Dio»ène de Laërte

On lui attribue, en effet, la détermination de la hauteur d'une pyramide, au moyen de l'ombre, ce qui ne peut être qu'une application de ce dernier théorème. Il est utile d'insister sur ces deux propositions, car nous sommes ici à l'origine d'une chose absolument nouvelle dans le monde : la science abstraite, s'annonçant par la géométrie.

Nous voyons par Euclide (livre 3^, propositions 20, 21, 35), comment on démontrait dans l'antiquité la proposition, qu'un angle inscrit dans une demi-circonférence est droit. La démonstration pratiquée au moyen de la mesure des angles est une chose moderne, probablement due à Legendre, en tout cas ignorée d'Euclide. La démonstration d'Euclide s'appuie sur ce que l'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés , conséquence immédiate du théorème que la somme des trois angles d'un triangle égale deux droits. On peut donc légitimement regarder Thaïes, non-seulement comme ayant connu ce théorème, mais aussi comme l'ayant trouvé, puisqu'il n'existe aucune trace d'élaboration géométrique abstraite avant lui. Nous désignerons donc cette proposition, à l'exemple d'Auguste Comte, sous le nom de théorème de Thaïes.

A trois points de vue différents, cette découverte constitue un progrès immense :

l*^ L'esprit humain possède désormais la notion d'une véritable équation, c'est-à-dire d'une relation d'égalité entre des quantités, variables d'un triangle à l'autre ; de plus, déduisant d'un précédent théorème cet autre, que l'angle inscrit dans une demi-circonférence est droit, il

s'apprend à raisonner par une succession d'égalités, ce qui est le procédé par excellence de l'algèbre.

2^ La géométrie et, par suite, la science abstraite est fondée, puisqu'on détermine une relation ^^'^"écise et constante entre les diverses parties d'une figure, de manière à pouvoir les déduire rigoureusement les unes des autres.

3'^ Au point de vue philosophique enfin, comme nous l'avons déjà fait remarquer, le premier type d'une loi naturelle, c'est-à-dire l'expression d'une dépendance déterminée entre des quantités diverses, ou, sous une autre forme, le dégagement de la constance au milieu delà variété, a définitivement surgi.

En effet, si A, B, C sont les 3 angles d'un triangle, on peut écrire A:=2 droits — (B + C). A est une fonction ])récise de B et de C. Nous avons donc un premier exemple de loi, conçue comme l'expression de la dépendance précise d'un phénomène par rapport à d'autres phénomènes. Si, au contraire, nous écrivons le théorème sous la forme : A -f- B -j- G = 2 droits ; nous avons la loi sous sa deuxième forme, à savoir : la constance dans la variété. Au milieu de l'infinie diversité de tous les triangles possibles, nous saisissons ce fait constant, que la somme des angles reste toujours égale à une même quantité. Que de lois n'a-t-il pas fallu découvrir avant que le positivisme pût dégager systématiquement cette notion ahstraite de

loi ^ !

Mais là ne se sont point bornés les services rendus par

1. Il était réservé au Positivisme de constituer à jamais la notion précise de loi naturelle. Lien qu'avant lui, chose de tous points né-

Thaïes. En découvrant la proportionnalité des côtés homologues dans les triangles équiangles, il a jeté les bases

eessaire, le nombre des lois naturelles découvertes ait suivi une progi-ession toujours croissante depuis Thaïes jusqu'à Bichat.

Montesquieu est le premier, et en réalité le seul avant Auguste Comte, qui ait tenté une définition de la loi. Quelles que soient Timportance et la profondeur de la notion qu'il nous a laissée, nous allons montrer combien elle est éloignée encore de la conception di'finitive et scientifique, que nous venons d'établir.

A la première page de Vesprit des lois, Montesquieu définit les lois de la manière suivante :

« Les lois, dans la signification la ]dus étendue, sont les rapports nécessaires qui dérivent de la nature des choses; et, dans ce sens, tous les êtres ont leurs lois : la divinité a ses lois, le monde matériel a ses lois, les intelligences supérieures à l'homme ont leurs lois, les bêtes ont leurs lois, l'homme a ses lois. »

On peut juger par cette fléfinition combien Montesquieu était encore plein de l'esprit métaphysique. En premier lieu, il considère les lois comme des rapports nécessaires, et non, suivant la vue strictement scientifique , comme des rapports constants ; en second lieu, il les déduit de la nature des choses, conception empruntée au platonisme; enfin il ne voit pas l'incompatibilité absolue du régime théologique avec l'idée de la loi, ou, en termes plus précis, l'incompatibilité du régime des lois avec celui des volontés.

