LL
a un nombre limité de racines dans l'intervalle o, x; soient x,, 2, ..,, x Ces racines, #(%1), PUT:), e(æ,) les valeurs correspondantes de la fonction P(x). |
Formons le produit
Lro— P(a1)] Lo — P(æ2)].. [re — P(æx)],
qui définira la valeur F(4,,6,) correspondant aux valeurs w,, #,. La fonction F(w, ») ainsi définie vérifie identiquement la relation
mais elle n’est pas continue, car, w, variant, certaines des racines #,, ..., 24
disparaissent lorsqu'on atteint un maximum ou un minimum de u(a)all est facile de lever la difficulté et, pour faciliter le raisonnement, employons une méthode géométrique. Représentons la courbe y = #(x) dans l'intervalle o, «, et soient M,, M,, M,, ... ( fig. 2), les points, en nombre
limité, où w(x) devient maximum ou minimum. Par le point M, qui représente un minimum, menons une demi-droite M,A, parallèle à oy dirigée vers les y négatifs; par M,, qui représente un maximum, menons une demi-droite MA, parallèle à oy dirigée du côté des y positifs, et ainsi de suite. Considérons alors la figure formée par la courbe et par les demidrones MA MA, N14;,.... Une parallèle quelconque y =, coupé la figure en un certain nombre de points dont les uns, d’abscisses æ,, 42, ..., 44, appartiennent à la courbe, et les autres, d’abscisses æ4,,, Æzis, «.., aux droites A. Si l’on compte deux fois ces derniers, on obtient un ensemble de valeurs x,, æ:, ..., æ,, en nombre fixe, variant d’une façon continue avec la parallèle y = x, et comprenant toujours les racines de l’équation u(x) = u,. Dans ces conditions, le produit
Lo Pa) TP — P(æ2)1.. [ro — v(æa)]
varie d’une façon continue avee &,, #,, et définit ainsi une fonction continue F(&,6) satisfaisant aux conditions du problème. Lorsqu'on en a une, on peut en former une infinité, en multipliant par une fonction continue quelconque. |
Le même procédé de démonstration s'applique à montrer que, si l’on
a p + 1 fonctions périodiques continues #,(x), P,(&), ..., Ppni(a), possé-
dant chacune un nombre limité de maxima et de minima dans tout inter-
valle fini, et dont les périodes «,, «,, ..., «,., sont liées par une relation de
dépendance, on peut former des fonctions continues F(6,,6,, ..., 6,1) qui
deviennent nulles lorsqu'on y substitue les fonctions considérées. Supposons que l’on ait en effet
+ Fa PRE
Copies CA CR dp
Bi, Lo, .., D, étant des nombres rationnels que l’on peut supposer entiers, car, s’il en était autrement, en désignant par g leur plus petit dénominateur commun, on choisirait 4 &,, 4@2,-.., 4%, Comme périodes de p,(æ),
Ha) Cr):
Soient donc pe 0... un système de valeurs numériques quel-
0 0 ? p? Pp+1 conques, choisies dans les intervalles de variation des fonctions #,(æ), ...,
(x). Considérons les équations.
M(t)=r,,s (2) = #7, (rer
parmi les racines de chacune d’elles, »;(x) = 6! par exemple, n’envisageons que celles comprises entre o etia;; leur nombre est fini Sgt7,, x, #7, un groupe de racines prises respectivement dans chacune des équations précédentes; le nombre de ces groupes est fini. En ajoutant à x, un nombre enter de périodes &,, à æ, un nombre entier de périodes «,, ..., on obtiendra un groupe différent de solutions qu'on pourra appeler, si l’on veut, un groupe CONSgTU à Li, Lys & - +3 Te ;
Au système de solutions x,,x,, ..., æ,, faisons correspondre le nombre £ défini par l'égalité . Le L h en Pa + = one 2.
