MENACE
Il suit de là que toute fonction quasi-périodique continue est développable en une série convergente pour toute valeur +, dont les termes sont des fonctions quasi-périodiques uniformément continues attachées à un même champ de périodes. On peut même supposer, la démonstration est immédiate, que les
TX . :
termes sont des polynomes ED COS2T—> > SIN2T s
a; de,
Cette propriété ne caractérise nullement les fonctions quasi-périodiques continues, et nous allons montrer qu'une fonction continue quelconque, définie pour toute valeur +, est développable en une série de ce genre.
En effet, soient d’abord &,, &,, ..., «,, ... des nombres positifs quelconques croissants, et grandissant indéfiniment, f(x) une fonction continue
LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 127 définie de o à ++ (!). Je dis qu'on peut écrire Ja) file) + fie) +. + f(x) +...
la série du second membre étant convergente quel que soit x, les fonctions Ji(æ), f(x), +, f(x), ... étant des fonctions continues périodiques de périodes respectives &,, &,, ..., æ&,, ... En effet, soit f,(x) une fonction, continue, périodique de période &,, qui coïncide avec f(x) dans l'intervalle
(o, 2). Cela est possible puisque /(æ) est continue. Posons J(z) = fitx) + oi(x),
la fonction ©,(x) étant ainsi une fonction continue bien déterminée, et nulle 5 œ ; F : à ’ : dans l'intervalle (o, 2). Soit de mème /,() une fonction continue, pério-
Ta
dique de période #,, qui coïncide avec #,(x) dans l'intervalle (o, 2);
posons (x) = f(x) + qui),
’ Q . CÆ) . . .
®,(æ) élant une fonction nulle dans l'intervalle (o, 2), et ainsi de suite;
d’une façon générale on posera
Pym(x) = f(x) +9, (x), , . . CA ns 2,(x) étant une fonction nulle dans l'intervalle (o, 2). La série
AAC) EE NA) x.
est convergente quel que soit æeta pour somme CE). En effet, x désignant
Xp
" ; : ; ni cie une valeur positive et donnée de la variable, il existe p tel que 2 hr :
On aura alors, pour v > p, fe) —[fite) + fie) +...+ A (a)I= 9, (x) —o,
ce qui établit la proposition.
(1) La démonstration serait la même si f(æ) était définie de — & à + 2.
128 E. ESCLANGON.
Ceci posé, soient a,, &,, ..., a, des périodes indépendantes. Parmi tous
les nombres & donnés par la formule
I m M Mn = + +...+
© 4, > An
OÙ M, Ms, ee. M, prennent toutes les valeurs entières, il en existe de plus grands (!) que toute quantité donnée A. Si l’on choisit, parmi l’ensemble des nombres +, une suite de nombres positifs 4,, 4, ..., 4, ..., Croissants, grandissant indéfiniment, on peut alors écrire
