APPLICATION AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Sans entreprendre ici une étude approfondie de l'application des fonctions quasi-périodiques aux équations différentielles, je voudrais cependant indiquer quelques formes générales d'équations où peuvent intervenir des intégrales quasi-périodiques, me proposant d’ailleurs de revenir sur ce sujet.

(1) P. Bout, Sur certaines équations différentielles d’un caractère général que l’on rencontre en Mécanique. Dorpat, 1900.

La recherche des caractères fonctionnels des intégrales d’une équation différentielle est généralement un problème difficile. Les équations différentielles expriment en effet des propriétés qui lient les points infiniment voisins d’une intégrale, alors que les caractères fonctionnels expriment des propriétés entre des points à distance finie. Aussi le plus souvent ne découvre-t-on ces caractères qu'après avoir effectué l'intégration.

La périodicité simple est déjà une propriété qu'il n’est pas facile de melire en évidence, et il n'y a pas de règle générale permettant d'obtenir les iniégrales périodiques d’une équation différentielle quelconque. La quasi-périodicité n'étant qu'une extension de la périodicité, on voit que le problème doit être nécessairement plus compliqué encore.

Il y a toujours, dans ces sortes de questions, deux cas à distinguer suivant que l’on recherche des propriétés appartenant à l'intégrale générale ou seulement à une ou plusieurs intégrales particulières.

Ainsi, soit l'équation

Si l'intégrale générale est une fonction périodique de période a, la fonction 0(x, y) est, quel que soit y, une fonction périodique de x de période a. En effet, on a nécessairement pour toute intégrale

ÿ'=0(y, x +a) et, par suite, 0(y7,æ+a)—0(7, x) =,

relation qui doit avoir lieu identiquement, sinon l'intégrale y ne pourrait dépendre d’une constante arbitraire. La condition n’est pas suffisante, mais elle est nécessaire.

Au contraire la même équation différentielle pourrait fort bien admettre une intégrale périodique de période a sans que 0(y, x) fût, par rapport à x, une fonction périodique de période a.

Le même raisonnement s'applique d’ailleurs à l'équation

dx”? dar? dar—??

Si l'intégrale générale est une fonction périodique de période fixe a, le

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second membre est nécessairement une fonction périodique de x, de période &.

Vis-à-vis des équations différentielles qui admettent comme intégrales générales des fonctions quasi-périodiques uniformément continues attachées à un même champ de périodes, il existe des conditions analogues.

Soit

une équation différentielle, admettant des intégrales continues uniformes, quasi-périodiques, attachées au champ des périodes @,, @&,, ..…, a, (que lon peut toujours supposer indépendantes) et possédant des dérivées quasipériodiques. Soient y une de ces intégrales, æ,, æ,, ..., æ, un système de

valeurs quelconques attribuées aux variables #,, æ,,..., æ,. Si DEN di — Lys D À Mae Ds es + Mppe- Dh sont infiniment petits, il est clair que O[y (x), æ]

est infiniment voisin de y’(x). D'autre part on a, en désignant par Eve) Lasocieedes

D LL J Sr sr MA ;

par conséquent la fonction de x CN ME SRE A 2

a une limite lorsque & + m,a, — %,, © + m,a,—%,, ..., æ + M p Ep — Lp deviennent infiniment petits. [l peut se présenter deux cas :

1° 4, dy, ..., %, étant donnés, la limite existe quel que soit F, c’està-dire quel que soit y; la fonction 0(y, +) est alors, quel que soit y, une fonction quasi-périodique attachée au champ des périodes a,, 4,, ..…. de. Si l’on désigne par @(y, %,, 4, ...,x,) son associée sur ce champ, le pro-

blème revient à chercher les solutions périodiques de l'équation aux déri-

vées partielles

OF 0F OF —— + — +... OU Te de).

DE 2 ou | dore 2° Ly, L3, ..., 4) étant donnés, il leur correspond une ou plusieurs va-

leurs de y, pour lesquelles 9(y,x) a une limite dans les conditions indi-

quées; ces valeurs de y sont des fonctions de x,, æ,, et 1l reste à

RS Lo

s’assurer que lorsqu'on y fait &, — x üon différentielle donnée.