DLAU SYSÉCINO TD. T,, On substitue un système congru
Lit ais Os Lp+ QpAps
6 se change en
Ë Ar (lg GE Paqa +. La UpQp)Aprs = Et T'Œp+1s
r étant entier.
À chaque groupe x+,,#,, ..….,æ, correspond ainsi un nombre Ë; soit DMC la valeur correspondante de +,,, (æ). Pour tous les groupes Congrus à un même groupe donné, 6,,,(€) a donc la même valeur, de sorte que le nombre des valeurs #,,, (5) est égal au nombre k des groupes distincts de solutions #,, ..., x, nombre qui est fxi. Formons alors le produit
Coprs — Vp+1(61)] Lois rite) KE — Philce)l
chaque valeur £; correspondant à un groupe de solutions. Ce produit, bien déterminé lorsqu'on s’est donné p°, °, ..., F5 Pyus définit ainsi une fonction uniforme F(6,,0,,...,6,, 6,1). Pour montrer que celle-ci devient identiquement nulle lorsqu'on remplace 6,, 6,, ..., 6,,, par les fonctions P,(x), ..., (x), appelons x, une valeur quelconque attribuée à la variable x. On a ici
(To) PS, Pad) = 2, Pt) Ph Ppn(To) = hs
l’un des groupes #,, æ,, ...,æ, précédemment définis, ou congru à l’un de ces derniers, est ici le groupe
le nombre Ë correspondant devient alors égal lui-même à x,. Dans le produit qui définit la fonction F le facteur
Pp41 — PE) = Pp+1( Vo) — PpH1(To)
est nul et, par suite aussi, la fonction F. .
Ici encore, la fonction F définie de cette manière n'est pas continue, mais on peut la rendre continue, par un procédé analogue à celui employé un peu plus haut dans le cas de deux fonctions périodiques.
Il résulte de là que si, parmi les z périodes des fonctions périodiques e,(æ&), .…, #,(æ), il y en a seulement p d’indépendantes, il existe au moins n — p relations distinctes entre ces fonctions.
On voit en définitive que les relations existant entre des fonctions périodiques caractérisent, pour ainsi dire, la dépendance de leurs périodes, ce que l’on pourrait exprimer ainsi : /a& condition nécessaire el suffisante pour que les périodes a,, a,, ..., a, Sotent dépendantes est, qu’étant
160 E. ESCLANGON.
données n fonctions périodiques quelconques non constantes », (EE, v,(x), de périodes respectives a,, a,, ..., a, il existe une relation (#) entre ces fonctions.
Sachant éliminer x entre deux fonctions périodiques u(x), (x) de même
période, on pourra éliminer successivement y,, y, -.., y, entre p + 1 fonctons 40-25 0) pe Os: 2) CONUNUESSPpETIOMAUESEN VA Vas. Yw les périodes correspondantes étant les mêmes pour toutes ces fonctions, et l’on en conclura cette propriété plus générale.
Étant données (p + 1) fonctions quasi-périodiques uniformément cortinues P,(æ), Pa(x), ..., P»:,(æ), définies sur un même champ absolu d'ordre p, on peut former des fonctions uniformes F(6,, 6, ..., 6p1) qui deviennent identiquement nulles lorsqu'on remplace #,, 2, ..., Poe par les fonctions quast-périodiques données.
L'étude des fonctions de fonctions quasi-périodiques d'ordre quelconque est beaucoup plus difficile que celle des fonctions de fonctions périodiques. Si f(x), fat), .., f,(æ) sont des fonctions quasi-périodiques continues respectivement Sur.les champs A, A9, 7.047 Matfonction continue F[f,(x), f(x), ..., f,(æ)], est quasi-périodique sur le champ A résultant des champs À,, A,,..., A,. Comme les fonctions f,, f,, ..., f, sont ellesmêmes quasi-périodiques continues sur le champ A,on est finalement ramené à l'étude des fonctions de fonctions quasi-périodiques définies sur un même champ de périodes qu'on peut toujours supposer indépendantes. L'ordre de quasi-périodicité de ces fonctions est au plus égal à l’ordre du champ commun A, mais il peut lui être inférieur; cela dépend à la fois de la nature des fonctions f,(x), ..., f,(x) et de celle de la fonction F(fi, ..…, fh); cet ordre peut même s’abaisser jusqu’à o, c’est-à-dire que F(f,,..…., f,) peut devenir une constante.
