LES

dontl'oriineestunsommet;et(4,,0,,0)(0,G,,0,::0) (10, 0040) les coordonnées des sommets adjacents à l’origine. Considérant ce parallélépipède P comme fondamental, on obtient tous les autres, en prenant

comme sommets adjacents à l’origine les points de coordonnées

1 1 1 | Pi is P> UE CRIE | Pndns (P’) DE A UE AE Sen n 7è | DU ND Dec en ns

où les coefficients x? sont des entiers satisfaisant à la condition

n D CSS

Je dis que l'intégrale (14), si elle est étendue au parallélépipède P”’, garde au signe près la même valeur A,. Effectuons, en effet, la substitution linéaire

T3 —u1 Vi Lu? J? pr Jr a, Exe: NE has CR) ne er ES :

M in ; Ch 1 ‘4 V2 F ten bus... +pide; dh &; d> Zn

la fonction F(x,,4,,...,x,) devient une fonction D, 207) dont

le développement en série de Fourier s'obtient en remplaçant dans (13) Di Dr, +.) y EN fonction de y,,72, ..., y, au moyen des formules (15). L'expression

Br Le Ge m, LE Ma — +. + My a a

1 La n devient YA Vo Va DR Ep 0) it Dry Pre, PARENT oo

et les entiers p,, p,, ..., p, ne peuvent être nuls que si l’on a

Tin NN), — 0, Il suit de là que l’on a “di a Un CN on CL = [ f ne BR 2 rs old. des 40) “0

V0 = | Î Ne f PDP Mes )n) dYar ne ne 0 0 410

Dans la deuxième de ces intégrales effectuons le changement de variables

indiqué par les formules (15); la fonction ® devient F(x,, x,, ..., æ,), le

domaine d'intégration devient justement le parallélépipède P’, et l’on a 5 J I PF

d'autre part DOS ne) ci

Déni cl ed:

d'où, par conséquent, ; 2 he 7 [ HE ri) dr in À NE . «| ASE )d ri tan:

e (p) “ ({L 2) ce qui établit la proposition.

Si l’on remarque que la fonction F étant développable en série de Fou- : , + | x ; z = 26 Go rier, il en est de même de la fonction Fcos2r{, a nu 0. n

voit que le mème théorème s'applique aux intégrales

x 58 7) NF Gosa rer 4 Emi | do. dar, a; Ce ° ' 7 æ TRI FSin2r (met. mn 2) des. den.

SAC e CA An,

180 E. ESCLANGON.

J'établirai maintenant une propriété d’une grande importance et qui nous permettra, dans un grand nombre de cas, de donner aux développements trigonométriques une forme spéciale. Pour plus de simplicité Je me bornerai dans l’exposition au cas de deux variables.

Soit F(x,y)une fonction continue de périodes a et ben x, y. On peut toujours développer cette fonction en une série simple uniformément convergente de la forme

(16) F(æ, y)= D [Ax+ U(æ, y )}s A, est une constante, U,(x, y) une somme finie de termes de la forme

à Da Y ; 22 Ÿ (17) An cosar ( m Ru ?) +B, sin a ( 2 + An 1)

où mn et » désignent des entiers quelconques, positifs, négatifs ou nuls, la combinaison m = n = 0 étant toutefois exclue. De re : 38 2 ; Considérons l’expression cos2r (me ? + n ÿ) par exemple, où met n

sont des entiers donnés fixes; elle peut figurer dans plusieurs termes U;; d’une façon générale désignons par A; son coefficient (qui peut être nul)

dans U,; la DAT est convergente. il suffit pour le voir d’effectuer

terme à terme (ce qui est possible à cause de la convergence uniforme) l'intégration SL D I T \é — E(x Cos2r| m— n= \\ dx dy.

n 1 20) : a ax b 5

Cette intégrale représente précisément la somme D itr En particulier, la

série formée avec les constantes A, est convergente, et nous poserons

4 nb J AD ul J F(zx, LA) dx dy,

de sorte que l’on pourra mettre le développement (16) sous la forme

(18) F(x, 7) =A + Dis, y),

U, étant, comme nous l'avons dit, une somme finie de termes (17) où les entiers 7n, n ne sont jamais supposés nuls à la fois.

