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et a «a : (44 (Lis) )=rer 2] Enfin, si l’on considère la suite des nombres . D) ES * svreli tt . «a . . Ê fonction de x, HO: 2)» devient constante à partir de g2m, la fonc-

: : ; L' +. VA tion S,(x) est un polynome entier de degré 7 en cos 27 To SIN2T—. Toutes a

ces propositions s’obtiennent avec la plus grande facilité.

Application aux développements en series de fonctions périodiques. == Nous avons vu que si la série multiple

A5 + de (li Mas -.., Le premiers entre eux)

est uniformément convergente, elle représente f(x). En rassemblant deux à deux les termes qui correspondent aux systèmes d’entiers (1, PR ne), (— Us — Us, -.., — b,), on a ainsi un développement en série de fr) dans lequel les termes sont des fonctions simplement périodiques à périodes deux à deux incommensurables. Il est facile de montrer maintenant que,

abstraction faite de l’ordre des termes, ces développements sont uniques.

Plus généralement, considérons le développement uniformément convergent

(1) f(r)=p(r)+p(r)+...+os(xz) +...,

dans lequel chaque terme est la somme d’un nombre fini de fonctions périodiques non constantes; nous supposons de plus que les périodes figurant dans l’ensemble de ce développement sont deux à deux incommensurables.

Soit &,, %», ..., &, une base du corps réduit fondamental attaché à (x) et à une période primitive quelconque

+... + COPA IL PEONIerS entre eux);

a C+ cn pour simplifier l'écriture nous poserons, comme toujours, Sa(x) = Ses Ha ce Up CT )e

Je dis d’abord que toutes les périodes figurant dans le développement (1) appartiennent au corps des périodes attaché à f(x). En eflet, soit & la période d’une fonction Ÿ(x) qui figure dans le terme #,(x); en appliquant le théorème précédent, nous obtenons immédiatement

(f(x), a) =Vd(x) + const.

Ceci montre que & appartient au corps des périodes, puisque Ÿ(x) n’est pas constante; la période & est donc commensurable avec quelqu’une des périodes primitives, et avec une seule «; en appelant À un multiple commun

àaxæetàaa,ona

(f(æ), h) = A+ Sax) = Ÿ(x) + const.;

la fonction L(x) ne diffère de S,(x) que par une constante. A toute fonction Y(x) du développement (1) correspond une période primituve æ, et les fonctions (x), S,(x) ne diffèrent que par une constante.

Inversement, soit « une période primitive quelconque; on a (f(æ), a) =Ao+Sa(z)= (px), à) + (patx), 2) (par) ee

De deux choses l'une : ou bien il y a dans (1) une période commensurable

222 F E. ESCLANGON.

avec «, el alors la fonction périodique correspondante ne diffère de S,(x) que par une constante, ou bien il n’y a pas dans (1) de période commensurable avec &; alors la somme

(oi(æ), &) +...+ (or(x), a) +...

est nécessairement constante, et, par suite, S,(+) identiquement nul. De sorte qu'on peut dire finalement :

A toute période primitive à du corps réduit fondamental correspond dans le développement (1) une fonction d,(x) de période «, qui ne diffère de S,(x) que par une constante, et inversement.

Si l’on assujettit enfin les fonctions d,(æx), qui composent les divers

termes du développement, à avoir une moyenne nulle, c’est-à-dire

,& il Va(æ) dæ —0,

on a alors exactement

Va(æ)= Sa(x).

On voit bien maintenant que st une fonction quasi-périodique, uniformément continue, est développable en série dont les termes sont des fonctions périodiques à périodes deux à deux incommensurables, ce développement est unique ("), aux constantes près que lon peut ajouter à chaque terme; les périodes qui y figurent sont les périodes primitives du corps réduit, et les fonctions correspondantes les fonctions S,(x), dont on constate une fois de plus l’importance.

Dans toutes ces propositions la convergence uniforme est une condition essentielle. Nous avons montré, en effet (p. 126), qu’une fonction continue quelconque peut être représentée par une série dont les termes sont des fonctions périodiques, et les périodes une suite de nombres croissants, grandissant indéfiniment et arbitrairement donnés; mais la convergence n'est plus uniforme.

(1) On fait abstraction de l’ordre que peuvent occuper les termes dans le développement considéré,

Représentation approchée des fonctions quasi-périodiques, par une somme finie de fonctions périodiques à périodes deux à deux incommensurables. — La fonction quasi-périodique f(x) pouvant toujours être représentée, avec l’approximation €, par une somme finie de sinus et de cosinus dont les périodes appartiennent au corps réduit fondamental, 1l en résulte immédiatement que l’on peut représenter f(x), avec une approximation donnée €, par une somme finie de fonctions périodiques dont les périodes sont des périodes primitives du corps réduit, et, par suite, deux à deux incommensurables.

Il y a toutefois une remarque à faire : c'est qu'on pourrait représenter f(x) avec l’approximation e, par une somme finie de fonctions périodiques à périodes deux à deux incommensurables sans que toutes ces périodes apparünssent au corps des périodes de f(x). Mais, dans ce cas, l’oscillation des fonctions périodiques correspondantes serait infiniment petite, inférieure à 4e, c'est-à-dire qu’elles différeraient d’une constante de moins de 4e.

En effet, soit di(æ)+ dx) +...+ vd, (x)

une telle somme. On peut toujours supposer, en ajoutant une constante convenable B,, que les fonctions Ÿ(x) ont une moyenne nulle, c’est-

à-dire que b;

1 Wir) dr 0:

Par hypothèse on a donc, quel que soit x, f(x) —[Bo+d(x)+...+d(x)]|<e.

D'autre part, considérons une représentation de f(x) avec la même approximation €,

A+ o@(T)+ par) +...+Em(x),

dans laquelle les périodes a,, a,, ..., a, des fonctions périodiques ,, De, +. Ph appartiennent au corps réduit, les fonctions © ayant leurs

moyennes nulles; cette représentation est possible. On conclura de là

JA — Box) +...+pn(x)—di(x)— dx) —...—dn(x)|<2e;

et, par suite, quels que soient x et A, |A —B+(n(r) A+... +(pn(æ), hA)— (dix) 4)... — (ie) ile

Si l’on donne à À une valeur incommensurable avec chacune des pé- . ® : 1 nioés di: :: + du Pi, +: D. ilvicndra d'abord

|A Bla

Soit maintenant b; une période incommensurable avec chacune des périodes &,, 3, ..., 4m; On aura, en faisant # — b;,

1 Ao — Bo+di(x)|£2e, et, par conséquent, Fhi(æ)|£ 4e.

L'oscillation de la fonction périodique Ÿ,(x) est done nécessairement très petite si e est lui-même très petit.