(1) C'est-à-dire une fonction continue uniforme F(61,62,...,92x) qui devient nulle lorsqu'on remplace P1, 2, ...,n par les fonctions données.
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES UNIFORMÉMENT CONTINUES.
Nous abandonnerons maintenant les fonctions quasi-périodiques simplement continues, pour nous attacher presque exclusivement aux fonctions quasi-périodiques uniformément continues en raison de l'intérêt tout particulier qu’elles présentent.
Les plus simples parmi ces dernières sont évidemment les lignes trigonométriques continues, c’est-à-dire les sinus ou cosinus dont les arguments sont proportionnels à la variable ; ensuite les fonctions simples de ces lignes, et en particulier les polynomes entiers d’un nombre quelconque de sinus ou de cosinus, dont les arguments sont proportionnels à la même variable x, les facteurs de proportionnalité étant égaux ou différents. IL est clair, d’ailleurs, qu’un tel polynome peut toujours se mettre sous la forme d’une somme de sinus ou de cosinus dont les arguments sont aussi proporlionnels à la variable x. Les fonctions qui sont représentables de cette manière forment donc, abstraction faite des périodes qu’elles renferment, une classe particulière, un ensemble bien déterminé E, parmi les fonctions quasi-périodiques uniformément continues.
Les fonctions de l’ensemble E qui sont attachées à un même champ de périodes données @,, &,, ..., a, (indépendantes ou non) peuvent toujours se mettre sous l’une des deux formes suivantes :
1° Sous la forme d’un polynome entier P(x) en
COS2T —) COST) oc) COST ; SIN sole) SIN2T — ; on Gy, An ai Gt.
»° Sous la forme d’un nombre fini de termes de la forme
f fr m m: m . mnt Da Mn Acosaræ [Te + +... 2) + Bsinare et
di a An a; CE An
Où M3 Ms...) M, désignent des entiers quelconques, positifs, négalifs ou nuls.
Fe 21
162 E. ESCLANGON.
Au moyen de ces fonctions élémentaires, on peut obtenir les fonctions quasi-périodiques uniformément continues, par un procédé qui semble prendre, dans un certain champ d’études, une importance de plus en plus considérable; je veux parler du procédé qui consiste, partant de fonctions bien connues ou bien caractérisées, à en obtenir une classe nouvelle en considérant celles qui sont des limites des premières. |
Envisageons les fonctions qui peuvent être considérées comme des limites de fonctions appartenant à l’ensemble E. Si l’on ne fait aucune hypothèse sur la façon dont la limite est atteinte, les fonctions ainsi définies ne possèdent aucune propriété particulière, si ce n’est qu'elles sont ponctuellement discontinues.
Supposons, au contraire, qu'on fasse les hypothèses suivantes :
1°, Les foncuons P,(æ), P.(x),., PC), de l'ensemble Lure pour limite f(x), sont des fonctions quasi-périodiques attachées à un méme champ À de périodes &,,@;,:.. dr:
2° La limite f(x) est atteinte uniformément relativement à l’ensemble
de toutes les valeurs réelles x.
Nous savons (!) alors que f(x) est une fonction quasi-périodique uniformément continue attachée au champ A.
La première question qui se pose est de savoir si toute fonction quasipériodique uniformément continue peut être obtenue de cette façon. Il en est ainsi effectivement, comme il résulte du théorème déjà cité de M. Bohl (p.123) qui a pénétré par cette voie dans l'étude des fonctions quasipériodiques uniformément continues.
