ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS QUASI-PÉRIODIQUES
Parmi les équations précédentes (dont le second membre est quasipériodique en æ) étudions d’un peu plus près celles qui sont linéaires
à dy dn—1 V et homogènes en Re
Soit donc une équation de la forme
Ghipiee à
d' V dant
où R, R,, R,,..., KR, sont des fonctions quasi-périodiques uniformément continues.
Le problème qui consiste à rechercher les caractères les plus généraux des intégrales d’une telle équation est d’un grand intérêt et d’une réelle importance; mais il comporte aussi de sérieuses difficultés, et se ramène finalement à l'étude d'équations fonctionnelles assez compliquées. Je n’ai pu réussir jusqu'ici à mettre complètement en évidence l'existence des solutions de ces équations fonctionnelles, mais j'ai tenu à montrer la véritable nature des difficultés que l’on rencontre.
Le problème posé peut être considéré comme une généralisation de celui où l’on suppose que les coefficients R, R,, ..., R, sont des fonctions périodiques uniformes, de méme période. C’est là un problème bien connu, traité successivement par M. Fuchs (‘), par M. Floquet (?), et par M. Picard (*) dans le cas de fonctions doublement périodiques. Mais, tandis que dans ces cas l’équalion fondamentale est une équation algébrique à coefficients constants, elle devient ici une équation fonctionnelle, et ç’est là l’origine des principales difficultés.
(1) Journal de Crelle, 1. 66.
(2) Annales de l’École Normale, t. XII, 1883. (3) Journal de Crelle, t. 90.
Nous pouvons toujours supposer que les coefficients R, R,, ..., R, sont des fonctions quasi-périodiques attachées au même champ de périodes. En effet, si À, A,,..., À, sont les champs sur lesquels sont respectivement définies les fonctions R, R,,...,R,, leur champ résultant (p. 110) est simultanément attaché aux mêmes fonctions ainsi que tous ses équivalents, parmi lesquels se trouvent des champs de périodes indépendantes &,, &,, ..., @,.
Désignons par
Q(x:, Lay +... Th) Q:(z4, Los +...) Lp); go Q:(æ:; Lay te.) Cp);
les associées de R, R,, ..., R, sur le champ unique défini par les périodes indépendantes a,, &,, ..., 4,3; Q, Q,,..., Q, sont des fonctions continues péñnodiques en, z,, %:; ...; æ, de périodes à4,, a;, .…, a, Nous poserons, pour simplifier,
Q Q Q, Pitr es En) = €? == 0? OT) pes
La recherche des intégrales quasi-périodiques de l'équation (1) se ramène à celle des fonctions f(#,,%,,...,2,) qui saüsfont à l’équation aux dérivées partielles (!)
(2) A f + P,A!-1f +. re PP: AP 0.
où l’on a posé
0) d 0 (AN : Fa DER ? Loy 9 Cp}.
à a dar no) JG #3 tp)
Signalons tout d’abord quelques propriétés générales du symbole Af. On a
A(fe) = Af + f A9 et, d’une façon générale,
APUO)= QU r f E nr AQU PE
AA f +... + fAo;
le même symbole satisfait aussi à la formule de différentiation des fonctions
(1) En supposant les dérivées quasi-périodiques.
234 E. ESCLANGON.
de fonctions ACF(?)] = F'(e) A9
et à la formule des différentiations composées
Envisageons maintenant le symbole A au point de vue des substitutions linéaires. Soit la substitution linéaire à déterminant non nul
(NII EH Yi dates + pp GS) Me Cd Al et et RC PERRET ,
LV = Yi PM Er y dr
Par cette substitution, la fonction f(x,, x, .….,æ,) devient o(y,, Ya, +, 2)
et l’on a ie à MON of 09 09.
de :+ A» CET — PB, di +... PQY»”
où B,, B,, ..., B, sont des constantes déterminées par les équations
Beynes nue
Ex * PSS LA .
B,=— y A 5m + YA
Les constantes B,, B,, ..., B, se déduisent ainsi de A,, A,, ..., À, par la même substitution (3). En posant
PR M da EE ca : 0Y; 02 Roy, on peut écrire alors Af—A;9 et, d’une façon générale, Aff— Aïe
On voit en particulier que si la substitution (3) était choisie de façon que par les formules (4) on ait
il viendrait dio AE f=B#}-—.
1 (4 ,1 ° eur : . : : a Dans ce cas l'équation aux dérivées partielles (2) deviendrait une équation ne contenant que les dérivées partielles par rapport à la variable y,. Supposons, et c’est le cas qui nous occupe, que