Ceci posé, j'arrive au théorème sur lequel je veux appeler particulièrement l'attention.

Soient u el y deux entiers Jixes quelconques positifs ou négatifs. Supposons que dans le terme général U, de la série (18) on prenne tous les termes de la forme (0) pour lesquels les entiers m et n sont de la forme

M—=pH, ID D,

p étant un entier quelconque positif ou négatif, et désignons par ux(x, y) la somme de tous ces termes dans U}, la série

< Suv(rs 7) => ux(x, y) est uniformément convergente.

Supposons d’abord les entiers 11 el y premiers entre eux, et envisageons l'intégrale

(19) bv= f F(x — av}, y + bu) di;

la série (18) étant uniformément convergente, on peut effectuer cette intégration terme à terme, et l’on aura à calculer des intégrales de la forme

1 dl 0 : COS2T Cr + nr + À(nu — my)| d}, 1 7 y dl sin2T L +ne +A(ru — m)] d'à.

Or, ces intégrales sont nulles si l’on n’a pas ñ FH TT DUVE10) si, au contraire,

nm L : « —=-——=p (p nécessairement entier), l- y

182 É. ESCLANGON.

elles sont égales, respectivement, à

2 (uZ+u) sin2T Pau D nur 7 L'ibies à Eu Carr. Vi de sorte que l'intégration relative au terme U, donne précisément #4. La

série D u, est donc uniformément convergente et a pour somme

Suv— > Ml, A,

On remarquera que si l’on pose

la fonction $,,, est une fonction de la seule variable z, périodique et de période 27 par rapport à cette variable. D’ailleurs, on a manifestement

. « Su. v UE U, —ve

Supposons maintenant que les entiers {4 et y aient un diviseur commun, nous les désignerons par &’ et y’, réservant les lettres 4, y aux quotients de w’ et v’ par leur plus grand commun diviseur #,

De même nous désignerons par w, la somme des termes de U, pour lesquels »m = pu, n = py', et enfin par w, la somme des termes de U; pour

lesquels Hat Il est bien facile de voir comment on peut déduire w;

de w,. Soit, en effet,

ZT À TL À A COS2T men + Bsin2r HE Re a b a b

un terme de &,; on peut l'écrire

A cosarpy(ne +2) + B sinarpg(n 2 + 2);

il appartient donc à 4. Si nous posons

nous sommes finalement ramenés au problème suivant :

Etant donnée une fonction S,,(z) de période 27, développée en une série uniformément convergente de la forme

Suv(s)= Ÿ ux(5),

u,(z) étant une somme finie de termes de la forme

Acosns +Bsinnz; st l’on prend dans u,(z) tous les termes de cette forme pour lesquels l’entier n est un multiple de l’entier fixe q, et désignant leur somme par u,(z) ul faut montrer que la série DU) esl uniformément convergente.

Or, cette dernière proposition est immédiate; il suffit en effet de former la somme

(20) = Sols) + So + =) one Sus(< 2G—0E ||

pour obtenir une série dans laquelle tous les termes pour lesquels x n’est

pas un multiple de g sont éliminés. I reste finalement la série S u,(z)

dont la somme est égale à la quantité (20). La proposition est complètement établie.

Ainsi les séries que nous venons d'étudier sont, dans tous les cas, uniformément convergentes; leurs sommes S,, sont indépendantes des séries particulières qui ont servi à les définir, puisqu'on peut écrire

SV =f E(æ — av}, Mon bp) AN "A,

si 4 ety sont premiers entre eux; si au contraire y’ et v’ sont deux entiers

18/ E. ESCLANGON.

admettant y comme plus grand diviseur, en posant

on écrira

4 44 a : b s (21) Sv= 3 f DORE TOC EEE ENTO RES

+F(a 3e gene — AV, Y + Ge ee bp ){dà— Ac.

