DÉRIVÉE ET INTÉGRALE D'UNE FONCTION QUASI-PÉRIODIQUE CONTINUE

Dérivée. — Une fonction quasi-périodique continue n’a pas nécessairement de dérivée pour toute valeur #, ou bien, si cette dérivée existe quel que soit +, elle n’est pas nécessairement continue. Dans ces deux cas il n°y a pas heu de se demander si la dérivée est quasi-périodique continue.

Mais même lorsqu'il existe, pour toute valeur x, une dérivée continue, celle-ci n’est pas nécessairement une fonction quasi-périodique continue. Cela tuent à ce que la quasi-périodicité est une propriété fonctionnelle ne s'exprimant par aucune relation explicite, et qu'on ne peut donc différentier. Considérée dans un intervalle donné, la fonction repasse dans d’autres intervalles par la même série de valeurs, avec une approximation aussi petite que l’on veut, ilest vrai, mais qui, par le fait qu'elle n’est pas nulle, laisse à la dérivée une allure quelconque, au moins dans une cerlaine mesure.

Pour les fonctions quasi-périodiques uniformément conunues la question est au fond identique à la suivante : Une fonction continue (*) de plusieurs

(1) Continue par rapport à l’ensemble des variables.

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3 ni. ; 0® .

variables D(x,, 2, ..., x,) admet une dérivée partielle Jr, ConUnue par

rapport à la seule variable æ,; s’ensuit-il que cette dérivée soit continue par rapport aux autres variables? Évidemment non. Par exemple la fonc-

üon P(x,y) égale à sin pour y £o et à o pour y — o est une fonction continue par rapport à l’ensemble x, y, dont la dérivée . — cos —

z y est continue par rapport à æ sans l'être par rapport à y.

Nous indiquerons toutefois une condition suffisante pour assurer la quasipériodicité de la dérivée d’une fonction quasi-périodique uniformément continue ou simplement continue, et qui s’appliquera dans la plus grande généralité des cas. Cette condition est la suivante :

Si la fonction f(x+h)— f(x) le

tend uniformément vers f(x) pour h—=o, la dérivée f'(x) est une fonction quast-périodique continue de même nature que f(x) (").

entendons par là qu’étant donné £ > 0, on peut trouver à > 0, de façon

En disant que tend uniformément vers f'(x), nous

que sous la seule condition

à Pre on ail

z+h)= f(x | ne mm

et cela pour loutes les valeurs x. Cette proposition résultera immédiatement de la suivante qui est plus générale.

Soit À un champ absolu de périodes indépendantes, F une fonction conunue définie sur À [pour simplifier l'écriture nous appellerons F(P) la valeur de la fonction au point P]. Supposons maintenant que la fonction F dépende d’un paramètre L [nous l’écrirons F(P, 2)] et que, pour 4 — 0,

(1) C'est-à-dire que si /(æx) est quasi-périodique uniformément continue, f'(æ) est aussi quasi-périodique uniformément continue.

elle ait une limite Œ(P). Par hypothèse, la fonction F(P, A) est, quel que soit ! -£ o, continue sur le champ A; elle définit donc pour chaque valeur une fonction quasi-périodique continue. Je dis que si F(P, 2) tend uniformément vers ®(P) pour tous les points du champ absolu A, D(P) est continue sur À et définit ainsi une fonction quasi-périodique continue.

Etant donné €, on peut déterminer © de façon que l’on ait, pour tout point P du champ A,

|F(P,2)—Œ®(P)|<e, lorsque |A] <o.

Donnons à 4 une valeur Jixe satisfaisant à cette dernière inégalité, et soit P un point fixe du champ A. Nous pouvons déterminer un domaine D entourant P, de façon que, pour tout point P' pris dans ce domaine, on ait

[F(P',2)—EF(P, »)| <e;

comme l’on a d'autre part

F(P', A) — D(P') <e, on en conclut [B(P') — D(P)| <3:;

ce qui élablit la proposition. Il y a plus : si la fonction F(P, A) est, quel que soit -£o, uniformément continue sur le champ A, la limite Œ(P) est aussi uniformément continue; en effet les inégalités précédentes ont lieu alors, quels que soient P, P’, pourvu qu'ils soient assez voisins pour

vérifier l'inégalité LECP/,A)— F(P, A) <e,

! nn Li LEO ven Ai re ur.

h étant une valeur fixe inférieure en module à 6. En résume :

La limite d’une fonction quasi-périodique continue, lorsque cette limite a lieu uniformément, est une fonction quasi-périodique continue, Si la fonction quasi-périodique variable est uniformément continue, la fonction limite est aussi quasi-périodique uniformément continue.

En ce qui concerne la dérivée d’une fonction quasi-périodique continue la proposition énoncée plus haut est établie. En effet, la fonction quasi-

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périodique dépendant du paramètre b,

tend uniformément vers f’(æ) qui est par suite quasi-ptriodique continue ; si f(x) est uniformément continue, il en est de même de f(x).

Un cas particulier du précédent est celui où la fonction f(x), supposée exister pour toute valeur +, est uniformément continue pour toutes les valeurs de la variable æ ; en d’autres termes, étant donné €, on peut déterminer à de façon que, pour toute valeur de module inférieur à à, on ait

LFx+k)—f(a)l<e et cela quel que soit x. On peut écrire, en effet,

Ja + h) — f\

k TN (OC 0),

par suite,

Re OC ee

si donc || à, on aura, quel que soit x , ) > I )

At EREtE) HE) LE

et nous nous trouvons bien dans les conditions précédentes.

En remarquant que la continuité uniforme de f(x), pour toutes les valeurs æ, est nécessaire pour que f(x) soit une fonction quasi-périodique uniformément continue, on peut énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire el suffisante pour que la dérivée f(x) d’une fonction quast-périodique uniformément continue f(x) soit elle-même une fonction quasi-périodique uniformément continue est que f(x) possède la continurté uniforme relativement à l’ensemble des valeurs x.

Soit F(x,,æ:, ...,æ%,) l'associée de f(x) sur le champ total. Si F admet des dérivées partielles continues, la fonction