DD ER DE ED
OÙ Vi, Vos, V, SOnt des fonctions uniformes quelconques de y,, y,, ..…., y, mais périodiques par rapport à ces variables. En effet, considérant la
période b, par exemple, on devra avoir
DO 0e D lues cs Ph) = [7e + VER Vs 5) A Bi+...+ (y, (ya D», Vas 53) = VD 0
d’où, puisque les intégrales ®,, ..., ®, sont indépendantes, Vi( Ye D, 3 QUE) Yp) = Uhi (22 CERN) Yp)s Door) Va (Yet ds, 3, er D) = Vn (Vas “a Pele
on aura des relations analogues relativement aux autres périodes DA D:
En faisant la substitution inverse de celle qui a fourni l'équation (5),
on arrive à cette conclusion que l’équation (2) Arf + Pi(xi, +.., æ5) ATV pe A PF
admet des systèmes de n intégrales uniformes et indépendantes, périodiques par rapport à (p — 1) quelconques des variables x,,2,,..., 2. Sif,, fa, .., fn désignent les intégrales d'untelsystème, périodiques en Lay Lay +, 2 par exemple, toutes les intégrales périodiques par rapport
aux mémes variables peuvent se mettre sous la forme
Phi - À) fo to inc lee:
246 E. ESCLANGON.
À, À, -.., À, étant des fonctions quelconques, périodiques en %», Lys...) D), Salisfaisant aux conditions
Ah =, A0, des A}, +0:
Ces dernières expriment d’ailleurs que les fonctions À,, À, :.., À dépendent des seules variables
UC Lo) Re Lie Le; rer Un Lie y et sont périodiques, de périodes &4,, a;, ,.., a,, par rapport à ces variables.
Sur un système d'équations fonctionnelles déduites des équations (2) ou (7). — La démonstration du théorème précédent, entreprise d’une façon différente, conduit à des systèmes d'équations fonctionnelles, dont il ne serait sans doute pas facile de mettre directement les solutions en évidence. L'existence de ces solutions étant assurée d’autre part, on peut en tirer quelques conclusions intéressantes vis-à-vis de ces équations fonctionnelles, et voir de quelle façon elles se rattachent aux équations aux dérivées parüelles de la forme (2) ou (7).
Raisonnons sur l'équation (7) et bornons-nous, pour simplifier, au cas de deux variables. Considérons donc l'équation
On? O7 Lo
(10) 0y" UP EE 4... M,0—0,
M,, M,,..., M, étant des coefficients périodiques par rapport à æ, et de période a. D’après le théorème précédent, il existe des intégrales périodiques en +.
Soient maintenant (x, Y), D:(%, y), ..., ®(%, Y), n intégrales quelconques indépendantes de l'équation (ro). Les fonctions
(r+a, y Da(T+a, ÿ), ...s On(T +a, y)
sont aussi des intégrales indépendantes de la même équation.
On peut donc poser
A(T+a, y)=vi(z)pi+vi(z)pat+...+vi(z)os, DOCTEUR ee +-vi(æ)o
RAR Te Pt TES TES ele ee lelelsne s mise etelotals elle le ee ces
et le déterminant s JR CV.
n’est pas identiquement nul. Soit P— HT) Pit pa(a) ques + un (r) Qu une intégrale quelconque de (x :) On a
p(r+ay)= mir +a)lriqi+...+vip] HE Box +a)[viqi +. +viqu] ++ px + a) [oi Pour que l'intégrale & soit périodique en #, il faut donc que
i(æ+a)vi+p(x+a)vi+...+u,(x+a)v}=mu(x),
OR ED) nee sac esse + Un(æ + a) = pa),
00e mt CAL
et ces conditions sont suffisantes. Or ce sont là des équations fonctionnelles
par rapport aux fonctions inconnues p,(x), HA) ue (æ)erstence
de leurs solutions nous est assurée par le théorème démontré plus haut. Si
l’on sait trouver l'intégrale générale de (10), ou si l’on a déterminé » inté-
grales indépendantes périodiques en x, on saura, par là même, obtenir
toutes les solutions du système (12).
Les équations fonctionnelles de la forme (12) ont, à part les
conditions
d'existence des solutions, les plus grandes analogies avec les systèmes
d'équations différentielles linéaires, et je me borne à énoncer quelques
résultats sans doute connus.
248 E. ESCLANGON.
Si l’on appelle solutions indépendantes, n solutions (1, 1, TATER (u*,.…, ur) pour lesquelles le déterminant Pi Ha. Hn Bi ++ -.. Ma n’est pas identiquement nul, toute solution se met sous la forme pm Ci + CGpi+...+ Gpi,
Er ee + Cap
où C,, GC, .…, C, sont des fonctions périodiques quelconques de période a. Inversement tout système de cette forme est une solution. Il en résulte immédiatement que u.,, par exemple, vérifie une équation fonctionnelle de la forme
(19) Apitxæ+na)+Aiplz+(n—1)a]+...+A;n(x) —=o,
dans laquelle les coefficients A,, A,, ..., À, sont des fonctions uniformes de x.
Il suffit, pour le voir, d'éliminer C,, C;, ..., C, entre les équations bi(æ) | = Gui + Cu? +...+ Gu,
mitæ+a) =Cui(r td) +. ..+ CGur(æpa),
ete eos ne ele see lele ons Ste lo eee es ot ae lele so te vie es see e + on ee
mic+na)=Cui(x + na) +...+Cp?(x + na).
Relativement aux équations de la forme (14) Jiz+na)+A,(z)flz+(n—1)a]+...+A,f(æ)=o,
on peut énoncer quelques résultats analogues à ceux que l’on obtient vis-à-vis des équations différentielles linéaires homogènes.
S1 is Jos ce, fa sont des solutions, toute fonction de la forme B; fi + B:f2+.. ne Bb} 72;
où B,, B;, ..., B, sont des fonctions périodiques quelconques de période a,
est aussi une solution. En posant, d’une façon géntrale, fP)= f(x + pa),
on dira que k fonctions sont indépendantes vis-à-vis de la période à, si le déterminant
Ji FAUNE RE En à
0 NOT n'est pas identiquement nul. D'après cela, (7 + 1) solutions quelconques 5 180 : L 4 de l’équation (14) sont toujours dépendantes. Si k fonctions sont indépendantes, il est clair qu'il ne peut exister entre elles aucune relation de la forme
Bifi+ Bifo+...+ Bifx=0,
où B,, B,,..., B; sont des fonctions périodiques non nulles à la fois.
Au contraire, si (+1) fonctions f, f,, fs ..., fx sont dépendantes vis-à-vis de la période &, il existe nécessairement entre elles une relation de la forme précédente. Pour le voir, il suffit de déterminer B,, B,, …., Bz
par les équations
va b;# + B,/2 +. + B;fr, DACURES PT RS BRAVE NR 2700
les coefficients B ainsi définis vérifient alors la relation ROBES + DAT:
D'autre part, en remplaçant dans les premières x par æ + 4, el tenan compte de ces relations mêmes, on obtient
