FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES D'ORDRE INFINI

L'existence des fonctions moyennes n’est pas absolument particulière aux fonctions quasi-périodiques. Elle exprime une propriété qui, d’après le théorème de la page 212, appartient à toutes les fonctions développables en séries uniformément convergentes, dont les termes sont des fonctions quasi-périodiques uniformément continues et définies sur des champs qui peuvent être différents. En faisant la somme des n premiers termes, on obüent une fonction quasi-périodique dont l’ordre pourrait augmenter indéfiniment avec #. Les fonctions limites ainsi définies constituent l'extension la plus naturelle des fonctions quasi-périodiques uniformément continues. Il est clair, puisque ces dernières peuvent être représentées, avec telle approximation que l’on veut, par des sommes finies de sinus et de cosinus dont les arguments sont proportionnels à #, que les fonctions précédentes peuvent toujours être développées en séries uniformément convergentes

(1) D(T)+p(r) +... .+opr(x)+...,

dans lesquelles le terme général #,(x) est une somme de sinus et cosinus dont les arguments sont proportionnels à x.

On peut enfin obtenir pour ces fonctions des développements (1) où le terme général ©, est une somme de fonctions périodiques, les périodes figurant dans l’ensemble du développement étant deux à deux incommensurables, et dans ce cas ce développement est unique quant à la nature des fonctions périodiques qui y figurent.

La propriété exprimée par l’existence de la limite des moyennes s'applique probablement à des fonctions qui n’appartiennent pas à cet ensemble de foncuons. En effet, d’après le théorème de la page 212, si l’on désigne par E l’ensemble des fonctions f(x), pour lesquelles (f(x), 2] a un sens, toute fonction qui se met sous la forme d’une série uniformément convergente dont les termes appartiennent à l’ensemble E appartient elle-même à E, mais rien ne prouve que E se compose de l’ensemble des fonctions quasi-périodiques d’ordre fini ou infini. C’est là une question que je ne me suis pas proposé d'étudier 1c1.