n’est pas constante. La fonction F satisfaisant aux conditions de la page 16, il existe sur QQ' un point Q' où elle est continue. Or nous venons de voir que si Q est un autre point quelconque de cette droite, on a né-

cessairement HON=RIOLS

la fonction serait constante sur la droite QQ”. Nous arrivons à une contradiction; on ne peut donc supposer qu'il existe des périodes infiniment petites.

Le cas d'un nombre quelconque de variables se traiterait de façon identique, et c’est seulement pour éviter des notations trop compliquées que Je me suis borné aux fonctions de trois variables.

Ainsi les fonctions irréductibles qui satisfont aux conditions définies page 16 n'admettent que des périodes finies, mais 1l'est évident que toutes les fonctions irréductibles dont les périodes sont finies ne satisfont pas à ces conditions. On peut affirmer toutefois que, si une fonction irréducuble possède des périodes infiniment petites, elle est totalement discontinue sur certaines droites.

(1) Les axes sont supposés rectangulaires, mais on conçoit bien que cela n'a ici aucune

importance.

22 E. ESCLANGON.

Ici, comme dans le cas des fonctions d'une variable, nous diviserons en deux classes l’ensemble des fonctions irréductibles périodiques. |

La première classe comprendra celles dont les périodes sont finies; la seconde celles qui admettent des périodes infiniment petites; nous exclurons complétement de notre étude les fonctions de la deuxième classe qui, par la nature si singulière de leurs discontinuités, paraissent peu susceptibles d'applications utiles.

Soient F(x,, æ, ..., x,) une fonction irréductible (*}, «,, &,, ..., à, les éléments d’une période fixe w. La fonction de 4

PU) =F (x, Eil, MR dal, Er dpt)

admet, quels que soient #,, æ,, ..., æ,, la période 1. Cherchons la plus petite période commune à toutes les fonctions ®(/) obtenues en faisant : : à I :

NAME D, Le, - dt, elle estnécessairemont de la ofme à de sorte qu'il suffira de former la suite Il ll ll il

l, se Co 0:

2 J q Te

] A ‘ ' Fe M I . .

el de s'arrêter dès que l’on aura trouvé une période à qui ne soil pas

SR il

commune; on est assuré de trouver une telle période, sans quoi F serait

; ; ne 6) nn CT CT ce 2 Us

réductible. La période — de coordonnées +, =, ..., == est la période mintgl NT di

Transformation des périodes par substitution linéaire. Fonctions réductibles. — Les substitutions linéaires jouent dans cette théorie un rôle important qui s'explique aisément si l’on réfléchit qu’elles transforment la périodicité en elle-même, et qu’elles sont les seules substitutions jouissant de cette propriété.

Soient F(x,,2,,...,#,) une fonction périodique quelconque, irréduc-

tible ou non, E(&,, &;, ..., «,) une période, Faïsons, sur &,, &,,..+, æ. la

(1) À moins d'indication contraire, il ne s'agira plus désormais que de fonctions irré-

ductibles à périodes finies.

substitution linéaire à déterminant différent de zéro

ES / Vie Air Alt... ÀlE., ne e ne. | REC VA : PT re + À»,

La fonction F(x,, x,, ..., x,) se transforme en une fonction DCVI3 Va ++, Yr) et la période w devient la période w/(B,, B,, ...,8,) de la fonction ®, 6,, 8,, ..., B, se déduisant de &,, &,, ..., «, par la substitution (1).

Si le module de la période w est différent de 0, le module de la période w’ est aussi différent de o, et inversement, puisque le déterminant A n'est pas nul. Nous n'avons jusqu'ici rien supposé sur la réductibilité de la fonction F. S1 celle-ci est irréductible, elle reste irréductible et toutes les nouvelles variables y,, y, ..., y, figurent explicitement dans la fonction ®.

Supposons la fonction F(x,, x,, ..., x,) réductible, la substitution (1) élant choisie de façon qu’elle transforme F en une fonction irréductible HOPDNANADIE DONS 7). Toutesperniode (x, ct) module =£ ose transforme bien en une période w'(B,, B., ..….,B,, Bi, .. D) pour laquelle

VRi+ Éi+.. + fi;

mais l’on pourrait avoir