DEP

® étant une fonction irréductible des nouvelles variables y,, ÿy:, ..., 4 ee = : n TON 0 2 2 DPPnon-repeoivementpar(th 07). (6-.p5)2. 085,02 les nouveaux éléments des périodes w© dans ®. Nous dirons que les p périodes considérées sont distinctes, si dans le Tableau des éléments

Bi Br ... B;] Br Bi ... Be il y a au moins un déterminant d'ordre p différent de o.

Bien que le mot de distinctes convienne assez mal pour qualifier une telle propriété, je l’emploierai cependant au lieu du mot indépendantes, quisemblerait mieux choisi, mais que je veux réserver pour exprimer une autre propriété qui sera étudiée dans la deuxième Partie.

Il résulte de là que la fonction F(x,,2,, …, æ,) ne peut admettre plus de qg périodes propres distinctes, 4 étant lui-même inférieur, au plus égal, à ».

Fe H

26 E. ESCLANGON.

an CRC à Si l’on désigne par (@i; ais. ai), (aP, té}, mar)leseléments

de p périodes propres distinctes © dans la fonction F, il est évident que dans le Tableau

P P P CH LCI

il y a au moins un déterminant d'ordre p différent de o. Cette condition

est nécessaire, mais elle n’est suffisante que si la fonction est irréductible. Des périodes distinctes restent distinctes par toute substitution linéaire à

déterminant différent de 0.

Si des périodes sont distinctes, celles que l’on obtient en leur ajoutant respectivement des périodes impropres quelconques sont aussi distinctes. Soient p périodes propres distinctes &{(a,, 1.4). 0,(a/, 0/10 et plus généralement p périodes quelconques telles que dans le Tableau formé avec leurs 2p éléments 1l y ait au moins un déterminant d'ordre p

différent de o.

Effectuons la substitution linéaire

PTE ea re dt Le AP lee das elle elalekele eee ie eus nent nee GNU Une , 1 JA 2 Va » JP ) p+1 1 Din 10 + +...+ + A! prier Y ñ ni di n PA Ù ñ ap T n J P+1 n Jus

OÙ @,, @, -.., @, Sont des nombres quelconques différents de o, les coefficients À? restant arbitraires, à la seule condition que le déterminant

Il PA D 4 GER LÉ CA AP+1 ) \1 ….. n

d; da €p

1 2 P o Pa) X2 ) p+1 sn —? 2 PR d; (LE) € p “

2 D An dre Se Bêp D Pa n 3 \n ….. \n

di (1#) ap

ne soit pas nul, ce qui est possible avec hypothèse faite. La substitu-

tion précédente transforme la période w,(x!, «!, ...,a!) en la pé-

riode w,(@,, 0, 0, ..., 0); de même la période w,(a?, a?, ..., &) en la

période w, (0, &, 0, ..., 0) et ainsi de suite. En d’autres termes les vec-

teurs périodes &,, &,,...,@, se transforment en vecteurs périodes w!, :

Di,

F(X,,%;,..,%,) devientune nouvelle fonction D(y,, Ya 292 Vars ces Ya)

dirigés suivant des nouveaux axes de coordonnées; la fonction

périodique séparément par rapport à chacune des nouvelles variables y,, Vrs-.., YN les nombres périodes correspondants @,, &,,..., @, pouvant être d’ailleurs arbitrairement choisis.

Constitution de l’ensemble des périodes d’une fonction irréductible. — Une fonction irréductible n’a que des périodes propres. Nous pouvons faire sur elle telle substitution linéaire que l’on voudra sans altérer la nature de l'ensembie de ses périodes.

Soit donc F(x,, x,,...,x,) une fonction irréductible. Elle admet au plus » périodes distinctes au sens que nous avons attaché à ce mot (p.25). D'une façon générale, supposons qu’il y en ait au plus p, (p£n).

