F AU
où U, est une somme finie de termes de la forme
1 CL ñ (6 d (5) Acosar( m, Rue fn 2) — 1} sinar( MR PS É7, 2) a, a a On peut même en écrire le développement (3) F— A+ Ÿ Ur
et supposer que, dans les termes de la forme (2) composant U,, la combi-
MAISON 72, — Me —...— TR IOIESL toujours exclue. Si, dans le développement (3), on fait
Ty TL Un = T, ré
on obüent un développement parüculier pour f(æ)
f(æ)= A+ D Paz),
Lames en > A
4 ji D ss /YT u P,(æ) étant la valeur que prend UÜ, pour x,=%x,=...—%,=2x, cestà-dire une somme finie de termes de la forme
(100 m ; m mi (5) A cosanx( — +...+—")+Bsin2ræ m++ 2e); a, : a; a, c'est, à la forme près, le développement de M. Bohl dont il a été déjà Pate (prebp122;).
Supposons maintenant que la fonction F(x,,æ:,.:.,%,) soit dévelop-
192 E. ESCLANGON:
pable en série de Fourier
‘ Q Ti Th + Ts -- m En .
(6) F=A,+ 9 A cos2r{m —+...+m,— )+Bsin2r rare n ; di n 1 n
on aura alors pour f(x) le développement uniformément convergent
m M Mn (Ca) HÉEAETTE Y'A cos2ræ SCANS LE PA ) di > An ‘ m M m D Silence Re GR 2e dn
où le second membre est une série multiple, les entiers m»,, m,, ..., m, prenant toutes les valeurs positives, négatives ou nulles, à l'exception de la
COMOMAIS DD 7 = Ma M 0.
Dans tous les cas, on remarquera que les périodes a des sinus ou cosinus qui figurent dans ces divers développements vérifient des relations de la forme
Û ee
ce sont les périodes du corps réduit défim par 4, 4,4: a Din le cas le plus général, celui où (a,,&,,..., a,) serait un système quelconque de périodes dont le champ est attaché à f(x), certaines des périodes (8) pourraient n’avoir aucun rapport avec les périodes du corps fondamental attaché à f(x). De plus, si &,, a, ..., a, sont dépendantes, à des systèmes d’entiers distincts 22,,m,, ...,m, peuvent, par la formule (8), correspondre la même période a, de sorte que dans le développement (7) les termes correspondant à ces systèmes d’entiers fournissent les mêmes
‘ wi . WA fonctions cos27 > SIN2T—:
Le problème le plus important qu'on puisse se poser vis-à-vis des déve-
loppements de la forme (7) est le suivant :
Les périodes a,, a,, ...,a,, dont le champ À est attaché à la fonclion f(x), étant données, le développement est-il unique ?
En d’autres termes, si l’on à deux développements de cette espèce, les
termes correspondant aux mêmes systèmes d’entiers m,, M, ..., m, Sontils nécessairement identiques ?
Îl'est clair que, si les périodes &,, 4,, ..., a, sont dépendantes, le développement n’est pas unique; en effet, ce développement contenant des termes différents, quant aux systèmes d’entiers 72,, m,,..., m,, mais de mêmes périodes, on peut modifier leurs coefficients sans changer la somme de la série.
Supposons maintenant que les périodes &,, 4,, ..., a, soient tndépendantes. Toutes les périodes & données par la formule (8) et figurant dans les sinus ou cosinus du développement (3) sont alors distinctes (1). Dans ce cas, le développement (7) est unique. On peut le montrer de plusieurs façons. Tout d’abord, on verrait sans peine que le développement
A+ DA cosar(m, ARRET 2) - B sin (mn OR 2) &i Un di Un est lui-même uniformément convergent; sa somme F(x,,æ,,...,æ,) est la fonction associée de f(x) sur le champ des périodes a,, a,, ..., a,, et, comme F est développable en série de Fourier, les coefficients À et B seraient donc parfaitement déterminés.
On peut le voir aussi d’une autre façon, en se servant d’une expression différente des coefficients A et B que nous allons indiquer. Considérons l'intégrale indéfinie
1° a?=£ h?, on obtient immédiatement la fonction primiuve
[ ; I I I : I À À sinon tv| = + =) HE —— sin2rxz|-—— TAN I a hi É I a h
(1) Bien entendu nous supposons toujours que les coefficients (A,B), (A',B') correspondant aux deux systèmes d’entiers (791, Ma, ..., Mn) (— Mi, —Ma,..., — Mn) satisfont aux conditions À = À’, B=— 1h.
se
ND (SX
19/4 E. ESCLANGON.
et, dans ce cas, l'expression
] CA TÆ J=— f COS27 —COS2T -— dx æ , a h a pour limite o lorsque # augmente indéfiniment;
20 it, Onaalors
He f ; \ :
J a pour limite < lorsque x augmente indéfiniment.
On obtient des résultats analogues relativement à l'intégrale
ï d , DEENE d — sin2T—SiINn2T—dx æ Je a h
2 2 r Jimi D'imité Le qui a pour limite o si a?=£ h? et pou e += Enfin, on vérilie aisément que te I LE T cf Cos27 —sin27 — dx de a LL a toujours pour limite o lorsque x augmente indéfiniment. Ceci posé, considérons la série
(80%) Er) = A+ YA cos (7 +... + — + B sin mc (2 ++ +)
d; n CA An qui est par hypothèse uniformément convergente. Nous représentons la convergence de la série toujours de la même façon, c’est-à-dire que, dans un espace à » dimensions, nous plaçons au point de coordonnées 7»2,, ...,m, le terme
m m : mt m (9) Umims.,m, = A cos2ræ (2 +... + 2) +B sin2ræ( —<+...+"). \ di An di Xn S1 nous considérons une suite de domaines C,, C, ..., Cx, ... grandissant indéfiniment, étant donné € nous pourrons trouver un domaine C4 de façon qu’en désignant par /,(æ) la somme des termes de la série (8 bis)
LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 199 compris dans C;, on ait, quel que soit x,
fe) —frtæ)l<e.
Posons R;(x) = f(x) — f(x),
et calculons l'intégrale
(1 4 I T I — T)ICOSST ATX — — SE f(x) tde=: |
fetr)cosar Ed + f R£(æ)cos2r - dx, a æ), a
où l’on a posé
I m m mi 1 2 n — +... +
fr est la somme d’un nombre fini de termes de la forme (9), par conséquent, L! T . . . . . . , .
‘0 it) cos2r dx a une limite pour x infini. Or cette limite se réduit L2 (] -
à la somme des limites relatives aux deux termes &
SIT A; 113 05 m
et à ceux-là seulement puisque les périodes a,, &,, ..., a, sont indépen-
A (e Um, mn ses —/Mn) dantes; par conséquent, en supposant bien entendu que le domaine C; u
IN 4; Mo; 3 — Mn)
contienne les termes x
MA, No, Mn)
D on PS TT ER lim à fl Ji(æ) cos2r dx — A.
D'autre part, on a, quel que soit x,
