SOMMES FINIES DE FONCTIONS PÉRIODIQUES

Je montrerai, pour terminer cette Partie, comment l'application des moyennes permet d'étudier certaines propriétés des fonctions qui se mettent sous la forme d’une somme finie de fonctions périodiques.

Soit f(x) une fonction de cette nature

f(z)= pit) + par) +... + pu(æ).

On peut toujours supposer que les périodes a,, a, ..., @,, des fonctions périodiques non constantes @(x), sont deux à deux incommensurables, sans quoi on réunirait dans un même terme toutes les fonctions dont les périodes sont commensurables, en choisissant comme période commune un multiple commun de ces périodes.

On a, quel que soit =,

(1) MICANRAE (qi(æ), h] + (px), h ]Ææ 60e 70)

226 E. ESCLANGON.

Posons d’une façon générale

€ Le

Si l’on fait, par exemple, =

on obüent (2) (f(x), m)=m(x)+ M +M;+...+M,.

En posant M = M, + M, + - .+M,,

on pourra donc écrire (3) f(æ)=ÿy(r), a) (7e), le (y (e), 2) = (re nm

Ceci fournit donc un moyen, connaissant les périodes &a,, &:, ..., a», d'obtenir, à des constantes près, chacune des fonctions o,(&), ®,(x), ..., En(æ).

Nous savons d’ailleurs, puisque f(æ) est une fonction quasi-périodique uniformément continue, que, si elle se met sous la forme d’une somme de fonctions périodiques à périodes deux à deux incommensurables, elle ne peut s’y mettre que d’une manière, aux constantes près (p. 222).

Enfin, l’ordre de la fonction f(x) est exactement égal à l’ordre g du corps déterminé par les périodes &,, 4, .... @,.

En effet, soit p l'ordre inconnu de la fonction f(x). Tout d’abord il est clair que p est au plus égal à g. D'autre part, il ne peut lui être inférieur. En eflet, la relation (2) montre que &, appartient au corps des périodes attaché à f(x), puisque +,(x) n’est pas constante; de même pour @,, HR Les périodes &,, &,,..., 4, appartenant ainsi à un même corps d'ordre p, il