Toute fonction quasi-péricdique uniformément continue sur le champ À peut être considérée comme la limite uniforme de fonctions élémentaires P(x) attachées au champ À, ou encore, ce qui est l’expression de la même propriété :
Toute fonction quasi-périodique uniformément continue sur le champ À peul étre développée en série uniformément convergente pour
GEPa sens
toutes les valeurs x, dont les termes sont des polynomes (') quastpériodiques sur le champ A.
Si, tout en supposant la convergence uniforme, les fonctions PSée) n'élaient plus assujellies à être attachées au même champ de périodes, leur limite f(x) définirait une fonction jouissant encore de propriétés très paruculières, analogues à celles qui caractérisent les fonctions quasi-périodiques uniformément continues. On obtiendrait ainsi une généralisation correspondant, pour ainsi dire, au cas où l’ordre du champ devient infint.
Mais il faut remarquer que les fonctions quasi-périodiques simplement continues ne peuvent en aucune facon être obtenues par ce procédé.
Les développements précédents des fonctions quasi-périodiques uniformément continues sont très importants en ce sens qu'ils convergent uniformément dans un domaine infini, mais ils ne sont pas uniques; ils correspondent à ce théorème relatif aux fonctions périodiques continues :
Toute fonction périodique continue peul être considérée comme la limite, atteinte uniformément, d’une suite finie de Fourier.
Il est donc naturel de se demander si, pour une fonction quasi-périodique uniformément continue, il n'existe pas, sous des conditions analogues aux conditions de Dirichlet, un développement qui réunisse les deux avantages de la série de Fourier vis-à-vis des fonctions périodiques continues, à SaVOIr :
1° Le développement est uniformément convergent pour toute valeur x;
2° Il est unique.
De tels développements existent en général, et nous en obtiendrons deux formes distinctes importantes. C'est par la considération des fonctions associées et de leurs développements en série que nous arriverons au but. Or, les fonctions associées sont, à part la continuité et la périodicité, des
fonctions quelconques de plusieurs variables; il est indispensable que nous
(1) En appelant polynomes quasi-périodiques des polynomes des fonctions trigonométriques sinus et cosinus.
16/4 É. ESCLANGON.
présentions quelques remarques importantes au sujet de leurs développe-
ments en série de Fourier.
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE DE FOURIER DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.
Soit F(x,,%+, …,æ,) une fonction continue périodique en &,, &, ..., %n de périodes &,, &, ..., a. Une telle fonction est en général développable en série de Fourier. Parmi toutes les formes que l’on peut donner à ce
développement, nous adopterons la suivante :
3 Le T (1) NRA a) => ACOS2T | m1, = Mo me a, a a
; D] ro œ + BSIN2 T7, "mn; + + Mn — di AE) dn où le second membre est une série multiple, et 72,, m,, ..., m, des entiers prenant toutes les valeurs positives, négatives ou nulles. De plus, nous supposerons que les coefficients (A, B), (A’, B°) correspondant respectivement aux deux systèmes d’entiers (m,,7n,,..., my), (— M, — Ma... Mn); vérifient les relations AA (si,
Dans ces conditions, si la série du second membre est uniformément convergente, les coefficients s’obtiennent par les formules
. di da An . 7 | æ,\ = —— .. F(Tis Los es Ln) COS2T | My — +... + Mn |dr; dr, .. AjG3... An, . Li a, An
ai A2 an I : : Li À = = fé He [ Flai, e. L ,) ein et me, +...+ Mn — ) de, dæx,.. CC , 4; an
de sorte que, si un tel développement existe, il est unique.
Il ne faut guère songer à déterminer les conditions nécessaires les plus générales pour assurer l’existence d’un tel développement, et les cas dans lesquels la série précédente, où l’on détermine les coefficients A et B par les formules (2), est convergente. On se heurte là à des difficultés plus complexes encore que celles que l’on rencontre dans le cas d’une variable. Il est toutefois des cas très étendus, et notamment lorsqu'il existe des dérivées
ES
