E.. ESCLANGON
forme
NÉ ER EU ECTS JE AL lé (rene,
les À jouissant des mêmes propriétés que les w. Remplaçons +, par #, + a. Le coefficient À;(4,, u3,...,u,) devient AQU; +@,U3+@,..., Up + PE) el pour simplifier nous poserons
ANUS di Us Eds > prie Nous obtenons de cette façon
EF (x, + Ags Los He)
= À, fai tar. M ENJ(mroa,s )+ RME nas.) et, en remplaçant f(x, + na,,...)par son expression (2),
Etz, HA) ae DE ae Di me 2)
+ (A+ pan) (Di + 20 ve) Hu (no + Bnan 1) PT + (7 — 1) as se].
Pour que l'intégrale F soit entièrement périodique, il faut et il suffit que l’on ait
Bon = Ào NE SR T7 (1) OT ET TT
br les
Ce sont là des équations fonctionnelles qui doivent avoir des solutions par rapport aux fonctions inconnues À,, À,,..., À,-,. Éliminons À,, À,,. À,, et pour cela posons d'une façon générale
AM Us en ut) =NCR ERA, ka. Up + K&;).
Si dans la première des équations (4) on remplace w,, ..., w, par Uy+(n—1)a,,.…….,u,+(n—1)a,, dansla seconde par w, + (n—2)a,,.. u, En 2)4;,'etc., eLsilon ajoute, il vient
(A—1)7 (7) (A—2)7)(7—1) (2) Ho Ane1e MAN AU eee Un—1 AD dot:
Une condition nécessaire est donc que cette équation admette des solutions en À,,, périodiques par rapport aux variables &,, u,, ..., u,; elle est d'ailleurs suffisante, car, si À, , est une telle solution, les équations (4) fournissent alors directement et successivement les autres fonctions incon- MES ERA. 0 A ee
Il serait intéressant de rechercher les conditions que doivent remplir les coefficients 44, 14, ..., ,, pour que l'équation (5) possède effectivement des solutions périodiques, mais c'est là une question qui présente de sérieuses difficultés et dans laquelle je n’entrerai pas ici.
Quelques recherches sur les propriétés générales des intégrales de l’équation(r). — Lorsqu'on se propose, non de rechercher (s’ilen existe) les intégrales quasi-périodiques de l'équation (1) de la page 232, mais d'obtenir les propriétés les plus générales des intégrales de la mème équation, on se trouve amené à se poser le problème que nous ayons énoncé un peu
plus haut :
Existe-t-il dans le cas le plus général des intégrales de l'équation (6) DER TN ER AT EEE PR er) 0 dont l’ordre soit inférieur à n?
Remarquons d’abord que, si une fonction f(x,,4,,...,x,) périodique EN Lys Lys.) W, Vérifie une équation fonctionnelle de la forme
CAC EU. 0) 0, ed Valide ce. Lya/lei (0 na
dans laquelle w,, ..., 1, , sont fonctions des seules variables Ho Li Les Us — Li — D, BD Lie Ch
et périodiques par rapport à ces variables (de périodes 4), 4, 4 4) cette
fonction est intégrale d’une équation de degré v (8) Mo + Pi (2 ..., æ))ATo—+...+ P,(xi, ..., &)p —0,
dans laquelle P', ..., P, sont également périodiques en #,,%,, ..., æ, et,
29/4 E. ESCLANGON.
de plus, si j est intégrale de (6), toutes les intégrales de l'équation (8) appartiennent à (6).
Considérons, en effet, l'équation
A6 are 1 AO p
AV AYEN A AC V7 ni
AMP di, °1E) AT fie ds), 28 Af(E + Gp 0) Ca 6) AV FIRE (= 1)2 RE Re Re OR RER flami+(—s)a,
cette équation admet par rapport à © les y intégrales indépendantes TEE.) MIRE r) a, 041
De plus, si on la met sous la forme (8), les cocfficients P', ..., P, sont périodiques en æ,, &:,..., æ,. Ges coefficients s’obtiennent, en eflet, en divisant par l’un d'eux les déterminants d'ordre y que l’on peut former avec les éléments du Tableau
A°f NS NT f Go) ARE UTC ON RAT …. CAPE de. TIGE Gp 2) Abe ET), A. RE UT JE flmai+O—nae, ...]
