I LL EL
b, di h (2) AS 2 $ I P UP lunes
LE a; dr
ce qui est possible puisque les périodes &,, &,, ..., 4, sont indépendantes, on voit que :
19 Jafoncuon Pl, par y) Continue périodique en) m6 207. de périodes respectives b,, b,, ..., b,, vérifie, quel que soit x, l'identité
TVR 2 =D ne
2° Les périodes b,, b,, ..., b, sont indépendantes.
La fonction quasi-périodique f(x) peut donc être considérée comme attachée au champ des périodes b,, b,, ..., b,. Tous les systèmes de périodes b obtenus de cette façon jouissent de la mème propriété; à tout système de p périodes propres, choisies arbitrairement dans F, correspond un systèmede périodes D; p.07
Parmi ces systèmes, il en est qui jouissent de propriétés fondamentales. Supposons que l’on choisisse dans F, p périodes propres formant un système minimum S; les coefficients w° des formules (1) et (2) sont alors entiers. Désignons par &,, &,,..., 2, les périodes obtenues dans ce cas par les formules (2), et soit D(y,, Ya, ..., y,) la fonction irréductible obtenue dans
le même cas par les formules (1) (!). Cette fonction, associée de 7 (x) sur le
(1) Dans ces formules, les lettres bi, b:, ..., b, doivent être remplacées par &,@, «.., @p:
champ des périodes #,, &, ..., «» admet les périodes (x,, 0, ..., o), COR PAC ME Lo; %,) qui forment elles aussi un système minimum. Si l’on choisit dans Fun autre système minimum S’, on obtient, par le même procédé, un autre système de périodes B,, B5, 6, et une fonction W(z,, Z:, ..., z,) associée de f(æ) sur le champ des périodes B,, B:, ..., ,; on a de plus, entre les périodes # et 6, des relations de la forme
1 1 1 I y y y ri 2 le 2 + + —, Bi ea A lp Ce) Re te te ee Sels ; I yP yP y?
a 1 2 = — + ...+ —, B» ] X2 Xp
D yP p Ve OR OR.
enfin on passe de la fonction S(y,, ..., y,) à la fonction W'(z,, ...,2,) par les formes linéaires adjointes aux relations ee)
EE RE A n | Ca À Xp DRE yP I = VE Yr Bp Xi Xp
Tous ces résultats découlent directement des propriétés établies pages 38-41 et 45-49. Il en résulte d’ailleurs, ce que nous savions déjà, que tous les systèmes de périodes B,, B,, ..., 8,, obtenus à la facon indiquée par les formules (3), sous la seule condition A—Æ+#1, définissent des
champs de périodes attachés à la fonction f(x).
Ainsi, partant d’un champ donné sur lequel la fonction f(x) est primitivement définie comme quast-périodique uniformément continue, nous arrivons à déterminer un corps réduit défint par la base «,, (VOD jy) et lel quedoute BOSS 6 Eee re choisie arbi-
134 E. ESCLANGON.
trairement dans ce corps, définit un champ de périodes attaché à f(x); les fonctions associées correspondantes sont d’une part irréductibles, d'autre part rapportées à des systèmes minimum de périodes.
I 1 ; : PART tE On remarquera que 2 A rs s'exprimant par des fonctions linéaires 1 P 4 ne . I I , .
à coefficients entiers de ed T le champ défini par a,, &,,..., a, est 1 n j
un multiple du champ défini par &,, 2, ..., &, (p.110).
Pour caractériser complètement le corps réduit ainsi obtenu, il faut montrer qu'il ne dépend pas du système initial de périodes qui a servi à le déterminer, propriété qui résultera du théorème suivant :
Si deux fonctions périodiques irréductibles D(y,, Yo», ..., Yp)) W(Z,, 2:,..., 3,), rapportées à des systèmes minimum de périodes, sont les associées d'une même fonction quasi-périodique uniformément continue f(x), sur les champs définis respectivement par les deux systèmes denériodes INICPeRCONtES D, AE, 4 ni one 0
1 PO piovcttles SYSlÈmnes Cale co Da ee MOULE deux bases d’un même corps réduit, en d’autres termes, les champs du, are. Gp) et (04e Bates D) SONDE UP AIENES
2° Les fonctions ® et W'se déduisent l’une de l’autre par les formes linéaires adjointes aux relations de dépendance qui lient les périodes « aux périodes 8.
