Voir le mémoii'e spécial de Letronne sur Eudoxe de Guide

voyagea en Egypte, où il puisa probablement la connaissance des planètes et de la durée de leurs périodes, seules notions scientifiques que l'on pût alors emprunter à ce pays. A son retour, il fonda dans son pays même, à Cnide, un observatoire et une école. On assure qu'il donna des lois à sa patrie. Géomètre et géographe , il fut encore médecin, philosophe, littérateur. Son ardeur à connaître et son dévouement à la science sont peints dans ce mot rapporté par Plutarque : « Que ne puis-je, disait-il, m'approcher assez du soleil pour en connaître la nature, la grandeur et la forme, quand je devrais en être consumé comme Phaêton. »

Parmi les fondateurs de la science astronomique, il est peut-être le précurseur le plus décisif d'Hipparque ; on peut même supposer qu'il est le créateur de la véritable astronomie abstraite, celle qui consiste à étudier les lois géométriques du mouvement des corps, et ne se borne pas à l'observation élémentaire des levers, des couchers et de quelques périodes. C'est à lui fort probablement qu'est due la notion précise de cercles décrits par les corps célestes, et, par suite, la conception de l'écliptique (dont le nom n'est venu que beaucoup plus tard), celle de l'équateur et de la valeur approximative de leur inclinaison.

Comme géomètre, et c'est surtout le géomètre que nous devons ici apprécier, il ne paraît pas douteux qu'il ait achevé de constituer la théorie des proportions, préparée par l'école pythagoricienne, et qu'on lui soit redevable de tout ce que contient le cinquième livre des Eléments d'Euclide. On sait également qu'il s'occupa de résoudre le problème de la double moyenne proportionnelle, sans em-

298 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

ployer les coniques, bien qu'on ignore les courbes qu'il dût employer, et que sa découverte capitale fût la cubature de la pyramide triangulaire et la détermination du rapport du volume du cône à celui du cylindre de même base et de même hauteur. C'est Archimède qui^ dans sa lettre à Dositliée {De la sphère et du cylindre), nous fait connaître ce fait important. Après avoir rappelé l'énoncé des propriétés qu'il vient de découvrir et dont il envoie à Dosithée la démonstration, il ajoute :

« Quoique ces propriétés existassent essentiellement dans les figures dont nous venons de parler, elles n'avaient point été remarquées par ceux qui ont cultivé la géométrie avant nous ; cependant il sera facile de faire connaître la vérité de nos théorèmes à ceux qui liront attentivement les démonstrations que nous avons données. Il en a été de même de plusieurs choses qu'Eudoxe a considérées dans les solides, et qui ont été admises, comme les théorèmes suivants :

« Une pyramide est le tiers du prisme qui a ia même « base et la même hauteur que la pyramide. »

« Un cône est le tiers du cylindre qui a la même base « et la même hauteur que le cône. »

« Ces propriétés existaient essentiellement dans ces figures, et quoique, avant Eudoxe, il eût paru plusieurs géomètres qui n'étaient point à mépriser, cependant ces propriétés leur étaient inconnues et ne furent découvertes par aucun d'eux. »

Un passage de la République de Platon montre combien, au moment où parut Eudoxe, était profondément sentie par les esprits supérieurs la nécessité de créer la

théorie géométrique des volumes. C'est celui où l'auteur expose l'utilité et la succession de nos connaissances. Au premier rang, il met l'arithmétique et au second la géométrie, qui est pour lui la science des surfaces; il va passer à l'astronomie. Mais là il s'arrête.

« Revenons, dit-il, sur nos pas, car nous n'avons pas pris la science qui suit immédiatement la géométrie. — Comment avons-nous donc fait? — Des surfaces nous avons passé aux solides en mouvement, avant de nous occuper des solides en eux-mêmes. L'ordre exigeait qu'après ce qui est composé de deux dimensions, nous prissions les solides qui en ont trois, c'est-à-dire le cube et tout ce qui a de la profondeur. — Cela est vrai. Mais, il me semble, Socrate, qu'on n'a encore fait en ce genre aucune découverte? — Cela vient de deux causes : la première est qu'aucun état ne fait assez de cas de ces découvertes, et qu'on y travaille faiblement parce qu'elles sont pénibles; la seconde est que ceux qui s'y appliquent auraient besoin d'un guide, sans lequel leurs recherches seront inutiles. Or, il est difficile d'en trouver un bon; et quand on en trouverait un, dans l'état présent des choses, ceux qui s'occupent de ces recherches ont trop de présomption pour vouloir lui obéir. Mais si un état présidait à ces travaux, et qu'il en fît quelque, estime, les individus se prêteraient à ses vues, et, grâce à des efforts concertés et soutenus, on ne tarderait pas à découvrir la vérité, puisque, aujourd'hui même, malgré le mépris qu'on fait de cette science, et quoique le petit nombre de ceux qui s'y livrent n'en comprennent pas toute l'utilité, néanmoins, la seule force du charme qu'elle

300 GRANDS TYPES DE l'hUMAKITÉ.

exerce triomphe de tous les obstacles, et chaque jour elle fait de nouveaux progrès. II n'est donc point étonnant qu'elle soit arrivée au point où nous la voyons. — Je conviens qu'il n'est point d'étude plus attrayante que celle-là. Mais explique-moi, je te prie, ce que tu disais tout à l'heure. Tu mettais d'abord la géométrie ou la science des surfaces? — Oui. — Et l'astronomie immédiatement après. Ensuite, tu es revenu sur tes pas. — C'est qu'en voulant trop me hâter, je recule au lieu d'avancer. Je devais, après la géométrie, parler de la formation des solides; mais, voyant qu'on n'a encore rien découvert sur cette matière, je l'ai laissée de côté pour passer à l'astronomie, c'est-à-dire aux solides en mouvement. — Fort bien. — Mettons donc l'astronomie à la quatrième place, en supposant la science des solides découverte du moment qu'un état s'en occupera. »

(Platon. De la République, livre VII.)

