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de sorte que la période ©’ n'aurait plus de signification vis-à-vis de la fonc- ROME ER PEER DE

Nous dirons dans ce cas que la période w est une période umpropre de la fonction F. Les périodes impropres s’évanouissent donc par la réduction.

Leurs éléments vérifient Les équations

| Ma+æ+...+AIt;—0,

Pc SION D 0e DD ir 0;

inversement, tout système de nombres &,,&,,..., a, vérifiant ces équations représente une période impropre de la fonetuon F. L'ensemble des périodes impropres a donc la puissance du continu, et il y a des périodes impropres dont le module est aussi petit que l’on veut (").

On verrait bien aisément que la définition des périodes tmpropres ne dépend pas de la substitution employée pour ramener F à une fonction 1rréductible.

La somme, la différence géométrique de deux périodes impropres est évidemment une période impropre.

Nous appellerons, au contraire, période propre loute période de F dont les éléments ne vérifient pas les relations (2), et la définition ne dépend pas non plus de la substitution qui ramène F à être irréductible.

La somme géométrique d’une période propre et d’une période impropre est une période propre.

Toute période propre subsiste effectivement par toute substitution linéaires ST, d....,d.s0ntses clements dans lalonchonbr ee ur ses nouveaux éléments dans la fonction irréductible ®(y,, y, ...,7,)sont donnés par les formules

— (ee — M

Mais ul y a une infintlé de périodes propres qui, par la substitution (1), se transforment en la même période B,, 6,, ...,6, de la fonction %.

En eflet, si à une période propre on ajoute, ou on soustrait, géométriquement un nombre quelconque de périodes impropres, la période correspondante dans la fonction ® reste incariable. Cela résulte immédiatement du fait que les éléments d’une période impropre vérifient les équations (2). Inversement si deux périodes propres correspondent par la substitution (1) à une même période de la fonction ®, elles diffèrent géométriquement d’une période impropre.

(1) Les fonctions réductibles possèdent donc des périodes infiniment petites. Chaque fois que l’on pourra établir qu'une fonction ne possède pas de périodes infiniment petites, on sera assuré qu'elle est irréductible,

Les périodes propres qui correspondent ainsi à une même période de la fonction ® seront appelées des périodes équivalentes. Tei encore il faut remarquer que la définition de l’équivalence est indépendante de la substi- Lution employée pour transformer F en une fonction irréductible.

Nous avons ainsi divisé en deux classes bien distinctes les périodes d’une fonction réductible : 1° les périodes impropres qui disparaissent par réduclion; 2° les périodes propres qui se séparent en groupes de périodes équicalentes, chaque groupe correspondant à une période de la fonction irréductible ®.

L’addition d’une période impropre à une période donnée ne change pas la nature de cette dernière, et enfin la nature d’une période quelconque reste invariable par toute substitution linéaire à déterminant différent de o.

Périodes propres distinctes. — Soient p périodes propres &,,&,, ...,0, d’une fonction quelconque F(x,, #,, ...,æ,) supposée réductible à g varobe D... 07: celanyeut direcque ÿ,Y2 +. y etantig ionmes linéaires indépendantes en #,,æ,,...,æ, convenablement choisies, on a identiquement