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et considérons la fonction quasi-ptriodique PACA ES NCAA ES On voit que la fonction des p variables y,, ya, ..., y, PO Ja ee Jp) = Foie), Pad), ., n(æn)l

où, dans le second membre, x,, æ;, ..., æ, sont supposés exprimés en fonction de y,, Y2, ..., y,, est l’associée de f(x) sur le champ des périodes indépendantes «,, «,,..., «,. Pour que f(x) soit nul, il faut et il suffit que la fonction W(y,, 2, .., Y,) soitidentiquement nulle par rapport aux vañablesindépendantes®,;#»2,...; y, Les fonctions 6,(x1), é,(&)..., v,(æ,) sont elles-mêmes des fonctions de y,, Vas his DÉTIOQUE RTE périodes &,, &,,..., 4, On est donc ramené à la question, d’ailleurs plus générale, suivante :

Étant données n fonctions (n > P) J1(J15 Vas CRC YVp) Ja( Vis Vas Ter): CACAOE) Aa Ssepahp)

continues, périodiques en Yi, Ya; +. Y,, les périodes étant les mêmes pour toutes ces fonctions, existe-t-il des fonctions continues uniformes Ode L)lelesque, en remplacant y; Us, - + Un PAL Tan a ee fn on oblienne une fonction de Y,, Ya, ..., y, identiquement nulle?

Cette question est, du reste, identique à celle-ci :

Étant données n fonctions quasi-périodiques uniformément continues sur un même champ d'ordre p<n, existe-t-il une fonction continue uniforme F(u,, Us, ..., u,) qui devienne nulle pour toute valeur x lorsqu'on remplace u,, u,, ..., u, par les fonctions considérées?

J'ignore s’il en est ainsi effectivement dans le cas le plus général où, à part la périodicité et la continuité, on ne fait sur les fonctions

CPL cr Jo) MOIS 2 Je

aucune autre hypothèse particulière. Je n'ai pas cru devoir approfondir cette question, qui m’a paru d’une importance un peu secondaire. Toute-

156 E. ESCLANGON.

fois l’existence des fonctions F(&,,#,,..., u,) est certaine dans le cas où les fonctions f jouissent de la propriété suivante : Considérons l’une quelconque d’entre elles, f, par exemple, et donnons à y, y, ..., y, des valeurs fixes y}, yS, -.., y, mais quelconques; nous obtenons ainsi une fonction périodique de la seule variable y, de période «,. On supposera que cette fonction f,(y,, 2, ..., y,) possède dans l'intervalle o, «, un nombre limité de maxima et de minima, ce qui entraîne d’ailleurs cette conséquence que les équations de la forme

Ti L27 RE

où A désigne une constante quelconque, ont un nombre limité de racines dans l’intervalle 0, &,, et que, À variant, le nombre de ces racines a une limite supérieure. On fera la même hypothèse relativement aux autres variables et aux autres fonctions. Dans ce cas, on obtient sans difficulté un procédé d'élimination des variables y,, y2, ..., y, entre les fonctions f,, Le Te

Envisageons le cas le plus simple, celui de deux fonctions continues u(x), e(æ) périodiques et de même période &. Former une fonction F(4,e), c’est obtenir une correspondance telle que, étant données des valeurs numériques quelconques &,, #, attribuées aux variables w, #, on puisse déterminer (ue, ).

L’équation