Comme nous venons de le voir, une substitution linéaire convenable transformera la fonction

HO ner 2) en une fonction

P(Y1 Ja se .s Ypo Ÿ'p+1 vale or)

périodique séparément par rapport aux variables y, y:, ..., 7,3 soient Gi, Ass =, @, les périodes correspondantes. La fonction ® est irréductible, et la fonction K n'ayant pas plus de p périodes distinctes, 1l en est de même de la fonction D; soient 6,,6,, ..., 6, les éléments d’une période quelconque

de ® ; dans le Tableau

CHROME MT RIT Es ut © O AE) O O ® »

Oo O Œ&p O O R à R Ra R Pi Pa + :.. Pp Pp# +. Pal

28 E. ESCLANGON.

tous les déterminants d'ordre p + 1 sont nuls, d’où

Bp4 Bp+2 SvRs Br 0.

Nous avons donc à rechercher tous les systèmes de nombres $,, f:, ...,

6, qui permettent d'écrire l'identité P(Y1 + Bi Jets Ba GROS) Hp ee Jette Jovi 2) — P(Y1, V2» GO) ŸP» Ÿ'p+19 SES) Va

Nous voyons qu’on peut faire abstraction des variables y,,,, ..., Ya; elles ne jouent plus aucun rôle. Il suffit de remarquer que la fonction D considérée comme fonction des seules variables y,, 72, « .., y, est irréductible ou plus exactement elle n'est pas réductible pour tout système de valeurs attribuées à ÿ,4,, ..., y,. Donnons alors à ces variables des valeurs fixes y®,,, ..., y, qui rendent ® irréductible et posons |

LU U7E Pas ss Yp) = D(Y4, Jos Pam 0 cs Ya).

Si B,, B, -.., B, sont les éléments d’une période quelconque on aura,

quelsique soientiles entiers 77,07,, 722,000, Yi + mbi+ ma, Ya Mbs+ node, 4, Yp EM + npap) = (Yi Ya 2, Yp).

Or, d’après un théorème connu, employé notamment par MM. Hermite et Kronecker dans leurs recherches sur les périodes, on peut choisir les ENTIÈTS M, Ts Days t eo Mps APECIN 0, de faconique les TomUnRes

mBi+na, mBi+nid, ..., mB,+npa

soient en valeur absolue inférieurs à tout nombre donne &.

. WE D) Si les rapports Ne te.) Ê ne sont pas {ous commensurables, les 1 2 P

nombres m$;+ n;a; quoique infiniment petits ne sont pas tous nuls. La fonction Ÿ admettrait donc des périodes infiniment petites, ce qui est impossible puisqu'elle est irréductible.

Les rapports 2. …. 7 sont par suite {ous commensurables et l’on peut

poser

CRE —=— a —— Bi=tues Bo La, he Bu

les coefficients u, étant des nombres rationnels.

Ceci montre déjà que l'ensemble des périodes de la fonction W', ou ®, ou F est dénombrable.

Le nombre maximum p, de périodes distinctes, s’appellera l’ordre périodique de la fonction K.

Systèmes minimum. — Mais nous pouvons aller plus loin encore, Raisonnons sur la fonction irréductible D(y,, y, ..., ÿ,, Vers +. Va) périodique séparément par rapport aux variables ÿ,, y2, ..., y,, et d'ordre périodique p.

Dans l’espace à 7 dimensions marquons tous les points de coordonnées (B,, B:, ..., B,, 0, ..., 0) correspondant aux diverses périodes de la fonction d. Ces points sont d’ailleurs tous contenus dans un espace à p dimensions.

Les modules des périodes ont un minimum absolu b différent de o, puisqu'il n’y à pas de périodes infiniment petites; par conséquent la distance de deux points périodes quelconques est supérieure ou au plus égale à o, de sorte qu'un espace limité contient un nombre limité de points.

Ilsuit de là qu’on pourra trouver un volume parallélépipédique ayant lorigine comme sommet, des points périodes comme sommets adjacents, et £el quil ny ait aucun point période à son tnlérieur nt sur ses faces.

Avec ce parallélépipède fondamental on peut construire un réseau de parallélépipèdes dont tous les sommets sont des points périodes.

S'il existait quelque part un point période qui ne fût pas un sommet de ce réseau, son homologue dans le parallélépipède fondamental serait aussi un point période, ce qui est impossible.

Nous appellerons système minimum lout système de p périodes qui définit ainst un parallélépipède fondamental.

