F=A, + SU
où U, est une somme finie de termes de la forme
& fs G; da
LA æ 4 æ x (24) A cos2r (me, En 0e :) - B sin arm, Re 2)
dans lesquels »2,, »,, ..., m, soni des entiers positifs, négatifs ou nuls, la combinaison mm, — m, =... 1m, —= 0 exclue. Si l’on se donne arbitrairement les entiers fixes quelconques &,, 1, ..., u, et si, dans U;, on prend tous les termes de la forme (24) pour lesquels
m, M M n — Ne Pi P2 Pn (1!) Le facteur : provient de ce fait qu'au terme Sy,v correspond son égal S 4,.,,
Ce
p étant un entier quelconque positif ou négatif, et désignant par &, leur
somme, la série DE esl untformément convergente. On distinguera encore deux cas:
1° Les entiers 2, 4, ..., uw, n’ont pas de diviseur commun. Alors la
somme de la série D. ux peut s'exprimer par une intégrale définie simple,
que l’on obtiendra de la façon suivante : Soit un Tableau de »(n — 1) entiers
.1 2 n ri Jos 7
1 1 Sen Do SO Er
assujettis à ces conditions qu'il y ait dans ce Tableau un déterminant d'ordre (n — 1) différent de zéro et que l’on ait, de plus,
shelelshelets tele ele iele lv firielenel else ele ele ele er
1 2 n — Vas Pi SE n=1 P2 Te 1 mil n—1 Pin — 0.
Considérons ensuite les formes linéaires en À,, À,,..., À, PER AT OR PE CORRE Er ee Cr Pa (ihee PNR RCD je Peer) Te nn Au BG CRE me Re Ads
te LT + , la série À, + D ux a alors pour somme l'intégrale
1 1 AL | [ CE | F(xz;+ P;, x + P:, ss Ent Pr) Gh ddl. 0 0 10 On aura ici encore
pu, Us ces Un —= ù Ulis ue A
a fonctions, ,, . estune fonction périodique, et de période 27, de la seule variable
190 E. ESCLANGON.
2° Si maintenant p',u,,..., 14, sont des entiers qui ont pour plus grand diviseur g, en posant
bi — + 739 bn — on aura : 1 | À s 27 eg ur) || Sp, BP — q } Sun, un ( 3) DR Le Un (: Eu =) TUE Er 7 EUR Sp ee Un (: Aie q |
Envisageons enfin les fonctions S, .,, correspondant à tous les systèmes d’entiers 14, We, ..., L, premiers entre eux ('); on démontrera, comme précédemment, que st la fonction F(x,,...,æ,) est déceloppable en série
de Fourier absolument et uniformément convergente, la série multiple
A AU D) Su, Ua, Br
est uniformément el absolument convergente el représente F(x:, Day rv:3 Cn);
de plus, si un tel développement existe il est unique.
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES UNIFORMÉMENT CONTINUES.
Développements en séries de Fourier. — Soit f(x) une fonction quasipériodique uniformément continue attachée au champ des périodes à,, A3, ++, An, Celles-ci étant indépendantes ou non.
Si les périodes sont indépendantes, la fonction associée sur le champ total F(x,,#,,...,æ,) est continue, périodique, définie pour toutes les valeurs des variables et vérifie l'identité
(1) CEA Et MA AE
c'est d’ailleurs dans ce cas la seule fonction qui jouisse de ces propriétés.
(1) Si plusieurs de ces entiers sont nuls, les autres doivent être premiers entre eux; si tous sont nuls à l'exception d’un seul, celui-ci doit être égal à +r.
Si les périodes données sont dépendantes, il existe encore des fonctions continues F(x,,x,,...,æ,), définies pour toutes les valeurs des variables, périodiques et de périodes 4,, 4,, .…., &,, et vérifiant f(x) = | MS MRE NE mais, dans ce cas, il en existe une infinité.
Soit, dans tous les cas, F(x,,x,,..., æ,) une fonction salisfaisant à ces propriétés. On pourra développer F en série de la forme
