A), —0, AR A
Au contraire, si » intégrales f,, f:, ..., f, Sont dépendantes, c’est-à-dire si D — 0, il existe entre ces fonctions une relation de la forme
Aide. nf 0; avec Ah 0, ee AA, —0.
En effet, supposons par exemple
TT RE Ce pi 4 AA An |, Anf, ... ... An-tf, et écrivons les équations fi UT + Usfs +... + Unfns NS SN Re SA
qui déterminent entièrement les coefficients inconnus pu, ls, ..., bu. Puisque D — 0, les coefficients 1 ainsi déterminés satisfont en outre à l'équation
Aie be APEY7. Leo te dr AT
D'autre part, effectuons sur les relations précédentes l'opération définie par le symbole A. Il vient
2 Ab: + fs Aps+...+ fa Al — 0, Je AUS UE: Se AFS ANS ME; AT AUS ete UEe HAT AUDE <0,
c’est-à-dire, puisque le déterminant D’ est différent de zéro, AU = 0; ASE 0, des APE et l’on a, d’autre part, Pi Palo +bafs ++ Lapin.
Il résulte de là que si l’on connait # intégrales indépendantes f,, fa, ..., f\ de équation (2), on les aura toutes en posant
f=hfi+kfr+. sn re
EPP etant desloncuons quelconques de %,;, #2, .-*, @, assujetties aux seules conditions A0) F0 Qi A, = 0.
Ces résultats pourraient être obtenus au moyen de l'équation (7) : en effet, en désignant par ®,, &, ..., ©, n intégrales indépendantes de cette équation, l'intégrale générale se met sous la forme
P— HaiOi+ Papa te + HnOns
D, Lo) <.., We, étant des fonctions quelconques des seules variables y,, Vase. )Y3 résultat qui, en tenant compte de la substitution linéaire, coïncide avec le précédent.
Voici, maintenant, l'hypothèse que je ferai sur l'équation (2) : je supposerai qu'elle admet n intégrales indépendantes uniformes fi, fa +. fn. Toutes les intégrales uniformes de la même équation sont alors données
par la formule DEN IN Sn TES
où À, A2. À, sont des fonctions uniformes quelconques, vérifiant les
2/0 E. ESCLANGON.
équations ANE=10; M0, RS A, =6;
On remarquera que si dans À;onfaitæ,=x,;—...=4#,=—#, À; devient une constante. Dans les mêmes conditions, toute intégrale de (2) devient une intégrale de (1).
Enfin, si /(æ,,4,,...,#,)estune intégrale quelconque de (2), la fonction
(Mi + Midi, Lo + Malos 3 Ep + Mp@p)
est aussi une intégrale, quels que soient les entiers »,, m,,..., m,. Cela résulte immédiatement du fait que les coefficients P,, P,, ..., P, sont pénodiques ent 4 005,0, Désormais, je ne considérerai parmi les intégrales de (2) que celles qui
sont uniformes.
Tuéorème. — L’équalion (2) admet un système (et par suite une 1nfinié) d'intégrales indépendantes uniformes, périodiques séparément par rapport à (p — 1) quelconques des variables; x,, æ,,..., x, par exemple.
Cette proposition résulte, comme on va le montrer, du théorème de Cauchy sur l’existence des intégrales.
Tout d’abord effectuons un changement linéaire de variables, qui trans-
forme le symbole Af en . » et les périodes (OS do me 0) ICO: E0, 1 0 AS OR MO OR ID respectivement en (0,122,10, 54 0) (0/05/0070 0) RP (OO MRC Oo DIE
cela est possible (p. 236). L’équation (2) devient alors
0" do do DRM en ee Re MS (Da dy" 2e 1(Y159 29 or ) dy?"t 5 M; OV e ni An M,9 0 et les coefficients M,, M,, ..., M, sont ainsi périodiques en y2, y, ..…, Ve L'équation (7) est équivalente au système d'équations différentielles
linéaires
(ES TNA TERRA ,
=— (Mu, ;+Mius 2+...+M,o).
Or, d’après le théorème de Cauchy, on sait qu’étant données les valeurs initiales
CPS RUE MS OU et » fonctions arbitraires CAEN OS DO PR A AN TE 20 PO ES PR A nr à) holomorphes (') au voisinage de y;,7;, -.., y,, se réduisant pour ces valeurs respectivement à
0 0 0 DURS Are QU:
il existe » fonctions
(V1 V2 QryOr) Yp) Ui (Vis Vas 2 > Ypls CHOCO) rie Vas DSOEOE) Yp):
satisfaisant aux équations (8) et se réduisant pour y, — y\, respectivement
aux fonctions DL nn Aite
Vis-à-vis de l'équation (7), cela signifie qu’étant données les fonctions 0,, 0,,..., 0,, il existe une intégrale et une seule, o(Y,, V2, ..., y»), telle que, pour y, = y\, les foncuons
DR APT Re
(Vis Vas 4.) Jp) dy” dy?”
(2) Nous faisons implicitement l'hypothèse que les coefficients M sont holomorphes,
Fe DT
242 E. ESCLANGON.
se réduisent respectivement à 0, (Vas D O3(Ya GIGIQ) Yp) SRAUNES On (Ya ss Jp
Ceci posé, donnons-nous pour 0,, 0,, ..., 0,, # fonctions uniformes périodiques par rapport à chacune des variables y, y3, ., y les périodes étant respectivement b,, b,,..., b,, et supposons que l'intégrale correspondante 9 soit uniforme (nous démontrerons dans un instant qu'il en est bien ainsi); je dis que cette intégrale est périodique en ÿ:, Ya, + «+» Ype
En effet, les coefficients M étant périodiques en y, Ys +. Yps la
fonction D P(Yas Ya + No Das Va + Ra d3s 3 Yp + Rp0p)
est une intégrale quels que soient les entiers 2,, n3, ..., n,. Or, les fonctions 0,, 0,, ..., 0, ayant été choisies périodiques, on a, pour y, = y;,
Di (Vis Ja fn DVI V2 RS Pot (Ya PE pr) 29: 0 09 0 0 À le CHOS # == : 4 , las HS AU Ü> /29 ... ‘D 9 TA 0) AUDE Ÿ») (2 Jp) 9-1 D > : dt! ô
par conséquent, toujours en vertu du théorème de Cauchy, les deux inté-
grales O(Y1 Moser Yo) O(Y1 ée Na Vs, ss Yp TT Up )
coïncident, ce qui démontre la proposition.
Nous avons supposé que l'intégrale © correspondant aux fonctions données 0 est uniforme; voyons s’il peut en être réellement ainsi.
Par hypothèse, l'équation (2) et, par suite, sa transformée linéaire (7) possèdent x intégrales uniformes indépendantes. Soient o,,0,,..., ©, ces
intégrales; le déterminant
O1 D> On