ces déterminants sont déjà périodiques en #,, æ3, ..., æ,. Si nous remplaçons æ, par #, + @,, el si l’on tient compte de la relation (7), sur laquelle on fait les opérations A, 4?, ..., A’, on voit que tous les déterminants considérés se reproduisent multipliés par (— 1)"-'4,, de sorte que leurs rapports restent invariables ("); ce qui établit la complète périodicité des coefficients P°, ..., P,. Ces coefficients sont d’ailleurs uniformes si f est uniforme. Les fonctions f(x, 2), fé ta, ) Jr e0e- na étant y intégrales indépendantes de (8), toute intégrale de cette même équation se met sous la forme
P—= of (Lis +5 Lp) + M (ri Qu ...) +... + fai + (v— ra, ...]
(1) On peut toujours supposer ft © sinon on poserail fi = f(æ1+ &, ...) et l’on raisonnerait sur la fonction f, qui serait d'ordre v — 1.
mx]
ve
Le) OU?
Ct
avec
À, = Ah =. Ar 0
etappartient, par conséquent, à l'équation (6 ) elle-même.
On voit donc que l'existence d’une intégrale d'ordre y n entraîne visà-vis de l'équation (6) une réductibilité particulière; de sorte que si, dans le cas général, il existait des intégrales d'ordre v< n, l'équation (8) admettrait à son tour des intégrales d'ordre inférieur à v et, en continuant ainsi, on établirait l'existence d’intégrales d'ordre wn.
Mais si l'équation (6) admet une intégrale d'ordre un, il existe une équation de degré un
(11) Af+ 0f—
(9 périodique en x,, #,, ..., æ,) dont toutes les intégrales appartiennent
à (6). En effectuant sur (11) les opérations A, A?, ..., A1 ..., il vient | A°f + 0Af + A6f—0, A f + 0Af + 2 A9Af+ A6 f—0,
selle ous sie oheln +) as sin + +00 (olsloberss ee ei is ,
et, par élimination de f, Af, A°f, ..., A? f entre les équations (6), (11), (12),
A P, P, CR P, Re Snace e ee AB . . . An-19
(13) ON gl (n — 2)A0 . … … A8 | — 5, OO I 0 A D OR à : OR 9
C’est là une équation aux dérivées partielles en 0, qui devrait admettre au moins une intégrale uniforme périodique en æ,, æ?, ..., æ,, el rien n'indique, a priori, qu'il en soit ainsi lorsque P,, P,,..., P, sont des fonctions périodiques quelconques, à cette seule condition que l'équation (6) possède n intégrales indépendantes uniformes.
Cette méthode ne démontre pas davantage que l'équation (13) ne pos-
256 E. ESCLANGON.
sède pas d’intégrales périodiques, car l'existence de telles intégrales pourrait tenir à la forme toute particulière de cette équation. C’est précisément ce qui arrive dans le cas des équations différentielles linéaires ordinaires, à coefficients périodiques de même période, pour lesquelles on pourrait suivre une marche analogue.
Il convient de remarquer que, s’il existe une intégrale de l’équation (6) périodique en æ,, æs, :.., &,, d'ordre un par rapport à æ,,1l existe des intégrales périodiques par rapport aux mêmes variables et pour lesquelles
(14) DRE Gi Des 2 Lol (LG Ua oo del) e désignant une constante. On peut, en effet, trouver une équation Af + OT 0, où 0 désigne une fonction entièrement périodique, dont toutes les intégrales
appartiennent à l'équation (6). Or, une telle équation, qui s'intègre aisé-
ment, admet, en général (!), une intégrale de la forme
TCB Tr, Tee)
retant une constante, ®June fonction périodique enr, De me. d’ailleurs
me t4 TU ] lé | ef CCE NRA) CAT SE ESS di...dh 0 5
la même intégrale appartient à l'équation (6) et l’on a
CEE
Le problème revient donc à chercher s'il existe des intégrales / satisfaisant pour des valeurs convenables de e à l'identité (14), ce qui permet d’envisager la question d’une façon un peu différente.
