CHAMPS ABSOLUS ATTACHÉS A UNE MÊME FONCTION QUASI-PÉRIODIQUE
Nous allons nous placer maintenant à un point de vue différent et, pour ainsi dire, inverse du précédent. Au lieu d’envisager l’ensemble des fonc- Lions quasi-périodiques continues attachées à un champ donné, et par suite à tous les champs équivalents, nous rechercherons au contraire l’ensemble des champs absolus sur lesquels une z7éme fonction garde sa propriété d’être quasi-périodique continue. Cet ensemble comprend, évidemment, tous les champs équivalents et tous les multiples du champ sur lequel la fonction est primilivement définie comme quasi-périodique continue; mais il peut en comprendre d’autres.
Tel est le problème que je me propose de traiter, et c’est ici que j'aurai à me servir des théorèmes obtenus dans la première Partie, dont le principal objet était précisément l'étude de cette question.
On peut toujours supposer que le champ primitivement donné est défini par un système de périodes indépendantes, sinon on le remplacerait par un champ équivalent satisfaisant à cette condition.
Je twaiterai d’abord complètement le cas des fonctions quasi-périodiques uniformément continues, pour montrer ensuite comment les résultats obtenus s'étendent aux fonctions quasi-périodiques simplement continues.
Voici, d’une façon précise, comment se pose le problème :
Étant donnée une fonction quasi-périodique f(x), uniformément continue sur un champ donné de périodes indépendantes a,, a, ..., a, trouver tous les systèmes de périodes sur le champ desquelles la même fonction f(x) reste quasi-périodique uniformément continue.
La question sera complètement résolue lorsque nous aurons obtenu tous les systèmes de périodes indépendantes dont le champ satisfait aux conditions du problème; l’ensemble de leurs systèmes équivalents (à périodes indépendantes ou non) fournira ensuite la solution générale.
Soit donc F(x,, &:, ..., æ,) la fonction continue définie pour toutes les valeurs des variables, périodique en x,, æ:, ..., æ,, et prenant, en chaque point du champ absolu défini par les périodes &,, 4,,..., a,, la valeur de lfonction associée FCE,, €, ..., &,).
Pour ne pas compliquer outre mesure le langage, je donnerai également à F(x,, æ2, ..., æ,) le nom de fonction associée de f(x) sur le champ des pétiodeés dd. dy
La fonction F(x,, %,,..., x,) n'est pas nécessairement irréductible, Supposons-la réductible à p variables par une substitution linéaire convenable, qui la transforme en une fonction irréductible ®(y,, 72, ..., y). Nous pouvons, étant choisies (!}) arbitrairement p périodes propres quel- Conques dela foncuion F(x,,2,,:..,%,) (2), déterminer la substitution, de façon que les p périodes choisies deviennent dans ® des périodes
dirigées suivant les axes. Nous avons montré que ces substtutions sont de la
(1)nPages 38-41 et 45-48.
(2) Nous supposons que F n’est constante par rapport à aucune variable, sinon, si elle ne
dépendait pas de x, par exemple, on raisonnerait sur les seules périodes ax, @>, ..., ani.
forme Ji er (| LA 1 Tr CE Hirrenie nel D 1 di n (1) Dar tirs tisiiitulr oi To , JE UP 7 es Et d'en Fa Pi T | [D P ds An
les coefficients 11! étant des nombres rationnels, les périodes b,, b,, ..., b, restant arbitraires. Si, en particulier, on détermine b,, b,,..., b, par les
formules
il 1
