AE

On aicia,—a,, a, — a,. La fonction ® admet cependant la période

de coordonnées B,— —, B,— —.

Il ÿ a un cas assez général où l’on peut affirmer que «,, 4, ..., «, forment une base du corps fondamental attaché à f(x); c’est celui où la fonction de æ,, P(x,, x, &,,..., x) admet à, comme période minimum, quelles que sotent les valeurs fixes attribuées à x,, .…, æ,, et où il en est de même pour les autres fonctions D(x°, æ&,,, æi, ..., æ,), ... vis-à-vis des périodes æ,, ... Soient alors B,, B;, ..., 6, les coordonnées d’une période de la fonction ®. On a, quels que soient x,, æ,, ..., æ»

FTe(xi + Bi), Pa(Le + Ba), GLACE] Drm 0) = ET CZ), share PEN

Or, les fonctions 6 étant continues, on peut déterminer les nombres x”,

y % detacon que l'onait

Pa(di + Br) = pat), ‘….) Phiæer D) 0),

La fonction de x,, F[e,(x,), v,(æ%), .…., e,(x°)], admet alors la période B,

qui, en vertu de l'hypothèse faite, est nécessairement un multiple de &, ; on verrait de même que B:, ..., 8, sont des multiples de &, ..., æ.

Dans tous les cas, si Y,, ÿ2, ..., y, définissent une base du corps fonda-

TON I Li il . . . nl . 4 mental attaché à f(x), tee dire s'expriment en fonctions linéaires à 1 2 n ;

. . ji [ . , + coefficients entiers de Sd Niue cela puisque le champ des périodes gl 2 n

Gi Ms, +, @ est attaché à f(x). Bien entendu, on a supposé, dans tout ce qui précède, qu'aucune des fonctions e,(x), v2(æ), ..., e,(æ) n'est constante, et que la fonction F(6,, 6:, ..., e,) des variables indépendantes Pi Pas +.) ©, N'est constante par rapport à aucune d'elles.

Ces propriétés montrent qu'on ne peut songer à exprimer la fonction

TEA (z) (2), CG)

en fonction continue uniforme d’un nombre moindre de fonctions simplement périodiques. En particulier, la fonction f(x) ne saurait être simplement périodique, ni constante, ni nulle.

À un certain point de vue, on voit que des fonctions données ?,(x), ..., #,(x) périodiques continues, à périodes indépendantes, se conduisent, pour ainsi dire, comme de véritables variables indépendantes. Si la fonction

F[s(x), ss Pn(x)]

est nulle, quel que soit x, la fonction F(6,, 6,, ..., e,) des variables indépendantes #,, ..., », est identiquement nulle; et si l’on a

Pire =), Cm),

les deux fonctions F(r,,...,6,), ®(r,, ...,e,) sont identiques.

Il peut arriver que la même fonction f(x) puisse s'exprimer de plusieurs manières, en fonction de fonctions périodiques à périodes indépendantes qui sont alors en même nombre dans ces diverses expressions de f(x). Les divers systèmes de périodes qui y figurent définissent nécessairement le même corps.

Lorsque les périodes a,, ..., a, des fonctions P,(x), ..., #,(x) sont dépendantes, appartenant à un même corps d'ordre p, l’ordre de toute