CRE

Nous avons ainsi une limite supérieure de l’'oscillation de la fonc-

tion [/Cæ), 2]

212 E. ESCLANGON.

IL est bien évident que, g augmentant indéfiniment et f(x) étant continue,

€, à pour limite o.

Abordons maintenant le cas général en démontrant tout d’abord le

théorème fondamental suivant :

Tuiorème. — Soit f(x) une fonction qui se met sous la forme d’une

série uniformément conver gente (1) JE) Let) Ro, (m7

dans laquelle chacune des expressions (o,(x), h) est supposée avoir un sens.

1° La série

(2) (o1(x), A) + (px), h) +...+ (o,(x), h) +. est uniformément conver gente par rapport à l’ensemble des variables x

et h:

2° La quantité

| f(æ) + f(a +R) +... + fa (n—1)|

a toujours une limite, pour n =, qui est la somme de la série (2); celte limite est atteinte uniformément par rapport à x, si l’on suppose que, dans le terme général o,(x) de la série (1), la quantité

fo(a)+e (2 +h)+.. + pe sn Ce Là

tend, par rapport à x, uniformément vers (o,(x), h}.

Posons fote)= qe) + quiz) +...+ o(x),

D,(x,h)= (ox), h) + (ox), h) +...+ (o,(x), k).

La série (1) étant uniformément convergente pour l’ensemble de toutes les valeurs réelles de +, on peut, étant donné e, trouver un entier y, tel

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 213 que, p, p' désignant deux entiers quelconques supérieurs à y, on ait Hp (æ) —f(x)|£e,

et cela quel que soit x. Par conséquent, on aura, quels que soient x, h et l’entier n,

RL Ce) = Ce) + Léote + 0) —o(e + D.

+ Le + Ce —)h) — fie + (rh) |£ se;

ce qui peut s’écrire 11 :

| à fr (æ) + fh(t+h)+... 2 f(x +(n— 1h)!

— ifte)+ fe +k)+...+ fe +(n—14)||£e.

Le premier membre de cette inégalité se compose de deux expressions qui, lorsque x augmente indéfiniment, ont chacune une limite; ces limites satisfont nécessairement à cette même inégalité, c'est-à-dire, par conséquent,

sous les seules conditions p'>v, p > v, et, d’ailleurs, quels que soient x et À. Cela établit d’abord la convergence de la série (2), dont nous désignerons la somme par (x, h).

En faisant augmenter p' dans l’inégalité (3), on en conclut, quels que soient x et h,

ce qui démontre ensuite la convergence uniforme de la série (2) relativement à l’ensemble des variables x et A.

Il convient de remarquer que cette propriété n’entraîne point la continuité de la fonction (x, L), puisque nous n’avons rien supposé sur la continuité des fonctions (o,(x), L).

Ceci posé, soit € un nombre positif quelconque, aussi petit que l’on veut, mais donné. On peut trouver p assez grand pour que l’on ait simultané-

ment (5) HOPMOIET (6) LD(æ, 4) —®,(æ, 4)|£ 35

et cela quels que soient x et L. Posons

R(æ)= f(x) —fr(x).

Puisque l’on a, quel que soit x, |R(æ)|£ 2 on aura, quels que soient x, h el l’entier n, €

ALIOE, R(z+h)+...+R(z+(n—1)2)| É 35

= RSA | —

ce qui S'éCrit % LAC) + Ce +) ++ e + (n —1)4))

=: te) + for + h)+t fe tn mA)||< = Or, la quantité

(9) o(&) + fo(e +) ++ fo(x + (nr —1)h)|

a pour limite ®,(x, ) pour » =, c’est-à-dire que, étant donnés x eth, on pourra déterminer y de façon que, si 22%, on ait

(10) ete) + fe +4) +... + fp(t + (nr —1)h)|=®, (x, h) <S;

d’où, par comparaison avec l'inégalité (8),

(11) PMOENCEZ) nie Er =) h) D) ses Ô d

et enfin, en vertu de l'inégalité (6),

inégalité exprimant que la quantité

(13) : PAGE PCR. Ff(æ+(n—0x) |

tend vers ®(x, ) lorsque # augmente indéfiniment.

Arrivons à la troisième partie du théorème. Nous faisons maintenant l'hypothèse que, pour tout terme ox(x) de la série (r), lorsqu'on se donne k, la quantité

ox(T)+o(æ+h)+.. +o(x+(n—1)h)]

tend, relativement à la variable +, uniformément vers (9,(x), A]. Il en est donc de même relativement à la quantité

Ce) + Poe +R) ++ Pole + (ne —1)h)|, .

qui tend uniformément vers ®,(x, À) (A étant donné). On peut donc déterminer y de façon que, si n2y, l'inégalité (10) soit satisfaite, quel que soit æ ; comme les inégalités (5), (6), (8) ont lieu quels que soient x et , on en conclut finalement que l'inégalité (12) a lieu, quel que soit x (h étant

donné}, sous la condition #=y; ce qui établit la proposition. Enfin, si les fonctions (+,(x), L] sont continues par rapport à æ, la convergence uniforme de la série (2) entraine cette propriété que la fonction

(f(æ), 2) = lim =} f(x) + f(æ +2) cena)

= 10 (2), AIRE 00, (a ee."

est continue par rapport à la variable x.

