AS

rod I VA = f R;(x) cos2r — dx bA «a U 0 par conséquent, puisque € est arbitraire, . I - Æ A im — il f(æ&)cos2r— dax.

x=eoT, 0 (42 On trouvera de même

B= lim = f f(x) sin2r = der.

196 E. ESCLANGON:

Ceci montre bien que, si le développement (8 bis) existe, il'est unique. Le même raisonnement s'applique à un cas un peu plus général. Supposons, ce qu’on peut toujours faire, qu’on ait développé f(x) en une série

simple uniformément convergente

f(æ)=Ao+ D Pal),

P,(æ) étant une somme finie de termes de la forme (9). La même fonction

m M) m . Fe cos2ra LR Li +,..- ne) peut entrer dans divers termes P;; désidi da n

gnons par À, son coefficient dans P; (A; peut être nul).

La série À A, est convergente el a pour somme

er 2 x In) = | f(æ)cos27r = dx Ro V0) LT

en posant toujours

m, M mn } É + [= e

= OT 1 3 a &; C2 Gi,

le facteur 2 provientici de ce fait que nous ne faisons plus de distinction entre

les termes

@,07 M Mn — M, — M — My COS2TX L SE 60 0 et cos2rx Se too :

di CE GE a A

Une conclusion analogue se déduirait de la même façon relativement aux

ë . . m m1; m . ’ coefficients de la fonction sin2rx (2 12 = FE Un). Ces derniers réil 2 mn sultats se trouvent d’ailleurs sous une forme à peine différente dans le travail de M. Bohl.

Voici encore un résultat important qui se démontre par Le même procédé : S1 a est un nombre ne vérifiant aucune relation de la forme

I ms M he —= AU hoc ) a CL de Gr OÙ P,, Ds, -.., M, SOnt des entiers quelconques positifs ou négatifs, les

quantités

TX +2 I % I e e »

— [ f(x) cos2r — dx, | f(æ)sin2r = dx LES PS «d D 7 [42

ont pour limite o lorsque x augmente indéfiniment; ceci suppose simplementque &,, d,,..., 4, est un système de périodes dont le champ estattaché à la fonction f(x).

Or, supposons f(x) quasi-périodique d'ordre D'SUSOIUE MS. 47 UE base du corps fondamental, les seules périodes qui vérifient des formules de la forme

sont les périodes du corps réduit fondamental attaché à f(x). On peut donc énoncer le théorème suivant :

Si a est un nombre quelconque qui n'appartient pas au corps réduit fondamental attaché à la fonction quasi-périodique f(x), les quantités

(à do I æ I < L cf Jf(xæ)cos2r - dx, — [ f(x)sin2r-dx Ge 0 Si JG qe

ont pour limite o pour x = +.

Cette propriété nous permettra de fixer un point de l'étude des développements en série de Fourier.

Soit (&,, &;, ..., @,)un système de périodes #rdépendantes quelconques dont le champ est attaché à la fonction f(x). Le développement

Tibn

m , m 10e (10) fCæ)= A+ ŸAcosare(t+. + me) Bsin2rz (= ae .

di An 1

est unique; mais Si @,, ds, ..., A, n'est pas une base du corps réduit fondamental (x >> p),ilse présente dans ce développement des circonstances particulières qu'il importe de signaler : il existe alors une infinité de coefficients A

et B qui sont nuls. Posons, en effet,

I m M3 Mn + —";

DE es TS ... )

a a; dy An

les nombres & étant ainsi les périodes des lignes trigonométriques qui figurent dans le développement(r0). Les coefficients correspondants A et B

198 E. ESCLANGON.

sont donnés, comme on l’a vu, par les formules

A= lim à f f(æ)cos2r = de,

x=e TL (41) ) | | = “L 7 (ae) sin 2UTE - dx.

Or l’ensemble des nombres & peut se diviser en deux parties :

1° Les nombres & appartenant au corps réduit fondamental qui est d’ailleurs tout entier contenu dans l’ensemble (a);

2° Les nombres à qui n’appartiennent pas au corps réduit fondamental; d’après les propriétés précédentes tous les coefficients A et B correspondant à ces périodes sont nuls; de sorte qu’en réalité les seules périodes a figurant réellement dans le développement (10) sont les périodes du corps réduit fondamental attaché à f(x).

On voit qu’en définitive, les seuls développements caractéristiques sont ceux que l’on obtient en partant d’une base (a, «:,...,«,) du corps réduit fondamental

; m m : m m (12) f(x)— A+ Yacosare( 7 ++ 2 )+Bsinarxz( —+...+—2 ); & lp Ca Lp les autres développements tels que (10), bien que mis sous une forme différente, contiennent exactement les mêmes termes. Les coefficients A et B sont donnés par les formules (11) où l’on à posé

1 mi M mp lus Pa meerS a Ca T2 C:

ou encore, si l'on désigne par F(x,, x, ..., æ,) l’associée de f(x), par Les formules

Ch

1 é. 4 v æ Are ere | F(Ti, Las, Lp) COS2T | M — +... + my Ly An ce Up Jp ; CA c

) GE dx, … TUE

I à " v Ba = - 4 À * TR ee FÜr:,2%,...4,)Sin2Tml im + mm, =|\de dr. de. P Le P 1 2 p D Age Up, 0 (04 (e 4

La forme précise que nous donnons au développement (12) est subor-

donnée au choix de la base &,0,.. ., dans le corps réduit fondamental. Si , . .

l’on choisit dans ce corps une autre base 8,8,...6,, on obtiendra un autre

développement np\.

ge)

Il est facile de voir qu'il existe entre ces deux développements une correspondance très simple. Soient, en effet,

(13) J(a)= A+ ŸA'cosanæ (2: + Bite F GE) Bsinanæ(or4. 1 2 P 1

y Na, = Er

Bi 1 2 TL p

NE Le ne, à } L entiers D p

PR ei

Bp ai Xp

les relations de dépendance qui lient les & aux 6. On à d’abord

1 1 il Bi Ha + by

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