ÉD) PE

C’est d’ailleurs là une propriété, que nous retrouverons par un procédé absolument différent de celui de M. Bohl.

L'auteur établit, d'autre part, qu'une fonction périodique continue

F(x,,...,æ,) est développable en une série uniformément convergente

dont le terme général est un polynome entier en

3B) Dh 3 d: ; Zn, COST +05 COST) SIND) HOME SIN, dj dn &i An

en faisant x, —=%,=...—4%,= #* on obtient immédiatement le développement en question

Laissons de côté, pour l'instant, le cas où les périodes @,,..., a, sont dépendantes; nous verrons bientôt qu'à notre point de vue, ce cas ne diffère pas essentiellement de celui où elles sont indépendantes.

Si le domaine T est énfini, retenant la seule identité

Ha) = PEER),

nous voyons que les fonctions représentées par le développement considéré, supposé uniformément convergent dans T, sont précisément celles que nous avons désignées sous le nom de fonctions quast-périodiques uniformément continues, et l’on en conclut qu'inversement, toute fonction de cette espèce est représentable par un tel développement.

Lorsque le domaine T est Jint, le développement de M. Bohl représente une fonction à laquelle ne peut s'appliquer, au sens où nous l’entendons, l'expression de quasi-périodique, celle-ci supposant le champ absolu dense, et, par suite, le domaine T infini. On peut dire toutefois que si une fonction f(x) satisfait dans un domaine T à la condition de M. Bobhl, il existe une fonction quasi-périodique uniformément continue qui, dans le domaine T, coïncide avec f(x).

Nous avons donc trois définitions distinctes, mais équivalentes, des foncuons quasi-périodiques uniformément continues. Bien que la première (p.115) soit peut-être la moins naturelle, je lui donnerai cependant la préférence, parce qu’elle met en évidence toute l’extension dont est suscepüble la notion de quasi-périodicité, et qu’elle permet d’en entrevoir l'application aux fonctions discontinues. De plus, elle range tout naturellement, à côté des fonctions quasi-périodiques uniformément continues, les fonctions quasi-périodiques simplement continues dont l'importance n’est pas douteuse.

Quant à ces dermières, la voie suivie par M. Bohl permettrait également

de les obtenir, en leur étendant la condition qu'il a trouvée pour l'existence des développements en série de la forme indiquée plus haut.

Soit f(x) une fonction définie pour toute valeur x (or

La condition nécessaire et suffisante pour que f(x) soit quast-périodique continue est que, pour chaque valeur x, on puisse, étant donné

NS

positif, trouver un nombre positif à de façon que l’on ait [f(&+R) — f(x)|<e, chaque fois que les quantités

D h li

7 CT ES diffèrent de nombres entiers de moins de à en valeur absolue. Lei x est fixe et À prend toutes les valeurs réelles ou, plus exactement, x + A peut prendre toutes valeurs du domaine infini dans lequel la fonction est définie.

La condition qu'on vient d'écrire exprime en effet tout simplement, comme il est bien aisé de s’en assurer, la continuité de la fonction associée, en tout point du champ absolu, dont x est la valeur congrue. Le nombre à correspondant à € peut varier avec æ, mais, « restant fixe, à n'a son minimum différent de o que si f(x) est uniformément continue.

Il résulte immédiatement de là que, dans un domaine T' quelconque, mais fini, une fonction quasi-périodique simplement continue est développable en une série uniformément convergente de la forme (6), et qu'on peut trouver une fonction quasi-périodique uniformément continue coïnecidant dans T avec la fonction considérée.

Cette propriété permet d'établir qu'une fonction quasi-périodique simplement continue peut toujours être considérée comme la limite (?) d’une suite de fonctions quasi-périodiques uniformément continues; comme l'on pourrait se demander si ce n'est pas là une propriété caractéristique, J'ai tenu à élucider immédiatement cette question.

Soient f(x) une fonction quasi-périodique continue; (— A, +),

(1) Ou plus généralement pour toutes les valeurs æ d'un domaine #7 fint. (2) On dit que la suite f(x), f2(æ), ..., f(x), ... a pour limite f(æ), si pour chaque valeur #9 la suite f1(&o), fa(do), tree converge vers (#0):

126 E. ESCLANGON.

(—k,, +k),...,(—Æ,, +k,), ..., une suite d’intervalles croissants, et grandissant indéfiniment; ®,(x) une fonction quasi-périodique uniformément continue qui, dans l'intervalle (—k,, +k,), coïncide avec f(x), .….; 9,(x), une fonction quasi-périodique uniformément continue qui, dans l'intervalle (— k,, + k,), coïncide avec f(x), ete., .... Posons o(ær)+o(x)+...+o(x)

fs(e)= +

La fonction f,(æ) a pour limite f(x) pour v infini. Soit, en effet, x une valeur donnée de la variable, (— k,, + k,) le plus grand des intervalles qui

ne contiennent pas æ. On peut écrire, si v > p,

D(T)+...+v,(x) —p : y A Op) [Pp41(&) ee Core (æ)]

ou encore, puisque

Lorsque y augmente indéfiniment, le premier terme qui figure au second membre a pour limite o, le second tend vers /(æ); par suite,