AN 7 P TOP TS OS STLEE N

] J Î Î ! il =femeermmt)(e rte) (es —+ 24 m\! De) nm? 2Pn run le second membre étant ainsi le produit de » séries convergentes. La proposition est établie.

Il y a d’auires cas où le développement d’une fonction F(x,,x,,...,4,) est possible sous la forme (x), les coefficients À et B étant déterminés par les formules (3); on les obtient en imposant à la fonction F des conditions d’une autre nature, analogues aux conditions dites de Dirichlet, dans le cas d’une seule variable. |

Nous dirons que {a fonction F(x,,%3, ...,æ,), supposée continue, pértodique, satisfait aux conditions de Dirichlet st elle possède les propriétés suivantes :

1° Toutes les fonctions d'une variable telles que F(x,,2,,æ5,...,æ,), obtenues en donnant à (n — 1) des variables des valeurs fixes, satisfont

168 E. ESCLANGON.

aux conditions de Dirichlet, c'est-à-dire que dans tout intervalle fini le nombre de leurs maxima et de leurs minima est hmité; nous le supposerons de plus inférieur à un nombre fire 1.

2° Donnons dans F des valeurs fixes quelconques à #,, æ,, ..., æ,. Nous supposons que la fonction de x,

DL) = ERA, LEA Sa RO) FE EE 20)

st elle n’est pas constante, possède, dans l’intervalle o£x,£a,, un nombre de maxima et de minima inférieur à &3 h,, ..., h, sont des constantes quelconques, voisines de 0; la même propriété doit avoir lieu relativement aux autres variables.

Ces conditions sont ce que l’on pourrait appeler des conditions de Dirichlet du second ordre; mais dans la suite nous dirons toujours, pour abréger, qu'une fonction de plusieurs variables satisfait aux conditions de Dirichlet si elle possède l’ensemble des propriétés 1 et 2.

Nous allons montrer que si une fonction F satisfait à ces conditions elle est développable en série de Fourier, et je me bornerai pour la démonstralion au cas de deux variables; l'extension au cas d’un nombre quelconque de variables n’apportant qu'une complication inutile de notations.

Soit donc F(x, y) une fonction continue périodique de périodes a et b satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Posons

a ,0 me tone Rs Ann el j F(x,y)cos27 (re : +n ï) dx dy,

2 nb re ir re Y\ dx dy LR TL 3} Er )Sin2T C ie ;) dx dy,

et envisageons la série

AE : T (7) ) DD, COS2T (rr — + n}) + B,,sin2T (or — + 27.) a b a b

où 72, à prennent toutes les valeurs entières, positives, négatives ou nulles.

Rappelons brièvement ce que l’on entend par la convergence d’une telle série. Choisissons deux axes de coordonnées, et au point de coordonnées m, n plaçons le terme &,,,, le terme &,, occupant le centre du Tableau T ainsi formé. Le Tableau Test convergent si, choisissant une suite de courbes fer-

HÉROS CR qui grandissent indéfiniment dans tous les sens aure : Le tour de l’origine, la suite des quantités obtenues en formant la somme des : \ qe RS .

termes compris à l’intérieur de chacune d’elles est une suite convergente.

Il 'est clair que si la convergence a lieu pour une suile particulière de courbes C,, C:, .

… CG, «.. (fig. 3), elle a lieu également pour toute autre

Éige09

suite C', C,,..., C;, ..., pourvu que celles-ci grandissent indéfiniment dans tous les sens en s’éloignant de l’origine. Pour étudier la convergence du Tableau T, on peut done se borner à la recherche de cette convergence relativement à une suite parüculière de courbes C;, par exemple des rectangles de centre O, dont les côtés parallèles aux axes s’éloignent indéfiniment.

Ceci posé, considérons la série (7), et formons la somme des termes compris dans le rectangle (ou sur ses côtés) x =Æm,y=x+#n. Si l’on remarque que le terme général de la série (7) s'écrit, en tenant compte des formules (6),

2 [JF Brcosar (m2 RÉ) da ds,

on a pour l'expression de cette somme

AOL 20 P=+Mm q—=+n 6 . I < : Qt — TL D 7 D no — Fil ’ F(a«, G) > > cos2r (p : + q ; ) da d5. 0 0

Or la double somme qui figure dans l'intégrale du second membre s’ob-

170 E. ESCLANGON.

tient aisément. En posant, en effet,

LT

on a à calculer

D cos(pu +qv) =YYcospu cosge—d Ù sinpu Sing.

Or pP—-Pm qg=+n D> sin pu Sing? — 0 el > COSpU COS qP — D Cospu > cos ge ; p—=—-n Jen comme ; u £ (à sin(2 +1)— sin(2r +1) COS PU = —— dcose P = —— D Sd ee sin — sin — 2 2 il vient finalement Éd ; t—X . — Y SiD(227 +1)T en J a l F(æ, 6) —— da d5.

Su See *À FIN

SR SRE mn ab ; SIN T —

Il s’agit de voir si cette somme a une limite, lorsque m» et n grandissent

indéfiniment par valeurs entières positives.

Mettons-la sous la forme

a Fes 10 : B—y sin(2m+1)T Sin(272 +1)T Sue I a 5 À b = ——"— da | F(2,8) — SiINnT Sin T a : b

eo

=" ne Cor 2e re en posant y = 7% ir la deuxième de ces intégrales s'écrit

by\ sin(a2n+i1)y F - ; (a =) : ) siny dy.

D’après les propriétés connues (!) de ces intégrales, on voit que pour 7 = « J a comme limite, puisque F est une fonction continue périodique,