HUE TUE

on aura

Se ET, F(æx, 7) | < ee

la série (5) est donc uniformément convergente et a pour somme F(x,y). Pour terminer cette question, voyons quel est en général l’ordre de petitesse des coefficients À,,,, B,,. On peut écrire

b a I n 5 mo RQ Eu NE TR FE S27 — da Ann ni cos2 b a5 [ (x, B) cos2 = a

b A a I : n5 s s ma — — sin27 —-d F(x sin2T — da.

ab : T b sf ( c 5) a Or, laissons 8 fixe, et considérons la fonction de x, F(x, 6), dans unintervalle (g, À), où elle varie dans le même sens. On peut écrire, d’après une propriété connue, en supposant, par exemple, que F(«, 8) décroisse dans 7e »

l'intervalle (g, ),

k € m © ma ce J F(æ, B)cos2r > du = F(8,8) | COS2T — da

8 g : m Ë . me : sinar — one

E étant compris entre get }; on aurait une formule analogue si F(a,6) Re : , s A rM :

croissait de g à h. D’après cela, on voit, en désignant par Æ le maximum

de la valeur absolue de F(x, y), que

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. re

ou encore, en appelant 44 le nombre des maxima et des minima de la fonc-

tion F(x,B)(6 fixe),

Mb:

[mm | |

j F(x,B)cos2r de Æ

S1 nous Supposons que, $ variant, ba reste inférieur au nombre fixe y, il vient en définitive A À

Im]?

|A», nm | <

S1 le nombre des maxima et des minima de la fonction F(4,6) (x fixe) a une limite supérieure lorsque & varie, on aura de même

| / PES Te | Dal

rai

et, en combinant ces deux sortes d'inégalités,

C 6 RAA TT ? Marne Te * mr? en re Se De . . . r ! I . .

Les coefficients À, diminuent, en général, comme een mais 1l est IEC ENT

de nombreux cas où l’on peut trouver pour ces coeflicients une limite inférieure à la précédente.

Supposons que la fonction F(x,y) périodique en x, y admette des

dérivées partielles du premier ordre continues, satisfaisant aux conditions

0F d&° dy.

considérés comme fonctions d’une variable, ait une limite supérieure. On

de Dirichlet, et que de plus le nombre des maxima et des minima de

trouve immédiatement

A I °F 0F D SE = — —— — SiIN2T( — + —- ER E 2rmmb Î 0x ( a >) 2F {max ny) — — = JS sin | — Fe