Il est dès lors évident que, si les p périodes w,(a,, 0, ..... 0) DUO NUS, 10) 7 0 (0, ..,0,@,,0,... 0. ).de la fonction Dforment

un système minimum, une période quelconque a ses éléments de la forme Bi= ma, Éd EPA Brad, O1 0, RE Ba 0,

+ ; - Te PTE Sn 2 EE es les coefficients », étant des entiers; inversement B,, B,, ..., f, définissent une période quels que soient les entiers m;.

Géométriquement on peut dire encore que Si &,, @:, ..., ©, sont p pé-

30 E. ESCLANGON.

riodes distinctes formant un système minimum, toute période w est une somme géométrique de la forme

propriété qui est ainsi indépendante du choix des axes de coordonnées.

Les systèmes de périodes minimum correspondent à la période minimum dans le cas d’une fonction périodique d’une seule variable, mais dans le cas d'une fonction périodique de plusieurs variables, ou plus exactement dans le cas des fonctions périodiques d'ordre plus grand que un, il ÿ a une infinité de systèmes minimum, et il est facile de voir comment ils se déduisent les uns des autres.

Soit F(x,,2,,...,æ,) une fonction irréductible quelconque, périodique

d'ordre p; &,,0,,..., 0, un système de périodes minimum; &°,,,...,0,

un second système minimum. On a

SE ei nm nd mi entier.

Il faut exprimer qu’une période quelconque

s'exprime par une somme géométrique de la même forme au moyen de w;, G—pH(wi)+.. Ru (0,) (L: entier),

il faut pour cela que, quels que soient les entiers »,, m,,..., m

ph» ON puisse

trouver les entiers 11,, ge, ..., 1, de façon que l’on ait

— Î 2 PA MIT MISE ip,

— Î DOS ENS Me ele aéoc ac SEE no

La condition est immédiate, il faut que le déterminant

1 P mn, Un Mu mn

) mi,

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. s 1.

qui est nécessairement différent de o, soit égal à +1, C’est une condition nécessaire et manifestement suffisante.

Dans un tel déterminant les termes d’une même rangée sont nécessairement premiers entre eux, et à part celte condition ils sont arbitraires.

Plus généralement tous les déterminants d'ordre # que l’on peut former avec les éléments de X rangées parallèles sont premiers entre eux, comme le montre le développement de A, suivant la règle de Laplace, et, à part cette condition, ils sont arbitraires (").

Supposons que les vecteurs &,, &,, ..., 6, soient dirigés suivant les axes A COOnONNEES 047102... 02. S0lenht (C0 D) 004:0...0),... les coordonnées de leurs extrémités. — w'w...w°, étant un système minimum quelconque défini par les formules (1), on a

1 1 Î HONCPNICEC NN ETT MT RUN AU; die, 0 ia ed P P MGR TN CoAMMÈUS

le déterminant formé avec les éléments (*) des périodes d’un système

minimum a la méme valeur pour lous les systèmes minimum .

Si l’on considérait, au contraire, p périodes distinctes quelconques, le même déterminant

! tp 1p 1p TR Dee LU PA STE

serait toujours en valeur absolue supérieur à M.

Ces propriétés ont d’ailleurs une interprétauon géométrique fort simple et bien connue dans les cas de deux et trois variables. |

Dans le cas de deux variables ou plus exactement dans le cas des fonctions périodiques d’ordre 2, si l’on marque les points représentatifs (°) de deux périodes formant un système minimum quelconque, on a ce théorème :

(1) Cela résulte immédiatement d’une Note (Note 1) placée à la fin de ce travail. (2) Je fais abstraction des variables Zp+4, :+.; Ta. (3) Les points représentatifs des périodes sont tous dans un même plan.

32 E. ESCLANGON,

L'aire du parallélogramme conslrutl Sur ces points périodes est

constante.

Dans le cas où l’ordre est égal à 3 :

Le volume N du parallélépipède construit sur les trois périodes d'un système minimum quelconque est constant, de plus le volume du parallélépipède construit sur trois périodes distinctes, qui ne forment pas un système minimum, est toujours supérieur à V.