Partons d’un système de # intégrales indépendantes, périodiques en x,,
Las, dy t pour plus de simplicité choisissons un système de la forme
ÉCRS D se 5 ns AJ Ge Le > Bed to I A oo
(1) Les cas d'exception tiennent à des circonstances particulières relatives à la nature des périodes de la fonction 0; circonstances que nous avons signalées pages 55 à 6.
f désignant une intégrale d'ordre #. On peut écrire
HN En ..)
= Lo Ji +) Ep (di + a...) +... ss flan —1)a,...], os Hi <.., M, étant fonctions périodiques des seules variables
Ho == Li Le, D. Up = Li — Lys
Soit
EP D CR as NE Eire Da, 1
une intégrale quelconque périodique en x,, ..., æ&, (As: -.., À, sont des fonctions périodiques de &,, u,, ..., u,). Nous poserons,
NO = }(u, + ka us; + ka, .:, un) + ki),
le même symbole s'appliquant aux coefficients . En exprimant que les INÉ Tales (T ee 0) 2, 2) ét cf(@,,&:,.:.. &) sontidentiques.
1l viendra | Do che
ete (15) \ (0 Ep, A0, 6e,
et l'élimination de À,, À,, ..., À,, donne alors COR AN EE NAN ee ORDER En pe NE 0:
C’est là une relation algébrique en & et fonctionnelle par rapport à l’inconnue À,,. On peut, d’ailleurs, former une équation foncuonnelle qui ne
dépende pas de €. Posons
Ào
À site Ge DES
les équations (15) peuvent s’écrire, en les divisant membre à membre par
258 E. ESCLANGON.
la première,
() GE + y 0:
g{1) : de ; (19) DO Ft
L'élimination de 0,, 0,, ,.., 0,, fournit alors l'équation fonctionnelle
(n—2) (n—92),,(7—3) (72—2) (1) F6 ue ni) Po Ho L Le : Po, os - Ho
(7—2) 73 (n—2) Atn—3) ATX en (72—2) (1) ) i 8, ô, 8$ ae AUS
(18) nn TE TE nd
__ HS 07 Bo Te (nr—2) (1) BUT. 4106,
par rapport à la seule fonction inconnue 0,.
La question se ramène donc à celle-ci : l’équation fonctionnelle (18) admet-elle des solutions 0, périodiques en u,,u,,...,u,. — L'existence de ces solutions est une condition nécessaire et suffisante, car si l’on en connaît une, 0,, les équations (17) permettent de déterminer 6; 0,, ..:, 0,81 ensuite, lon se donne arbitrairement k,,, périodique en #,, ..., u,, les for-
mules
permettent de déterminer À,, À,, ..., À,,. Les équations (15) sont satisfaites en donnant à € une valeur qui n’est plus une constante il est vrai, mais lintégrale correspondante étant d’ordre wn, on est alors assuré de l'existence d’une intégrale F pour laquelle Le rapport F3 + dis ee) Fée e) est constant.
En d’autres termes, l'existence de solutions périodiques 0, de l’équation (18) entraine l’existence d’une fonction X,, et d’une constante € permettant de vérifier la relation (16), et inversement.
Je n’ai pas réussi jusqu'ici à élucider la question relative à l'existence des solutions 9, de l'équation (18) dans le cas le plus général; quant aux con-
Stantes €, il est probable qu’elles sont racines d’une équation algébrique de degré r à coefficients constants, indépendante du système d’intégrales qui sert à la former, et qui reste la même lorsque, au lieu de considérer les intégrales périodiques par rapport à #,, æ,, ...,æ,, on considère celles qui sont périodiques par rapport à (p —1) autres variables quelconques.
Ces problèmes ont une grande importance si l’on remarque qu'à toute intégrale d'ordre un de l'équation (6) correspond une intégrale de l'équation (x) de la page 232
d n dur
fr —1.
Hi) ee Re),
K(x) / dxn-1
qui se met sous la forme
e T2), Ta) étant une fonclion quasi-périodique.
IL est probable qu'il existe des systèmes d'intégrales fondamentales indépendantes, jouissant, vis-à-vis de la quasi-périodicité, de propriétés analogues à celles que l’on obtient en considérant les intégrales d'équations différentielles linéaires, à coefficients périodiques de même période.
