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et, en appliquant la proposition établie page 179,

: 2 D He 2 Here de) cosar(m, des ae myct) CARE LES (P') %1 Xp

Ca CE ,& — A F a Æ\ Th — … F(z;, ..., æ))Cos2n|m — +...+m, | dx,...dx,; ct ot 0 0 “0 1 P

par suite

AA' ) Xp . .

lo L t a il … PET a )cosen| nu dm, LE) Gr, dr, A.

LiA2... App) Jo à A C7

On trouverait de même = NE

Ainsi les termes qui se correspondent dans les séries (12) et (13) sont égaux, et c'est dans ce sens que l’on peut dire que ces séries ne sont pas distinctes.

FONCTIONS S. DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE FONCTIONS PÉRIODIQUES. Nous avons déjà remarqué (p. 196) que si l’on a le développement N fla)=A + Pix),

et si l’on prend dans chaque terme P,(x) le coefficient A, d’un même terme

de la forme

fee « : | la série S A4 est convergente.

302 E. ESCLANGON.

Mais ily a plus; soient a, u,, ..., 1, des entiers fixes quelconques (je

si RS ne ?

réserve les lettres 1,, &,,..., 4, sans accents pour le cas où ces entiers n ont aucun diviseur commun); dans chaque terme P; prenons, S'il y en &, tous

les termes de la forme

Acos ampa ( E Eee # bu) - Bsin2rpæx (Éte..+ ee), «a :

l UE) An

p étant un entier quelconque positif ou négatif, et soit u, leur somme

dans le terme P,; la série

A+ ux(æ)

est uniformément convergente. C’est une fonction simplement périodique dont la période a est donnée par

! } LA ï — Pi P> NES ER a a; > 4

Cela résulte immédiatement de ce que nous avons dit (p. 190)sur les fonctions que nous avons appelées Sir ur u(Æi; Lis -- ., &,). dans l'étude des développements en série des fonctions périodiques de plusieurs variables ; il suffit de faire

LL i —=TCh—=%X, pour obtenir immédiatement

A+ du (x) NEO Ut Ti et)

Si les entiers 4,, Lu, ..., 1, sont premiers entre eux, la fonction S se met sous la forme d’une intégrale définie (voir p. 189)

1 11 SAT En ue) =} 711 EGP, xl, 21 Pi). die A0.

er %e . : 1 ! US Enfin si les entiers p,, 12, ..., 1, admettent un plus grand commun diviseur g, en posant Ps Pen

FR R PRE Pin —

et

L à Eee re a a; d a

on peut écrire aussi

LE TA AI ER D, ..., æ) 1 | a a —-)s on LC RS 2. À q| Buse Un (D ? æ) + Su, (2 + q 2 142 q. Se + Su, NEC ? 2 +02)

Envisageons tous les systèmes d’entiers 1, 1, ..., u,, positifs, négatifs ou nuls, mais premiers entre eux; si la série

A+ Su, ROME NA)

esl uniformément convergente, sa somme est égale à f(x), etnous avons vu que cette circonstance se présentera toujours lorsque la fonction associée, et par suite la fonction elle-même, est développable en série de Fourier absolument et uniformément convergente.

Dans ce qui précède nous avons supposé simplement que le champ des périodes a,a,...a, était un champ quelconque attaché à la fonction f(x).

Examinons d’un peu plus près le cas où l’on part d’une base de périodes dd @ AU Corps réduit fondamental.

À tout système d’entiers x, 1, ..., w, correspond une fonction Sup. ul (A æ,...,æ) que pour simplilier nous désignerons par Su, we).

Cette fonction est périodique et sa période a est donnée par la relation