La proposition serait établie si l’on pouvait montrer que les fonetions et W proviennent par réduction linéaire d’une méme fonction F(x,,…, æ,) périodique en x,, æ,, ..., æ, à périodes indépendantes.
Or, désignons par À le champ absolu défini par (x,, &,, ..., «,), par B le champ absolu défini par (B,, B,, ..., 8,), et soit C le champ résultant de A et B, c’est-à-dire celui qui est déterminé par le système total des périodes (ai, @,..., p, B1, B2,..., 8). Le champ C étant un multiple commun à A et B, il en résulte que f(x) est une fonction quasi-périodique uniformément
. * DE nr ’ , 4 ! .
continue sur C. Désignons enfin par l'un champ équivalent à C, défini par les périodes indépendantes @,, a,, ..., a,. La fonction f(x) est quasi-
périodique uniformément continue sur F, Soit F(x,, æ,. ..., Ty) SON assOciée sur ce champ.
Le champ C étant équivalent à F, on peut écrire
1 1 un — Fa Soie Han Ca di An Set HS MAS EDR L} entiers; I UP Ê dt 1 se Se I Lp Œs An de même [ y v} nn —— LR Bi dj An Re me du eue \ v} entiers.
I v? y4 = tn à By An
Ceci posé, considérons la fonction
e GE GE AT Gé 1 1 n 1 É CRETE cu en) = D ou p = +...+ pi } bar Gp( BR ++ pie ;
elle est définie pour toutes les valeurs z,, æ,, ..., æ, des variables, continue, périodique en æ,, æ;, ..., æ, de périodes indépendantes a,, a, ..., a, et vérifie de plus l'identité
RO RE DC Sr) TE ).
Par-conséquent F, coïncide (') avec F(x,, x, ..., x,). On en conclut que B(y,, Y2,..., y,) résulte de F par réduction linéaire; le même raisonnement conduit à la même conclusion pour la fonction W(z,, z,, ...,z,), ce qui démontre complètement la proposition.
Le corps réduit défini par la base ,, &,, ..., «, est donc bien défini. C’est le CORPS RÉDUIT FONDAMENTAL ATTACHÉ À LA FONCTION f(x). Son ordre p s’appellera l’ordre de quasi-périodicité de la fonction f(x).
L'ordre p est un entier qui, au point de vue de la périodicité, caractérise essentiellement la fonction f(x). Si p—1 on retombe sur la périodicité ordinaire. On peut dire encore que p est le plus petit nombre de périodes, sur le champ desquelles la fonction soit uniformément continue. St lon
(H)APase 117:
136 E, ESCLANGON.
choisit une base quelconque de p périodes dans le corps réduit fondamental, la fonction f(x) est quasi-périodique uniformément continue sur le champ de ces périodes; la fonction associée correspondante est d'une part irréductible, d’autre part rapportée à un système minimum de périodes.
On peut énoncer maintenant la proposition générale suivante :
L'ensemble des champs attachés à une même fonction quasi-pértodique uniformément continue est formé par l’ensemble des champs équivalents ou multiples de ceux définis par les bases du corps réduit fondamental.
Par conséquent, si &,, &,, ..., a, sont des périodes quelconques, indépendantes ou non, dont le champ est attaché à f(x), et si &,, œ,,..., o sont les périodes d’une base quelconque du corps fondamental, on a entre ces diverses périodes des relations de la forme
SE —— Eat 2. se Fr
(5) Le RE A Mer s P P
| == Pi Sn Be,
Xp di (C2)
où les coefficients x sont entiers et ne sont assujettis d'autre part à aucune condition particulière si ce n’est que dans le Tableau formé avec ces coefficients doit exister un déterminant d'ordre p différent de o. Il faut entendre par là que les coefficients entiers 1/ étant, sous cette condition, arbitrairement choisis, si l’on résout les relations (5) par rapport à &,, a,, ..., a,, le champ défini par les périodes &,, &, ..., a, ainsi déterminées est attaché à la fonction f(x).