Il est vrai que sous l'impulsion de l'esprit scientifique, auquel il avait été de bonne heure initié, Montesquieu trouve jjlus bas cette définition :

« Ces règles sont un rapport constamment établi. Entre un corps mû et un autre corps mû, c'est suivant les rajjports de la masse et de la vitesse que tous les mouvements sont reçus, augmentés, diminués» perdus : chaque diversité est uniformité, chaque changement est constance. »

Ici la définition est excellente, quoique trop spéciale et partielle. Pourquoi faut- il qu'elle soit contradictoire avec la première? Pourquoi faut-il que dans le même chapitre et sur le même sujet, nous rencontrions des vues qui ne concordent pas l Gela prouve que, malgré toute la profondeur de son génie, Montesquieu n'était pas arrivé sur ce point à un état pleinement positif. Gela nous montre en outre combien est grande la différence qui existe entre une proposition entrevue et une proposition démontrée, et aussi combien sont superficielles et perfides les attaques de littérateurs incompétents contre l'indéniable originalité d'Auguste Comte.

294 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

de la théorie capitale de la similitude, et introduit la notion fondamentale de proportion. D'autre part, faisant servir son théorème à la détermination de la hauteur des pyramides par leurs ombres, il a donné le premier exemple d'une application de la science abstraite ou d'une relation entre l'abstrait et le concret. Enfin, au point de vue négatif, il a par son théorème, oifert, pour la première fois, à Tesprit, l'idée d'un ordre nécessaire indépendant de toute volonté.

Quelque admirable qu'ait été l'œuvre de Thaïes, ce n'est pas cependant chez ses adeptes que nous devons chercher le développement du mouvement mathématique. Essentiellement voués à la recherche d'une synthèse objective^ les philosophes de cette école ont peu travaillé, si ce n'est en astronomie, à perfectionner les vues scientifiques de leur maître.

C'est à Pythagore (de 600 à 520) et à ses disciples, que sont dus les véritables progrès de la science. Il n'est pas douteux que le groupement de ces natures éminentes en un ordre à la fois social, politique, philosophique et scientifique, eut une influence capitale dans cet admirable essor. Ces fortes intelligences, maintenues dans l'intimité salutaire que l'école d'Alexandrie devait, elle aussi, quoique à un degré moindre, présenter plus tard, se prêtèrent un mutuel appui et avancèrent ensemble dans cette voie où les premiers pas sont les plus difficiles et les plus lents. Considérant la science comme la base nécessaire de toute philosophie et de toute puissance sociale, ils mirent à la perfectionner la plus admirable ardeur.

Pythagore découvre la relation fameuse entre les carrés

construits sur les trois côtés d'un triangle rectangle. Ce théorème, en complétant les deux propositions de Thaïes, permettait d'instituer la véritable géométrie abstraite, et fournissait un second exemple, non moins décisif que l'autre, d'une relation constante.

On doit encore à ce grand homme et à son école la découverte des quantités incommensurables, l'ébauche de la théorie des proportions, à laquelle conduisait naturellement celle »de la similitude et l'étude des intervalles musicaux;, enfin, la découverte que le cercle est la surface maximum dans les courbes planes isopérimètres, et la sphère le plus grand volume que puissent envelopper des burfaces égales. .

Hippocrate de Ghio (450 ans av. J.-Gh.) qui, après s'être ruiné dans le commerce, se livre aux études mathématiques, trouve la quadrature des lunules qui portent son nom, et aborde le problème qui consiste à construire le côté d'un cube, double en volume d'un cube donné. Il ne parvient pas à le résoudre, mais le ramène à insérer deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné et le double de ce côté^, la première moyenne proportionnelle étant le côté d'un cube double.

Le problème, poursuivi par d'autres, pousse à l'étude et à l'emploi des sections coniques et Aristée (389 av. J.-Gh.) compose sur ce sujet cinq livres, perdus aujourd'hui, mais dont les anciens faisaient le plus grand cas.

EnfiU;, Archytas de Tarente (iv^ siècle av. J.-Gh.) introduit, jusqu'à un certain point, en géométrie, la considération des courbes à double courbure, comme le prouve la solution suivante du problème de la duplication du cube :

296 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

« Que sur le diamètre de la base d'un cylindre droit circulaire on conçoive un demi cercle, dont le plan soit perpendiculaire à celui de la base du cylindre ; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte dans ce mouvement circulaire le demi-cercle toujours situé dans un plan perpendiculaire à celui de la base du cylindre; ce demi-cercle rencontrera dans chacune de ses positions la surface cjdindrique en un point ; la suite de tous ces points fournit la courbe à double courbure en question. Pour résoudre le problème de deux moyennes proportionnelles, Arcbytas coupait cette courbe par un cône de révolution autour de l'arête du cylindre, menée par l'extrémité tîxe du diamètre du demi-cercle mobile : le point d'intersection donnait la solution cherchée. * (Ghasles.)

Tandis que l'évolution mathématique ne cessait d'accumuler ainsi de nouveaux résultats, dont l'assimilation seule, sans parler du perfectionnement, exigeait de la part de ceux qui s'y adonnaient, les plus pénibles efforts, le mouvement philosophique, poussé dans une direction contraire, devenait de plus en plus la proie des littérateurs et des sophistes. Le spectacle écœurant des divagations philosophiques, comparé à l'accroissement puissant et continu de la science, allait tourner vers cette dernière tous les bons esprits.

C'est alors que surgit Eudoxe de Gnide, qui par sa position intermédiaire est comme le point de partage entre la philosophie et la science.

Né l'an 409 avant Jésus-Christ, Eudoxe de Guide *