Fonctions moyennes tirées d’une méme fonction quasi-périodique. — Ce théorème établi, considérons maintenant une fonction quasi-périodique uniformément continue f(x), et soit &,, &, ..., &, une base de périodes du corps réduit fondamental. On pourra toujours développer f(x) en une série simple uniformément conver gente

(1) f(æ)= A+ D Ux(æ).

216 E. ESCLANGON.

dans laquelle U, est une somme finie de termes de la forme

(2) Acos2rx (2 + . ne 2e) + Bsin2rx ( > + +... + me), M, Ma, ce, I, étant des entiers quelconques, positifs, négatifs ou nuls, la combinaison 7, = m, =... = m,= 0 exclue; les périodes des fonctions trigonométriques figurant dans ce développement étant ainsi les périodes du corps réduit fondamental.

Soit maintenant 2 un nombre réel quelconque; on a, d’après le théorème précédent,

= A+ D (Ux(z), À),

et la série du second membre est uniformément convergente d’après le même théorème. On pourra donc effectuer terme à terme l'opération ( }. Examinons le résultat obtenu. Nous aurons deux cas à distinguer :

1° } n’äppartient pas au corps total défint par a,, 4, ..., æ,, c’està-dire que L est incommensurable avec toutes les périodes du corps réduit.

Alors toutes les fonctions (U,(x), 2) sont nulles et il reste DICO A Ve 2° appartient au corps des périodes : l’on pourra écrire

i=t(n+ts..+be),

h TA\ECE, 2 ap

. OC . (4 les entiers &,, U, ..., U, n'ayant aucun diviseur commun et la fraction 2

étant irréductible. Posons

I U. LL, Du I ( LU.

ne" ARE tn ne) CC? ca œ a ‘a a? œ d’où (6 4 RER Ge q

Voyons ce que devient la série

A, +Y LUZ (Cr), h |:

Dans U;(x) divisons en deux classes les termes de la forme (2) qui y figurent. D'abord, ceux pour lesquels on n’a pas

les périodes des fonctions trigonométriques correspondantes sont incommensurables avec ; ces termes disparaissent donc dans (U;(x), A). Restent les termes pour lesquels on a

m Mo np

désignons par w, leur somme dans le terme U, (remarquons déjà que la série Ÿ u, est celle dont nous avons établi antérieurement la convergence

uniforme, et dont la somme a été désignée par S,(æ)).

Nous diviserons encore ces termes en deux catégories : d’abord ceux pour 5 Ï

lesquels on a Mi M ne

s étant un entier quelconque. Ces termes restent inaltérés par lopération {w, k). En effet, un tel terme peut se mettre sous la forme T : æ

A cosarrs-— + Bsin2Trs—h h Désignons par uw, la somme de ces termes dans U,; ces termes sont tous

ASE LT AT ares lei] Ce

contenus dans w, et la série Ju dont la convergence a été établie, a pour somme la fonction que nous avons appelée S,(x). Considérons les autres termes : l’entier p, défini par les relations

mi M Mp ;

— bo (és

Pi P2 F-p

n'est pas divisible par g. Un tel terme s'écrit

A à æ À cos2rq'— + Bsin2rg' me œ 4

218 E. ESCLANGON.

: rue (0,4 , g c’est une fonction de période = w, et l’on a

DE “1e 6); (4, g ne divise pas le produit rg', puisqu'il est premier avec r. On donc (p. 210) de I 22 Fe 1 LOGE E:

ë De et une formule analogue pour sin 2 =

L'opération (w, L} fait encore disparaître ces termes, et il reste finalement ceux pour lesquels on a

Mie S(JH1)» M; = S(qb);,

ns Mo = Sgen

s pouvant prendre toutes les valeurs entières de — x à + x, o excepté.

Il vient, en définitive, (Fe), 2) = A+ Yu, = A+ Sa(x),

: nine / :

et la fonction S,(x) admet la période a — “et: par suile, h. On a d’ailleurs les relations

(4) Sax)

es Ci q g/) Nous retrouvons ici, par une voie totalement différente, les fonc-

ions S,(x); nous oblenons de plus une démonstration nouvelle de la RC Nr convergence des séries Due

Nous pouvons résumer ainsi qu'il suit les résultats obtenus :

f(x) étant une fonction quasi-périodique uniformément continue, la

quantité

k I \ (5) = if (æ) + Jar R)E.. +f(z+(nm— 1h) & toujours une limite pour n infini.

1° Sr k n'appartient pas au corps des périodes attaché à f(x), cette limite est invariablement une constante À, indépendante de x et de h,

qui a pour valeur As lin Lf Hd