APPLICATIONS

Dans cette quatrième Partie, je me propose, non pas d'étudier systémauquement les applications dont les fonctions quasi-périodiques sont suscepübles, mais seulement de signaler rapidement quelques problèmes où elles peuvent intervenir.

Il semble que la notion de fonctions quasi-périodiques puisse fournir des considérations utiles dans des études de nature assez différente et, pour ainsi dire, chaque fois que dans une même formule, ou dans un même problème, se trouvent réunis des éléments périodiques de périodes égales ou différentes. Aussi doit-on s'attendre à rencontrer la plupart des applications dans des problèmes d’Astronomie, de Mécanique ou de Physique mathématique. L'importance des fonctions quasi-périodiques s’y manifeste généralement par la nature de leurs développements en série qui possèdent la propriété de converger uniformément dans un domaine infini.

Ainsi, pour citer un exemple d’une extrême simplicité, soient M,, M,,..., M,, x corps altirés suivant la loi de Newton par un corps fixe M, dont la masse est infiniment grande par rapport à celle de chacun des corps M,, M,, ..., M,. Si ces derniers sont suffisamment petits, et restent assez éloignés les uns des autres pour que leurs attractions mutuelles puissent être négligées, toute fonction liée à la position relative des points M,, M,,..., M, est une fonction quasi-périodique. Telle serait par exemple la distance de deux des corps du système.

Il n’est nullement invraisemblable que la notion de quasi-périodicité puisse jouer un rôle dans le problème des » corps. Il sem ble même qu'il en soit réellement ainsi, si l’on se reporte à un Mémoire de M. EL. Poincaré ("),

(1) H. Poincaré, Sur l'intégration des équations du problème des trois corps (Bul-

letin astronomique, t. XIV, 1897, p. 241-271).

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où, en ce qui concerne le problème des trois corps, les coordonnées des astres sont mises sous la forme de séries, dont les termes sont des fonctions périodiques du temps.

En Mécanique on retrouve les fonctions quasi-périodiques dans certains problèmes, où l’on étudie le mouvement d’un système autour d’une position d'équilibre stable, et lorsqu'on dépasse la première approximation.

Enfin l'étude de la composition des mouvements vibratoires fournit aussi des applications intéressantes des fonctions quasi-périodiques.

Pour citer encore un exemple très simple, considérons dans un milieu élastique (un gaz par exemple) deux sources d’ébranlements périodiques À et B, de périodes a et b. En un point M distinct de À et B, comment varie la pression en fonction du temps ou l’élongation relative au mouvement d’une même molécule? Si les ébranlements en A et B sont infiniment petits, la pression P au point M est la somme de deux fonctions périodiques de périodes a et b. Mais, si ces ébranlements ne sont plus infiniment petits, ou bien si l’on veut tenir compte des variations du second ordre, la pression P est une fonction quasi-périodique uniformément continue attachée au champ des périodes a et b; de sorte qu'outre des fonctions de périodes a et b interviennent, dans l'expression de P, des fonctions périodiques dont les périodes appartiennent au corps réduit défini par les périodes fondamentales « et b.

D'ailleurs M. Bohl, dans un Ouvrage publié en russe (*), a fait une application précise et intéressante des fonctions quasi-périodiques à propos de la théorie de Helmholtz sur la composition des sons.