APPLICATION AUX MOYENNES D'OBSERVATIONS MÉTÉOROLOGIQUES
Je terminerai par une application assez curieuse des théorèmes que nous avons établis sur les fonctions moyennes déduites d’une même fonction quasi-périodique (p. 207 à 224).
On sait que, dans les stations météorologiques, les observations sont groupées en séries dont on calcule les moyennes. Que signifient ces moyennes? Pour saisir exactement le sens de cette question, prenons un exemple précis.
L'observation fournit directement la pression barométrique en fonction
du temps. Soit He)
cette fonction; æ est le temps compté en jours moyens à partir d’une certaine époque origine.
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Or, imaginons qu'on fasse la moyenne des observations faites à minuit, . ae par exemple : en appelant ? le nombre d'observations, et supposant l’origine des temps choisie à minuit du jour origine, on forme la quantité
f(o)+flo+i)+f(o+2)+...+ flo +(r—1)] |:
Sn
Le calcul montre que si le nombre des observations devient suffisamment grand, s'étendant à plusieurs années par exemple, cette moyenne à une limite fixe. C’est la pression moyenne de minuit.
Si, au lieu des observations de minuit, on prend celles d’une heure quelconque de la journée, la même pour chaque jour, la moyenne tend encore vers une limite déterminée, différente de la première.
En d’autres termes la quantité
MAPS IP OODE CET Arte 1)]|
a, quel que soit +, une limite pour # infini. Cette limite est une fonction continue de æ périodique de période un qui s'appelle la variation diurne moyenne de la pression barométrique.
D'une façon générale, le calcul des moyennes montre que les fonctions météorologiques, telles que f(x), jouissent de la propriété suivante : la quantité
| f(x) +f(z+h)+...+fle+(n—0a4ll
a, quels que soient x et #, une limite lorsque » augmente indéfiniment et cette limite est une fonction continue de x. Quelle est la signification des foncuüons ainsi obtenues? Que représentent-elles vis-à-vis de la foncuon f(x) elle-même? Les propriétés des fonctions quasi-périodiques semblent fournir une réponse à cette question.
En eflet, l'existence de ces fonctions moyennes est un des caractères essentiels des fonctions quasi-périodiques uniformément continues. D'autre part, les phénomènes météorologiques semblent résulter nettement, à part les causes accidentelles, de causes périodiques en nombre fini, mais de
périodes différentes. C’est ainsi que, pour la température et la pression
barométrique, les causes périodiques qui, en dehors des variations accidentelles, paraissent intervenir sont :
1° Une cause diurne de période & — 1 ; 2° Une cause lunaire de période b — 2
ne — Fe 3° Une cause annuelle de période c— re.
7e ER 242 CHENE)
auxquelles il faudrait joindre probablement une cause de période d = 25,3 correspondant à la durée de la rotation solaire, et une cause de période e 11,1 X 365,24 correspondant à la périodicité des taches solaires (‘).
[peut exister, bien entendu, d’autres causes périodiques qui influent sur les lee météorologiques; c’est à l'observation et au calcul de décider Jusqu'à quel point il en est ainsi, et si l’on peut, en dehors des variauons accidentelles, représenter les observations par une fonction quasipériodique uniformément continue attachée au champ des périodes a, b, code.
Nous faisons donc l'hypothèse que f(x) est une fonction quasi-périodique, hypothèse que seuls les calculs basés sur les considérations qui vont suivre seront capables de justifier.
Les moyennes font tout d'abord disparaître ce que l’on pourrait appeler les fonctions accidentelles. Une fonction 0(x) sera accidentelle si, quels que soient # et , la quantité
Lid(æ Ch) Or (ne ll a pour limite o et si de plus les nombres CAPE EN PEER EN COS AU satisfont, quant à leur répartition autour de leur moyenne, aux lois de la
probabilité (C):
Le théorème des moyennes permettra de reconnaitre les nombres
(1) Ces périodes ne sont pas encore très exactement connues. (2) Je ne discuterai pas les objections qu'une telle définition pourrait soulever; elle est
en effet suffisante pour la clarté des raisonnements qui suivent.
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appartenant aux corps des périodes. Si la fonction de x
Bis ar k) lim = | /(æ) = f(a+h)+...+/ffz+(r 1)A]|
. Ë Ce 1 n’est pas constante, le nombre X appartient aux corps des périodes, et l’on aura là un moyen pratique de vérifier que le corps des périodes est défini par a, b,c,d, e. Si h n'appartient pas (*) au corps des périodes on aura
(f(æ); hr ] AS
A, désignant la moyenne générale, ici la pression moyenne.
On peut supposer que f(x) est développable en une série de fonctions périodiques à périodes deux à deux incommensurables, car, s’il en était autrement, on pourrait toujours représenter f(æ) avec une approximation supérieure à la précision des observations, par une fonction qui jouirait de cette propriété. On écrira donc, en réunissant dans un même terme les deux fonctions égales S,(x), S,(x),
(1) f(x) = A+ D Sa(z),
les fonctions périodiques S, ayant chacune une moyenne nulle. Nous savons que les périodes x sont les périodes primitives du corps réduit fondamental. Ici les périodes à, b, c, d, e peuvent être pratiquement regardées comme indépendantes, de sorte que les périodes &« sont données par la
formule I mt Do M3 mt, ms re
M, M, ..., In, désignant des entiers quelconques premiers entre eux. D'autre part nous savons que
No Nr k At Sa(x)=lime)f(æ)+ f(x +a)+...+ [x + (n —1)aæ]!|,
(1) Pratiquement on reconnaitra que A est extérieur au corps défini par a, b, ce, d,e lorsque dans la relation RO Nu M m3 — — —
JR NES e
l'un au moins des entiers 1, ..., mx sera très grand.
relation qui fournit un moyen pratique de calculer chacune des variations S,(æ) et nous avons une interprétation de ces moyennes.
La constante A, est la moyenne générale. La variation diurne n’est autre que le terme du développement (1) correspondant aux entiers DE 0 = — M, 0;
La variation lunaire désigne la fonction S, du même développement correspondant aux entiers M, = 1, M = M;—=...—My—=0.
La variation annuelle correspond au système », = 0, m, = 0, m;= 1, M,—= 0, M; —= O0, elC.
C’est au calcul de décider de l'importance relative de chacune des variations composant le développement (1). Les variations S, tendent vers 0 lorsque un ou plusieurs des entiers 71 grandissent indéfiniment; c’est encore au calcul de déterminer les limites inférieures de ces entiers au-dessus desquelles les variations correspondantes deviennent négligeables.
L'importance relative des variations qui figurent dans le développement (1) présente un réel intérêt. Ainsi, en ce qui concerne les pressions barométriques, les variations diurne, lunaire et annuelle sont connues depuis longtemps, mais il y a d’autres variations qui ne sont nullement négligeables; nous avons là une méthode pratique pour les rechercher et les obtenir.
Il est clair que les mêmes considérations s'appliquent aux températures, aux phénomènes magnétiques, etc.
E. ESCLANGON.
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