Nous verrons plus loin une généralisation de ces propriétés qui est la suivante : si F(æ,,#,,...,æ,) est une fonction continue quelconque, périodique d'ordre p, l'intégrale

(free on) di bar OT

prise à l’intérieur du parallélépipède construit sur un système minimum de périodes est constante; en supposant F constant on obtient les résultats précédents.

Constitution de l’ensemble des périodes d’une fonction réductible. — Soit F(x,,%2,...,#,) une fonction réductible à une fonction irréductible de g variables ®(y,, y:,...,7,). L'ordre périodique de F sera par dé ftnition celui de la fonction ®, désignons-le par p, (p£q). Soit S la substitution qui permet de passer de F à ®,

Yi=Àm+iAlm+...+ xs,

Yp= ME + A9%: re ES PE MN :

A D + ÀŸX», D RDS SO SA D On OU :

do NE Co Ce + AT Tr

Il convient de remarquer que si l'on change arbitrairement les coefficients À figurant dans les 2 — 4 dernières formes linéaires précédentes, la fonction ® reste invariable.

4] ND = Eee (AG .

Nous avons divisé en deux classes les périodes de la fonction F : les

She

périodes impropres Q (*) dont les éléments vérifient les équations

Alto Al +..,+Ala—=o,

ÀT a + Ta +. + À? on 10)

et qui disparaissent par la réduction, et les périodes propres qui se conservent intégralement.

Soient 6,0, ...,0, p périodes de la fonction ®, formant un système minimum; désignons par ©, une période propre de F qui se transforme (?) par la substitution (S) en la période w', par w, une période qui devient O,, -.., et par © une période quelconque qui devient w’,

d'=7(0i) Mo) +...+m,(w,), My, Ms...) MN désignant des entiers, d’où D M(0n) + Ma(ws) +... + mh)(wp) +(Q),

Q désignant une période impropre ou une somme géométrique de périodes <

impropres quelconques.

L'ensemble des périodes est donc formé par l'association de deux ensembles : l’un dénombrable obtenu en faisant varier les entiers positifs, négatifs ou nuls m,,m,,...,m,3 l'autre continu, constitué par l'ensemble

des périodes Lmpropres Q qui dépendent den — q paramètres arbitraires.

Remarque. — Soit F(x,,æ,, ...,æ,) une fonction réductible à q variables et périodique d'ordre p. On peut écrire identiquement

Fr, Lay 9 LE P(Y:; Vo .. Ya)

Vis Vase.) Y, désignant g formes linéaires indépendantes en #,,,,..., æ, et ® une fonction irréductible. Un système P de p périodes propres distinctes de F se transforme en un système P’ de p périodes distinctes de ®.

(1) Voir pages 23 et 24.

(2) La période w; n’est définie qu’à une somme géométrique de périodes impropres près.

pe 5

3/ E. ESCLANGON.

Par une substitution linéaire, à déterminant différent de o, sur les q va- riables y, on peut transformer les périodes P’ en vecteurs périodes dirigés suivant les nouveaux axes de coordonnées, les nombres périodes correspondants ayant des valeurs arbitraires données à l'avance @,, a,,...,a,, de sorte que finalement, en combinant les deux opérations, on voit qu'il existe

qg formes linéaires indépendantes en æ,, æ,,..., æ»,

| Yi=imi+ a+... .+læ, (1) DAS otre on io 0 60 0 0 S 4.50 ; | Va= Nat ME... + Mar,

telles que l’on ait identiquement Pise 2 ln) = DV de es Doro) ae

® étant une fonction irréductible périodique séparément par rapport aux Valable Vpn

Si le système de périodes P est minimum, la fonction ® se trouve ellemême rapportée à un système minimum.

Il est facile de former des équations linéaires auxquelles doivent satisfaire les coefficients À des formes (1). Si l’on désigne par w,(ai,ai,...,æ1), ..., wo,(a?,...,a?) les éléments des périodes P dans F, on doit avoir

JA cite. M 0,

A GA eee ARR O0,

(2) ER EE ET NE af +. Fe EN AE UNS à ÀT ai +..... ae Ne 0:

l’on a ainsi p groupes de relations analogues obtenues en faisant