Faisons enfin la remarque suivante : Soit &,, &,, ..., a, un système de périodes dont le champ est attaché à f(x), mais, à part cela, quelconques, indépendantes ou non. Soit (4,, &, ..., «,) une base du corps fondamental, liée aux a@ par les formules (5), désignons de plus par ®(y,, y, ...,y,) l’associée de f(x) sur le champ des périodes &,, æ,, ..., à. Considérons alors la fonction
ET tre) à | «(ui ET .. +} æ), .. (ur ++ ee) |:
nn a An
; 4 ve :
c'est une fonclion continue, définie pour toutes les valeurs des variables x, Ty ++. Æny périodique en #, de période a,, en #, de période a,, etc. et vérifiant de plus, pour toute valeur x, l'identité
RÉ Su: LD) —[(T).
Nous retrouvons ici, par un procédé tout à fait différent, un théorème de M. Bohl d’après lequel, en employant notre langage, si /(æ) est une fonction quasi-périodique uniformément continue sur le champ des périodes 4,, dy, ++.) dy Qui peuvent être dépendantes ('}), il existe une fonction E(x;,t:, ...,7,) continue et définie pour toutes les valeurs &,, &, ..., ,, périodique de périodes &,, a,, ..., a, et satisfaisant à l'identité
EN ES TN (a).
S1 les périodes à,, &,, ..., a, sont dépendantes, il existe une infinité de fonctions répondant à la question; celles que nous obtenons sont réducübles, mais il y en a d’irréducubles, et il serait bien facile d'obtenir leur forme générale.
Cela nous conduit à une autre remarque qui a son importance : Si @,, GR or onde tocrniodes dépendantes, els (x,, 4, ..,, &,)estune fonction continue définie pour toutes les valeurs #,, æ,,..., æ,, périodique
CHE tOUEG EE de D), 2,0, ld ionction
est quasi-périodique uniformément continue, mais son ordre n’est pas égal à », bien que la fonction F puisse être irréductible. Pour obtenir dans ce cas l’ordre de f(x), il faudrait d’abord remplacer les périodes a,, &,, ..…. a,
par des périodes équivalentes et indépendantes b,, b,, ...,b,(m<n),.
(1) Si les périodes &j, 43, -.., &y sont indépendantes, la fonction F(æ1, ...,æ») coïncide avec l’associée de f(æ) sur le champ des périodes &, &, ..., &n; elle est donc unique dans ce cas.
138 E. ESCLANGON.
Nous savons que l’on a (p. 107)
1 1 di b, 27 Ne ee rie vi entiers.
n n CRE OR a Vym nn iiee An b, Un
Considérant alors la fonction
Ÿ LATE DL) = l'a, nn) es a (++) | ï É (2 LE bi m
on voit que D est l’associée de (x) sur le champ des périodes indépendantes b,, b,, ..., b,. C’est en effectuant maintenant la réduction de P(y,,..., Y»), si elle est possible, qu'on obtiendra l’ordre de la fonction f(x). En particulier, sila fonction F(&,#, +, 2)="7(œ) estmullesquel que soit +, la fonction correspondante D(y,,..., y,) doit être nulle quelles que soient Les valeurs attribuées aux variables y,, ...,y,, et cela nous donnerait la forme générale des fonctions F(x,, ...,æx,) que nous considérions
un peu plus haut.
Nous nous sommes placés jusqu'ici dans le cas des fonctions quasipériodiques uniformément continues, mais les résultats obtenus s’appliquent sans restriction aux fonclions quasi-périodiques simplement continues, et cela, en vertu de l'extension des propriétés des fonctions périodiques de plusieurs variables aux fonctions périodiques définies et continues sur un champ dense.
Étant donnée la fonction f(x) quasi-périodique simplement continue sur un champ donné À de périodes &,, 4,, ..., a, que l'on peut toujours supposer indépendantes, on se propose de déterminer tous les champs sur lesquels la même fonction f(x) est quasi-périodique continue.
Soit F(É,,6,,%2:,%,) l'associée»de f(x) sur le champ, absolu A#1à fonction F(£,,6,,...,£,) peut être réductible, en donnant à ce mot le sens précis que nous lui avons attribué (p. 65). D'une façon générale, supposons-la réductible à l’ordre p. On peut alors, étant choisies dans F
P périodes propres, distinctes mais quelconques, trouver une substitution
1 & D Ci en ie D; d; An (6) RENE MAN 5 £ 2 he 2 d, a
qui transforme la fonction F(£,, £, ..., £,) en une fonction irréductible DEN; Nas. M) définie et continue sur le champ B transformé de A par les formules (6), et admettant les périodes de coordonnées (b,, 0,0, ..., 0), CR 0 0) te ont) Lésnombres b,, 0,722 0 arbitraires, on peut les déterminer par les relations
+, 0, restant
I 1 D; di An DST e duc 0 LPO Hoi , 1 “ D RAR Li de P di An
Quel est alors le champ B transformé de À par les formules (6 )?
