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HE Re) nn TER ee ( 19 29 , 2) 0; 0&, 07,
LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 147 est l’associée, sur le même champ, de la dérivée f’(æ) qui est quasi-périodique uniformément continue.
Dans tous les cas, et c’est là une propriété d'une grande importance, si f(x), fonction quasi-périodique continue, admet une dérivée quastpériodique continue f(x), les deux fonctions f et f' ont le méme ordre de quasi-périodicité; tout champ de périodes attaché à l’une de ces fonctions est attaché à l’autre, en un mot ces deux fonctions ont le méme corps fondamental de périodes.
Cela résulte immédiatement du fait que toute période de la fonction F(Ë,, 6,, ..., Ë,) appartient à la fonction
ne > PA D CAE POS ET PO AS A GRAN K'CE Eee En) = lim (é: » 62 , , ) (ares En) à = 0
Cette propriété a été établie directement pages 51-53 pour les fonctions définies sur un champ continu, et s'étend sans difficulté aux fonctions continues sur des champs de périodes indépendantes.
On en conclut en particulier cette proposition : si F(x,, ...,æ,) est
une fonction continue wrréductible périodique en x,, æ,, ..., x, à périodes indépendantes, admettant des dérivées partielles continues, la fone- . 0F 0F 0F , a :
tion + est également irréducuble.
OL O2, g Des o° , : NE > LS V1 01 4 >)" 1 > Si 3 Intégrale d’une fonction quasi-périodique continue. — Soit f(x) une
fonction quasi-périodique continue. L'intégrale o(x) ] 1(æ)dx
n’est pas nécessairement quasi-périodique et elle ne l’est pas en général.
SION MES SR l'associé D(E,, &,, ..., &,) de o(x) sur le champ des périodes a pour valeur
en P
ni
., &,) un point du champ absolu, £ sa valeur congrue;
PE &, ne f FCI.
Pour que o(æ) soit quasi-périodique, il faut que la différence D D D < Ce , d PEER 58) Due b)= [| jleydr
devienne infiniment petite lorsque le point P'(4,£,, ..., #,) se rapproche
indéfiniment du point P, c’est-à-dire lorsque, £ restant fixe, les quantités
D 0% &; An
sont voisines de nombres entiers; et, pour que ®(x) soit quasi-périodique uniformément continue, il faut et il suffit que la même inté-
sont
grale [ JG) devienne infiniment petite lorsque = voisins de nombres entiers, £ et £’ ayant, à part cette condition, des valeurs quelconques.
IL est facile de se rendre compte que si l’intégrale d’une fonction quasipériodique n’est pas nécessairement quasi-périodique, ce fait peut tenir à des circonstances très différentes.
Envisageons en particulier une fonction quasi-périodique uniformément continue f(x), et soit F(x,, x,,...,x,) son associée sur le champ total des périodes. Si l’intégrale
T4 o(r)= [ J{x)dr est quasi-périodique uniformément continue, et si R(x,,%,,...,æ,) est son associée sur le champ total, la quantité |
Ris RC RO) EN EE) h
a pour limite F(x,, æ,, ..., æ,) lorsque X tend vers o. Or une condition (‘) nécessaire, pour qu'il existe une telle fonction R, est que
I di LE Œn Ke —— | Î …. FLE EST D) TL 0:
Ai Ga Un EU: À
(1) Pages 54-62.
ou encore, comme il est facile de le voir, 2 RES 10 K= lime f (RL) de "6 POUR Z—%
Si cette condition n’est pas vérifiée, l'intégrale n’est pas quasi-périodique. Mais, même lorsque K est nul, l'intégrale n’est pas nécessairement quasipériodique uniformément continue, puisque, comme nous l'avons vu page 60, l'existence de l'intégrale R(x,, æ,, ..., æ,) n’est pas assurée.
Dans une lettre que j'ai reçue récemment, M. Bohl a bien voulu me communiquer le résultat suivant (") :
St l'intégrale
ote)= f (2) dx
est bornée, c’est-à-dire ?
9(x)| < A, elle est développable en série unifor-
mément convergente, dont le terme général u, est un polynome en
TL T É V4 : æ COST 500 COS2T — ; SUITE) Sora) SIT da; An di (C7 en d’autres termes, (x) est une fonction quasi-périodique uniformément continue. La condition est d’ailleurs manifestement nécessaire. Il résulte de là que si l’on considère les fonctions R(x,, æ,, ..., æ,) saüsfaisant à la condition
fee Fee R(T, 2) h =0 L
= F(xi; Z2, y Zn) ou, si l’on veut, bien que le problème soit un peu moins général, qui vérifient l'équation aux dérivées partielles
R 0R, OR TNT CNCTRRETT
= F(Z: Ta rs ns
F étant une fonction continue périodique en x,,x,, ..., æ, à périodes indépendantes, avec K = o, aucune de ces fonctions R n'est bornée, lorsqu'il
(1) Ce résultat n’a pas encore été publié.