Démontrons encore que, lorsque l’un des entiers y, v, ou tous deux, augmentent indéfiniment, les fonctions correspondantes SAR ont pour limite 0.

Supposons, par exemple, x et y prenuers entre eux. La série (18) étant uniformément convergente, on pourra écrire

F(x,y)=A+Fi(x, y)+R(x, y),

F,(x, y) étant une somme finie de termes de la forme (179)(m—=n=o exclu) et R(x, y) une fonction périodique inférieure en module à €, quels que soient x et y : on peut prendre y et y assez grands pour que F, ne contienne aucun terme pour lequel » = pu, n = py. On aura dans ces conditions

n BC 0

et, par suite,

di Sy,v —= Luv — À, = | R(x— av}, y + bu) di},

et puisque IRIS on aura aussi ISuol<e.

La démonstration ne demande presque aucune modification dans le cas où les entiers y et v ne sont pas premiers entre eux,

J'envisagerai maintenant d’une façon toute particulière les fonctions S,,

correspondant à des systèmes d’entiers w, y premiers entre eux qui, à part celte condition, seront arbitraires, c’est-à-dire positifs, négatifs ou nuls, là combinaison p = — o exclue; si l’un des entiers 4, v est nul, l’autre sera égal à Æ 1, les lettres 4, v employées sans accents seront dans la suite exclusivement réservées comme indices à ces fonctions.

L'ensemble des fonctions $S,,, est bien déterminé lorsqu'on connait la fonction F(x, y) et, lorsqu'on possède un développement trigonométrique de cette dernière, on obtient immédiatement les fonctions Su, sous forme de séries trigonométriques uniformément convergentes. Il faut remarquer qu'un couple d’entiers 4, y premiers entre eux donne naissance à quatre fonc- UOns : Su. pv) Dur Ou,-v3 ON à manifestement Su Soyons n’y a pas, en général, entre les autres fonctions de relations particulières.

On verrait aisément que deux fonctions possédant le même ensemble de fonctions $,,, sont identiques.

Une question très importante se pose immédiatement. Imaginons deux axes de coordonnées ox’, oy'; à l'origine plaçons le terme A,, et au point

Fig. 4.

(fre) ri or — no “x [e] 1e D A / S- 35=V (T)

de coordonnées 4, y (premiers entre eux) plaçons le terme 5 S,,. Nous formons ainsi un Tableau (T’) dont la convergence se définira à la façon habituelle par la considération de courbes grandissant indéfiniment dans tous les sens autour de l’origine (fig. 4).

Le Tableau (T'} est-il convergent en général et, dans ce cas, quelle est sa somme? Le cas le plus simple est celui où F(x, y) est la somme d'un nombre fini de termes de la forme (19). Le Tableau (1) se compose alors d’un nombre limité de termes dont la somme est manifestement égale à F(x, y).

Le 24

186 E. ESCLANGON.

Dans tous les cas, si le Tableau (T°) est uniformément convergent, sa somme est nécessairement égale à F(æ, y). En effet, en désignant par F’(æ, y) la somme du Tableau (T”), cette fonction admet comme fonctions S,,, celles qui figurent dans le Tableau (F7). Pour le voir, il suffit de

= A LE remarquer que l’on peut représenter avec l’approximation = au moyen

d'un nombre fini g de séries S,, (‘). Dans chacune de ces dernières on

peut prendre un nombre fini de termes de façon que le reste soit en valeur > ! e 1 € e LA 4 absolue inférieur à 2e de sorte que F’ serait finalement représenté avec q

l’approximation € par un nombre fini de termes de la forme (17) appartenant .au développement de F(x, y) et comprenant jusqu’à un certain ordre tous les termes de celui-ci. En choisissant des approximations e de plus cn plus petites, tendant vers zéro, on serait ainsi conduit à un développement particulier de la fonction F'(x, y) dont la somme ne pourrait différer GEAR 0 E

Mais le Tableau (T°) n’est pas nécessairement convergent, etle problème qui consisterait à rechercher les conditions les plus générales de cette convergence paraît difficile. Il est pourtant des cas très étendus où cette conver-

gence est assurée.