Le point de coordonnées n, =: =...= 1, = & appartient à B quel que soit € et correspond dans À au point &, —6,—...—£€,— €. D'autre part, la
(one DE -.. ")eL periodique en n,, "N::..-:11 Ce qui exige, et c’est là une conséquence de la définition de la réductibilité, que le champ B soit aussi périodique en n,, 9, ..., 1,3; d'où résulte, en définitive, que le point de coordonnées
= la Oise Ce las ue Et Rp0p
appartient au champ B, quels que soient éret lesréntiers 72,, 72 00. ou enfin que le champ B est précisément le champ absolu défini par les périodes indépendantes b,, b,, ..., b,. La fonction ®(n,,9:,...,1,) étant continue sur ce champ, ce dernier est done attaché à la fonction f(x).
Si maintenant on choisit dans K(£,,...,£,) des systèmes minimum de périodes propres, on arrivera à la définition du corps réduit fondamental. A partir de ce moment le raisonnement devient en tout point identique à
celui que nous avons suivi pour les fonctions uniformément continues, et
140 E. ESCLANGON.
les résultats obtenus leur sont applicables sans restriction. Nous aurons
finalement ce théorème :
L'ensemble des champs attachés à une même fonction quasi-pértodique continue (uniformément ou simplement continue) se compose des champs équivalents ou multiples de ceux définis par les bases du corps réduit fondamental.
IL est à peine utile d'observer qu’une fonction quasi-périodique conti nue garde la même nature sur tous les champs qui lui sont attachés; en d’autres termes, il est impossible qu’elle soit uniformément continue sur l’un des champs, et simplement continue sur un autre.
Vis-à-vis des fonctions quasi-périodiques simplement continues, on peut faire une remarque analogue à celle que nous avons indiquée à propos des fonctions uniformément continues. Soient À le champ des périodes dépendantes a,, a,, ..., a, sur lequel la fonction f(x) est quasi-ptriodique simplement continue et &,, &,, ..., #, une base du corps fondamental définissant le champ absolu B. Appelons D(1,,1:,...,1n,) l'associée de f(x) sur le champ B. Nous avons entre les nombres & et x des relations de la
forme
1 Hi Pa Pa
— L Sie L œ di UE An Re ne de NC Re Î iers
(7) Lu} entiers.
I le P
Ne ÈS
Cp &; Πdy
Considérons maintenant l’ensemble C des points P(x,,x,,...,æ,), dans l’espace à » dimensions, assujettis à cette condition que les nombres
(8) ca: ++ pe), (pi = + ner ….) a ++ pie) soient les coordonnées d’un point n,, %:, ..., n, du champ absolu B, et au point P faisons correspondre la valeur D(1,,1,,..., 1,) qui définit ainsi sur l'ensemble C une fonction F(x,,#., .-.;5&). Tout point P dont les coordonnées %,, æ,, ..., x, sont toutes égales à x, appartient, quel que soit +, à l’ensemble €, et l’on a évidemment
Ft ere) Dee) ET
De plus l’ensemble C est manifestement periddique, em, 7, +13 0, de périodes a,, a,, ..., a,. En tous les points P dont les coordonnées diffèrent de æ,, æ,, ..., æ,, respectivement d'un nombre entier de périodes @,, 3, @n, la fonction F a la même valeur. Enfin l’ensemble C contient le champ absolu A défini par a,, &,, ..., a,, et la fonction F prend en tout point de A la valeur f(E), £ désignant la valeur congrue correspondante. Mais le champ C comprend en outre des points qui n'appartiennent pas à A. Il est facile de voir que C est dense dans tout domaine à x dimensions. Soient en effet x, æ,, ..., æ% un système de valeurs quelconques, Vue. Y, les valeurs correspondantes des quantités (8). Les équations
= ere NEA es n
Ca da An
nr rlele G eee lee ete so else ;
Np 71 n
peuvent être résolues par rapport à p des variables x,, #,, ..., x,, puisque dans le Tableau des 1l y a au moins un déterminant d'ordre p différent de o. L’on pourra écrire par exemple
