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f,(æ) étant une fonction périodique continue de période «,. Or, la fonction f,(æ) est une fonction quasi-périodique attachée au champ des périodes di li CAS LIOINIA

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la fonction

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périodique en x,, æ,, ..., x, et de périodes respectives a,, &,, ..., a,, vérifie

l'identité | NAT (re 0).

Fonctions quasi-périodiques définies sur un champ de périodes dépendantes. — Nous avons supposé jusqu'ici que les périodes &,, 4, ..., &, étaient indépendantes; supposons-les dépendantes et définissant un corps d'ordre p (p£n). Appelons A le champ absolu correspondant.

Soit f(x) une fonction quelconque définie pour toute valeur de la variable réelle &. À tout point 5,, &,, ..., &, du champ absolu dont Ë est la valeur congrue, nous faisons correspondre la valeur f(£) qui définit ainsi sur le

(1) En supposant essentiellement que x > 1.

champ absolu une fonction bien déterminée F(£,,4,, ...,£,), périodique de périodes a,, &,, ..., @,, et vérifiant l'identité

Les définitions de la quasi-périodieité restent les mêmes :

1° La fonction f(x) est quasi-périodique uniformément continue si la fonction associée F(E,,€,, ...,6,) est uniformément continue sur le champ absolu.

2° La fonction f(x) est quasi-périodique continue, si la fonction

associée F(E,, &,,...,&,) est simplement continue sur le champ absolu.

Soit alors b,, b,, ..., b, un système quelconque de périodes dont le champ B est équivalent (p. 96) au champ des péricdes, 24 nidel PEN: Nas +, Ng) la fonction associée de f(x) sur le champ B. Je dis qu’au point de vue de la continuité, les fonctions F et ® ont les mêmes propriétés sur leurs champs respectifs. Supposons la fonction F continue sur A, et soient ( un point quelconque du champ B, £ la valeur congrue corres-

pondante, P un point correspondant de Q dans le champ A. On a (1) JE) = F(én 2.3 ên) = Bis ss Ag).

Etant donné e, on peut déterminer un domaine D entourant le point P de facon que pour tout point du champ À, compris dans D, on ait

LES role Fe hs clic:

Or, les champs A et B étant équivalents, on peut trouver un domaine D’ entourant le point Q, de façon qu'à fout point Q" du champ B contenu dans D’ on puisse faire correspondre un point P'du champ A conaudans D'On aûra alors puisque MCE, «..,6,)= (nm)

COS en ou enfin, à cause de (1),

|D("n, ….. nada D rs GE) ng)|<E; E, 17

130 E. ESCLANGON.

la fonction ® est continue sur B. Il est clair que, si F est uniformément continue sur À, ® est uniformément continue sur le champ B.

Ainsi toute fonction quast-périodique attachée à un champ donné est fonction quasi-périodique de même nature sur tous les champs équivalents.

Comme ilexiste des champs de périodes indépendantes équivalents à un champ donné quelconque, on voit en définitive qu'il n’y a pas de distinction essentielle à faire entre les fonctions quasi-périodiques continues définies sur un champ de périodes dépendantes, et celles qui sont définies sur des champs de périodes indépendantes.

L'ensemble des fonctions quasi-périodiques continues attachées à un champ déterminé coïncide avec celui des fonctions quasi-périodiques continues attachées à un champ équivalent quelconque défini par des périodes indépendantes ou non. On aperçoit maintenant la raison de la définition que nous avons donnée (p. 96) des champs équivalents.

Le même procédé de démonstration montre que toute fonction quastpériodique définie sur un champ donné reste quasi-périodique de même nature sur tout champ multiple (p.108) du champ donné; mais Pinverse n'a plus lieu nécessairement.