150 E. ESCLANGON.
n’en existe pas de périodiques en x,, æ,, ..., æ,, et s’il existe une intégrale R bornée, il en existe une de périodique.
En général il arrivera que si #(:) n'est pas quasi-périodique, la fonction
Y(a)=f L)—K]de
est quasi-périodique uniformément continue; c’est, pour ainsi dire, la partie quasi-périodique de l'intégrale qui se met alors sous la forme
o(æ) =Kzx+d(x).
Dans tous les cas, lorsque l'intégrale d’une fonction quasi-périodique uniformément continue ou simplement continue f(x) est elle-même une fonction quasi-périodique continue, l’ordre de cette dernière est égal à celui de f(x), le corps fondamental des périodes attaché à l'intégrale est le même que celui de la fonction f(x).
Plus généralement si l'intégrale se met sous la forme Kx + d(x) où Ÿ désigne une fonction quasi-périodique continue, les fonctions f et Ÿ ont le même corps fondamental de périodes. En effet, d’après ce qui a été dit sur les dérivées, le corps fondamental de la fonction Ÿ'(x)= f(x) — K, qui est celui de f(x), coïncide avec le corps fondamental attaché à Ÿ(xæ).
En définitive, on peut résumer en disant que :
Nila dérivation, ni l'intégration, lorsqu'elles conservent la quasi-périodicité, ne modifient les champs de périodes attachés à une fonction quasi-
périodique.
Soit F(u,,u,, ..., u,) une fonction continue des variables indépendantes u,,u,,...,u,. Si l’on remplace les variables z,, 4,,...,u, respectivement par les fonctions quasi-périodiques continues p,(æ), #,(æ), CAES la fonction
CANNES), Dee Pn(æ)]
est elle-même une fonction quasi-périodique continue. En effet, en dési-
gnant par
wi (Ës 4e ss 2): V2 (13 Nos - ing)
les fonctions associées de ?,, 6,, ... sur leurs champs respectifs. A,, A,,.., la fonction
FLei(E, DAME) En) LATETE .. No) al = DA; ss Én: is ces gs o
est l’associée de f(x) sur le champ résultant de A,, A,,...: de plus, est continue sur ce champ. Il résulte de là que l’ordre de f(x) est au plus égal à l’ordre du champ résultant, mais peut lui être inférieur; il faudrait, pour déterminer l’ordre exactement, étudier la réductibilité de la fonction ®.
Considérons en particulier le cas où les fonctions v,(æ), v,(æ), .…, e,(æ) sont des fonctions continues simplement périodiques. La fonction
fa) et). r(æ)]
est alors une fonction quasi-périodique uniformément continue.
Doient di... les périodes) respectives des fonclions vf Pr, -.., ©, Nous avons montré dans la première Partie que la fonction Ge CG). 2, (2,))Lestirréduetible Par conséquent, sales pe: riodes &,, &;, ..., à, sont indépendantes, l’ordre de la fonction f(x) est exactement égal à n.
I faut remarquer que les périodes &,, &,, ..., a,, supposées indépendantes, ne forment pas nécessairement une base du corps fondamental attaché à f(x), et cela peut tenir à des raisons différentes. Pour qu'il en fût ainsi, il faudrait que les périodes (a,, 0, ..., 0), ...,(0, 0, ..., a,) de la fonction
Dre nr (me la) eu tel
formassent un système minimum; cela exigerait en particulier que, pour certaines valeurs fixes attribuées par exemple à x,,æ,,...,,, la fonction de la seule variable x,, (x,, x?, ..., x) admiît a, commme période minimum, et de même pour les autres variables. Or cette conclusion peut être en défaut et ce serait le cas, par exemple, d’une fonction contenant seule-
r . 5 Te ment les carrés des fonctions r,(x,) = cos2T — APCE COS2T =": > 1 n ’ ’
Mais ce n'est pas là le seul cas d'exception. D'une façon générale, désignons
152 E. : ESCLANGON.
a : na JE :
par &,— “ (q, entier) la plus grande des périodes minimum des fonctions qi
de x,, telles que D(x,, x, ..., æ°), obtenues en donnant à #,, #3, ..., Zn des valeurs fixes, et définissons de même les périodes
Les périodes («,, 0, .…, o), …., (0, .…, 0, «,) ne forment pas nécessairement encore un système minimum de la fonetion D(x,, æ,, ..., x). I faudrait, pour qu'il en fût ainsi, que les coordonnées (B,, 6,, ..., 6,) d’une période quelconque fussent respectivement des multiples de &,, &,, ..., 4;
or on peut affirmer seulement que les rapports 2e ..) Pa sont commensudx | "n
rables. 11 est facile d'obtenir des exemples où ces rapports sont effectivement fractionnaires. Considérons la fonction
: Li Lo Dire) sin2r— Sin2T—°