CO 0 p p+1 mn led dan net ma mn in di ea Xp p+1 n A ni ln Te de ca "1 n +1 x
EN +. HUE Hop, 2 + D 27 % Xp p+1 An
les coefficients v/ étant rationnels. On obtiendra tous les points de l’ensemble C en donnant à x,,,, ..., æ, des valeurs arbitraires, en prenant pour 1, --+, ", les coordonnées d’un point quelconque du champ B, et en déterminant æ,, ..., æ, par les formules précédentes. Remarquons que les nombres x°, æ°, ...,æ?, Yi, ...,sy, sont liés par les mêmes formules. Par conséquent, si l’on prend pour x#,,,, ..., x, des valeurs quelconques, 0 ,0 DAME NE 27 Xp
re NE ue, RS a) données d’un point du champ B voisin du point y},7:,-..,y,, Ce qui est possible puisque les périodes #,,@,, ..., «, sont indépendantes, on obtient,
ePIpOUr ni: M IE LCOor
voisines respectivement de x
au moyen des formules précédentes, des valeurs æ,, &:, ..., æ, Voisines
142 E. ESCLANGON.
de æ°,æ9, ...,æ,. En définitive il existe des points de l’ensemble C dont les coordonnées sont aussi voisines qu'on le veut des nombres arbitrairement choisis æ°, æ°, ..., æ°, ce qui établit la proposition. Si D(n,, 2, -.., ne) est continue sur B, F(&,, 72, ...,7,) est continue sur GSitlariones tion D(1,, M2. M) est uniformément continue sur BCE NE
est aussi uniformément continue sur l’ensemble C; il existe dans ce cas une fonction F(x,, æ, ..., x«,) définie pour toutes les valeurs des variables
continue et périodique telle que Île) =Mæ:t, 2)
on retombe ici sur une proposition déjà établie pour les fonctions quasipériodiques uniformément continues.
CHAMPS ABSOLUS ATTACHÉS SIMULTANÉMENT A PLUSIEURS FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES.
Le problème de la recherche des champs de périodes attachés à une même fonction se pose de la même façon pour un nombre fini de fonctions quasi-périodiques continues et données.
Soient f,(x), f(x), ..., f,(æx), q fonctions quasi-périodiques continues (uniformément continues où simplement continues) définies respectivement sur les champs A,, A,,..., À,. Existe-tl un champ R sur lequel les fonctions f,, ..., f, Soient simultanément quasi-périodiques continues? On voit immédiatement qu'il en existe une infinité, et en particulier tous les champs multiples communs des champs A,, A,, ..., A,. On peut toujours supposer que À,, À,, ..., A, sont des champs de périodes indépendantes, obtenues en prenant une base dans chacun des corps fondamentaux attachés respectivement à f,, f,, ..., f,. Soit R le champ résultant des champs A,, A,,..., A,, où un champ équivalent quelconque. Les champs sur lesquels les fonctions f,, ..., f,-sont simultanément continues sont nécessairement, d’après les résultats obtenus pour une seule fonction quasipériodique, des multiples communs à A,, A,,..., A,. Ce sont donc, ou bien des champs équivalents à R, où bien des multiples de R(p. 111). Sile champ résultant R n’est pas directement défini par des périodes indépendantes, nous lui substituerons un champ satisfaisant à cette condition. Soient «;,
4, ..., 4, les périodes indépendantes ainsi obtenues. Tous les systèmes de périodes a,, &,, ..., a, dont les champs sont attachés simultanément aux fonctions f, s'obtiennent alors par des formules de la forme
I l- P- LL = 1 2 = er nu œ; Un A An Re ra dun te " I P LP P 1 2 EE Lp A A ñn
où les coefficients 4} sont entiers, assujettis à cette seule condition qu'il existe dans le Tableau qui les contient un déterminant d'ordre p différent de o. La conclusion devient identique à celle obtenue dans le cas d’une seule fonction. Le nombre # est nécessairement supérieur à p et, ici encore, il existe un nombre minimum de périodes, qui peuvent être considérées comme appartenant simultanément aux g fonctions données.