Supposons que la fonction F(x, y) soit développable en série de Fou-

rier absolument el uniformément convergente

CT œ V : 7% (MES NES Due cosar( —+n ;) +B,, ; sin (0 — + n 7) ; a b 2 a

IE posons

— 2 ÿ : GE VY HA COS 2 Cr = + 7 x) + B,,,, Sin or (m 7 er 7) À côté du Tableau (T’) considérons le Tableau (T), obtenu en plaçant au point de coordonnées m», n le terme #4, et au point O (fig. 5) la constante A4. Le Tableau (T) est, par hypothèse, absolument et uniformé-

1 e oc # *& Te : à Lt A (1) On suppose, et c’est toujours possible, que Îles fonctions Sy, ont été obtenues au moyen d’un développement en série de la fonction F(æ, y), développement de la forme (18) par exemple.

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 187 ment convergent et a pour somme F(x, y). Les séries Sy Sobliennent en

Fig. 5.

x Un «nt

considérant tous les termes de (T) situés sur une même droite issue de l'origine, à l'exclusion de la constante A,.

ILest évident d'abord que les séries S,, sont absolument convergentes. Le Tableau (T') est lui-même absolument convergent. Soit, en effet, P(x, y) la somme du Tableau (T,) obtenu en remplacant dans (T) chaque terme 4», par son module, et soit de même (T") le Tableau obtenu en

Ov r à 4 . CC dans le Tableau (T°) la somme des termes contenus à l’intérieur d’une

remplaçant dans (T’) chaque terme par son module. Il est clair que courbe C quelconque est toujours inférieure à ®, ce qui établit la convergence absolue du Tableau (T"). On pourrait considérer la proposition comme établie en vertu d’une remarque faite plus haut, mais à cause de son importance j'en donnerai une démonstration directe.

Soient une suite de courbes C,, C,, ..., G,, ... grandissant indéfiniment dans tous les sens autour de l'origine, par exemple des rectangles de centre O; traçons ces courbes à la fois dans les Tableaux (T), (F,), (T’) et (T°). Désignons par F,(x, y) la somme des termes de (T°) contenus dans la courbe C, et par ®,(x, y)la somme des termes de(T,) contenus dans C,,. Le Tableau des modules (T,) étant convergent, ®, a pour limite D. Désignons de même par K°,(x, y) la somme des termes de (T°) contenus dans C,. La somme F°,(#, y) contient d’abord tous les termes de F,(x, y), plus les restes des séries S,,, quand on arrête celles-ci à la courbe C,. On a

donc | Fo, Là = EACz y) | < D — D.

Or, ® — ®, a pour limite zéro, done Re; y)aune bite, et cette limite

180 E. ESCLANGON.

est celle de F,(x, y), c'est-à-dire F(x, y). Comme la suite ®,, ®,, ..., d,, ... estuniformément convergente, il en est nécessairement de même de

ERA EG ne)

On pourra donc écrire dans ce cas . Q (22) F(æ, y)=A+t D Sue, y).

le second membre (!) représentant la somme du Tableau uniformément convergent (T’). D'ailleurs, si un tel développement est possible, 1l est unique, puisque les fonctions $,,, qui y figurent sont données par les inté- BLAle A"

Les résultats précédents s'étendent sans difficulté aux fonctions périodiques d’un nombre quelconque de variables.

Soit F(X,,%, ., &,) une fonction continue périodique en 27,72, 2,3 de périodes a}, 2,4%, 4. Entposant

; ds TA Un A [ PA Ft ar di) dei detre de, da... Qn J, JD, De

on peut toujours développer Ken une série simple uniformément conver-

gente