BB). (BY BX

250 E. ESCLANGON.

et, par suite,

BEBE Bb AS F2 Be —B;

ce qui exprime la périodicité des fonctions B,, B,, ..., B4. I suit de là que, si f,, fs, -.., fa désignent » solutions indépendantes de l'équation (14), toute solution est de la forme

f=Bifi+Bif+...+Bh n 3

inversement, toute expression de cette forme est une solution.

Un cas particulier intéressant est celui où les coefficients AÀ,, A,, ..., A, de l'équation (14) sont eux-mêmes des fonctions périodiques de période a. On peut alors trouver des solutions F(x) pour lesquelles on a

F(gta)=c{(r7)R(C@)

e(æ) étant une fonction périodique de période a; € est dans ce cas racine d’une équation algébrique de degré » à coefficients périodiques, jouant ici le même rôle que l'équation fondamentale dans l'étude des intégrales d'équations différentielles linéaires homogènes à coefficients périodiques.

Le cas le plus simple est celui où A,, A,, ..., A, sont des constantes; l'équation algébrique en € est alors à coefficients constants. A chaque racine correspondent des solutions F(x) qui se mettent sous la forme e*®(x), D(x) étant une fonction périodique de période a. Je n’insisterai pas davantage sur les relations évidentes qu’il y a entre ces équations fonctionnelles et les équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Recherche des intégrales complètement périodiques de l’équation (2). — Si l'équation (1) de la page 232 admet des intégrales quasi-périodiques, l'équation aux dérivées partielles (2) de la page 233 admet des intégrales périodiques en æ&,,æ,, ..., æ,; mais celle-ci n'admet généralement pas de telles intégrales. Il n’est pas difficile de rechercher les conditions pour qu'il en soit ainsi.

Considérons l'ensemble des intégrales de l’équation (2) périodiques en Las Cup ses ps Et SOI PL, La, . -., &,) l’une quelconque d’entre elles. Les

fonctions f(x, a, 4) nn. EN ont

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 251 des intégrales; il existe entre ces (n + 1) intégrales une relation de la forme AO Eee. Je AT Prin (0 Das Re A fo

dans laquelle on a AA ,—0, Tate AAS== 0:

mails un Certain nombre de coefficients A,, À,, À,,.. pourraient être nuls. Supposons que À, , soit le premier coefficient différent de 0; on pourra écrire en divisant par A

A —YV

(r) - f(ai+ va, ….) = Bof (Luis +) paf (dit à...) +... + pvaflm+ âne, 2

avec A0, AU 0, Re Abe 10:

Les coefficients p,, 14,, ..., 14, , sont d’ailleurs périodiques en x,, D. ns

L’entier y pourrait s'appeler l’ordre de l'intégrale f; y est au plus égal ah.

Le problème qui se pose est le suivant :

Dans le cas le plus général existe-t-il des intégrales dont l’ordre soit inférieur à n°?

Nous dirons quelques mots de ce problème dans un instant; on peut trouver une condition d’existence d’intégrales complètement périodiques sans résoudre ce problème général.

SO #2... )uneinteprale d'ordre 7 periodiqueen rt, 4

æ,. On a donc

CT CET 0) nee ui ed de palais (ne ls

Los Lis.) Sont des fonctions des seules différences

Ua — Li — Los Us LT, ‘ei Up — Li — Lh

périodiques en &:, U3, -.., u, de périodes &,, @3, ..., Gp D'autre part, toute intégrale périodique en ,, #,, ..., 4, se met sous la