TANA

mx 2 ;

oo — — COS27T| — 2) dx dy

m,n mi) Jo TT 7 DE b 4

TE ny — Les TA y == nn JT Ses r( > oi 2 T AY,

174 E. ESCLANGON.

« . dE. ,0F j ur de sorte qu'avec les hypothèses faites sur — et pi peut écrire successi-

dx vement di | B | C' A < Re il : 17 ee at sis | m,n | | . Ve ie nm m,n | Pa | Vm? + n°?

y g' l'A: | << | mn | <

E = ——— +) | re | Vm? + TER [r|Vm?+ n°

et, en combinant ces inégalités,

| An | <

Supposons de même que les dérivées partielles de jp? supposées continues, périodiques, satisfassent aux conditions de Dirichlet et possèdent, considérées par rapport à chaque variable, un nombre de maxima et de minima inférieur à un nombre fixe. On aura alors

A 0 id y | Anne 4 D ni dr? COS2T (re : old 7) dx dy RS ar EL æÆ y = — = 2 — = | dx dy, Rene ie cosar( m ? +n 7) x dy

et des formules analogues pour B,,,. On conclut de là,

D' D’ Are 7, = ? Br er — m°?\/m°? + nr? m°? n° + nr?

D" D" RAA Bal Sr m0 n°Vm?+ n° DANPTEENE et, par suite, C C AS Br 41e RER (m°+ n°)? (m?+ n°}?

dans ce cas la série uniformément convergente æ | M ’ Er 00 oi COS 2 TL EE n> + B, ,Ssin2T|( m— + n + a b 4 a b

est absolument convergente.

PF 9rF

En continuant de proche en proche, on voit que si les dérivées ee AE 4 2)

; de , ‘ dF 0°F satisfont aux conditions que nous avons énoncées plus haut pour de 97° on aura pour À,,,, B,, une limite supérieure de la forme

C C RARES pri lBrale EU (m?+ n°) ? (nm? + n°) ?

Le cas de deux variables s'étend immédiatement au cas de x variables. Si la fonction F(x,,x,,...,æ,), continue périodique, satisfait aux conditions de Dirichlet, elle est développable en strie de la forme

\ es T Th (9) Anime. mn COST Mi — +... + my — AT An . ban Th

GE BE sin2r ( UC CE) Mn 5 d; An

les coefficients A et B sont donnés par les formules (2), et l’on a

{ PL rs eo A. Mo), — Mn (10) D 7 Me ler Dr ADD —Mhn*

De plus, le développement considéré est le seul développement uniformément convergent de cette forme capable de représenter la fonction donnée, les coefficients A et B étant, bien entendu, supposés satisfaire aux conditions (10).

dPF 9PrF dPF

ie JEU T: Ôx?

conditions de Dirichlei, et ont, par rapport à chaque variable, un nombre

sont continues, salisfont aux

Enfin st les dérivées

de maxima et de minima qui reste inférieur à un nombre fixe, on a (")

[Am my | < DEEe Crete Er) | 1 M9, +, Mn | < PE 1?

(mi+mi+...+m;) ?

de sorte que si p=n la série (9) est absolument convergente.

(1) On exclut bien entendu la combinaison m;= m;=...= Ma 0.

170 E. ESCLANGON.

Nous avons obtenu, en résumé, un certain nombre de caractères assurant dans la plupart des cas la convergence de la série de Fourier, convergence qui résultera généralement, soit de l’existence de dérivées partielles continues périodiques (p.165), soit des conditions de Dirichlet (p. 167). Dans tous les cas, lorsqu'il existe, ce développement est unique.

Les fonctions continues périodiques de plusieurs variables qui ne sont pas développables en.stries de la forme (3) constituent une exception, au même titre que les fonctions continues périodiques d’une variable non développables en série de Fourier. La plupart des propriétés que nous étudierons seront indépendantes de lexistence de ces développements; ceux-ci n'interviendront que pour permettre de donner aux résultats une forme particulière simple, précise, unique et caractéristique.

On a supposé jusqu'ici que la fonction F était périodique par rapport à chaque variable. Soit F(x,, #,, ..., x,) une fonction continue qui admet p périodes propres distinctes. Nous savons qu'il existe une substitution linéaire à déterminant non nul qui transforme la fonction F en une fonction D y,, Va cs Vs Vpris sers Yn) périodique séparément par rapport aux variables y,, y, ..…., y,. Si b,, b,,..., b, sont les périodes correspondantes, on pourra écrire, en général,

P(Y:, V2» GOT) Ÿ'p»s Ÿ p+1 OO Yn)

=Y a cosar (ne . my ste -m, 32) Bsinar(m, +. + me); 1 2 1 P

les coefficients À et B étant ici des fonctions de y,,,, ..., y, données par les formules

b, > A —— n ei ‘Dcos2r RÉ Y» dyi dy: 7 b, bee 0, 0 5 b, P b, 142... V ps

b, PU ï / / »

a ———— js Vp B 7, RE ee [ sinar( Ua ++ mg) dy TYa dVpe

Can

Par la substitution inverse on obtiendra un développement contenant explicitement les anciennes variables et l’on aura, en quelque sorte, séparé les éléments périodiques qui entrent dans la fonction F(x,, ..., æ,); quant

aux coefficients À et B ils ne seront pas, en général, périodiques. Ceci ne suppose rien sur la réductibilité des fonctions F ou ®.

Si la fonction F est réductible à g variables et périodique d'ordre p, on peut la développer en une série dans laquelle les coefficients À et B contiennent seulement 4 — p variables, et il est impossible de former un développement trigonométrique dans lequel ces coefficients contiennent moins de 49 — p variables.

Soit F(x,,x,, .…,x,) une fonction, de périodes &,,@,, …, a, par rapport aux variables respectives x,,æ,,...,2,, que nous supposons développable en série uniformément convergente de Fourier. Si elle est réductible à p variables, nous savons que par une transformation de la forme

[ 1 En Le 5 AE ET +... pl ti a de ae (11) Ce CE I CU ei ee ce ) u} entiers, Vp | ) n | Hi Hilo ME dn & h 4

on peut la ramener à la fonction irréductible D(y,, y2,..., y,) périodique ne 0 deperiodes a, -«., 4, On peut developper Den sème uniformément convergente dont le terme général sera de la forme

(12) Acosar (gi 2 + p 2 ++) +Bsnor(g À Es Te) 1 >

a Xp 4 lp

Si dans les termes de cette série on remplace y,, 2, -.., y, par leurs expressions (11), on retombe sur la série primitive en x,, &:,..., æn. Si les périodes &,, &,,..., &, sont indépendantes, et si l’on détermine «,,

db les ormules

I Mi Mn — = +... +,

) di ln selle ele ses sie ee cle + 0 ,