TL

2° St h appartient au corps des périodes, il existe une période primilive à du corps réduit fondamental, et une seule, qui est commensu-

70 ne : ’ ” rable avec AU = =); en désignant par S,(x) la fonction S correspon-

dante, l'expression (5) a pour limite MACANTAERTERNEMÉMAETTE (Sata), 2]

La limite, lorsque h est donné, est toujours atteinte uniformément par rapport à x; c’est de plus une fonction continue de x, de période .

Il est clair que les mêmes propriétés s'appliquent à plus forte raison aux fonctions périodiques continues.

On peut dire encore qu'au point de vue de l’opération (f(x), L), tout se passe comme si la fonction f(x) était toujours développable suivant la

pus I . A (Le ’ série À, + - > S.(æ) (*), sur laquelle on effectuerait terme à terme l’opé-

ration indiquée.

On voit en particulier que, si & est une période quelconque du corps réduit fondamental, et si & = ag est la période primitive correspondante, on à d'abord

et, par suite,

(1) Dans ce développement, qui contient les deux fonctions Salv)et S=,(x), la. même

fonction S,(æ) intervient en réalité deux fois puisque S4(æ) = S-a(x).

220 E. ESCLANGON.

Ainsi se trouve établie cette proposition que nous avions énoncée (p. 204), à savoir que la définition des fonctions S,(x) est indépendante de la base choisie dans le corps réduit.

Les propriétés du symbole (f(x), h} permettent aussi, lorsque le corps des périodes est inconnu, de reconnaître dans certains cas qu’un nombre donné k appartient à ce corps; en effet, si l’on trouve que la limite (f(x), k) n’est pas une constante, on est assuré que X appartient au corps des périodes.

Citons encore quelques propriétés du symbole (f(x),4). Si l’on effectue sur (f(x), k) une opération analogue, c’est-à-dire (f(x), L), k'), il existe un nombre L” tel que

(PACA MAIS RICO

d’ailleurs, on a