Ce curieux passage, dans lequel le philosophe a si remarquablement pressenti les premiers éléments de la hiérarchie scientifique, fait voir avec netteté combien il semblait dès lors urgent aux intelligences cultivées d'étendre jusqu'aux volumes l'étude de la géométrie réduite encore aux surfaces. Ainsi se caractérisent les progrès successifs de l'esprit humain; l'annonce de la découverte précède d'un certain temps la découverte elle-même, et le problème, par cela seul qu'il est posé, a fait un pas vers sa solution.

En ce qui concerne la géométrie des solides, comme

au reste toute autre partie de la science, l'état devait-il avoir le rôle prépondérant que lui accordait Platon ? Non, évidemment. Tout en proclamant l'utilité manifeste d'écoles scientifiques^ systématiquement protégées, comme l'ont été celles d'Alexandrie et de Bagdad*, nous ne saurions leur reconnaître qu'une part complémentaire dans les résultats qu'elles ont produits. Gela est si vrai qu'Eudoxe de Gnide, dépourvu de toute protection et sans autre secours que son génie, trouva cette cubature de la pyramide, qui a comme engendré toutes les cubatures polyédriques et fourni à Archimède son point de départ pour arriver à celle de la sphère.

A côté d'Eudoxe, les géomètres de l'école de Platon poursuivirent les études entreprises par les pythagoriciens sur la théorie des sections coniques dont toutes les propriétés principales, y compris celles des asymptotes, étaient connues avant Archimède^ comme le signale Archimède lui-même, qui a l'habitude si rare chez les géomètres, notre Lagrange excepté, d'indiquer ce qui appartient à ceux qui l'ont précédé.

On serait même redevable à Platon, en particulier, s'il faut en croire la chronique, de ce perfectionnement logique capital qu'on a désigné dans la science, d'une manière un peu prétentieuse, sous le nom d'analyse mathématique. Mais comme on prétend, d'autre part, qu'Archytas de Tarente se serait le premier servi de ce procédé après en avoir reçu la connaissance de Platon, on est fondé à penser que ce dernier ne fut pour rien dans sa découverte. En

1. Peut-être Tidce de Platon a-t-elle été le germe de la fundatiou des Ptolêniées.

effet, outre que Platon, qui a tant écrit, n'expose nulle part cette méthode, ce que nous savons de ses relations avec les pythagoriciens nous porte à croire qu'ils ont infiniment moins reçu de lui qu'il ne leur a lui-même emprunté. On peut donc justement attribuer à cette grande école, et principalement à Archy tas, la découverte de l'analyse géométrique.

Cette méthode consiste à supposer le problème résolu et à déduire de cette supposition, par une suite de conséquences et de transformations rigoureuses, la construction effective du problème proposé. D'une manière plus générale, V analyse consiste à regarder la quantité cherchée comme connue et à l'introduire comme telle dans les raisonnements, afin d'arriver, par une suite de transformations convenables, à sa détermination. 11 y a là certainement^ au point de vue logique, un grand pas d'accompli. Lorsque plus tard un algorithme spécial est venu, sous l'influence de Viète et de Descartes, fixer et les éléments de chaque raisonnement et les transformations successives qu'il comporte, il n'est pas douteux que cette assimilation des inconnues aux connues ait étéla condition nécessaire de la détermination des inconnues.

D'Eudoxe à Archimède, le mouvement mathématique, se suffisant désormais à lui-même, se poursuit en dehors de toute spéculation philosophique. Parmi les géomètres qui se firent un nom dans cet intervalle, le plus remarquable est sans contredit Euclide, quiflorissait en l'année 287 avant J.-C, celle-là même où Archimède venait au monde.

Euclide, en dehors de ses propres découvertes, a etfec-

tué un travail dont l'influence a été grande^ sur le développement ultérieur des études mathématiques. Il a, dans ses Eléments, coordonne l'ensemble des connaissances précédemment acquises en géométrie élémentaire, sur les polygones et les polyèdres et les principales propriétés du cercle. Il a également composé , sur les Sections coniques, quatre livres que nous n'avons plus et dans lesquels, à côté des travaux de ses prédécesseurs, rassemblés et mis en ordre, il rangeait ses travaux propres.

En coordonnant et complétant la théorie de la géométrie élémentaire et celle des coniques, Euclide posa la base inébranlable de toute l'évolution future delà mathématique, car ce premier recueil systématique des notions essentielles de la géométrie devint la base de l'éducation géométrique et le point de départ incontesté de toutes les découvertes ultérieures. Bien que nous ayons malheureusement perdu la théorie des coniques, nous pouvons juger d'après les propositions admises par Archimède, et auxquelles il se réfère, que les principales propriétés élémentaires, si l'on en exceptetoutefois ce qui regarde les quadratures, avaient été trouvées par Euclide et ses prédécesseurs. Quant à sa géométrie élémentaire, elle nous a été heureusement conservée, et nous ne croyons pas inutile d'en donner ici une courte appréciation.

Avant Euclide, suivant ce que nous apprend Proclus, plusieurs géomètres avaient tenté de coordonner les découvertes effectuées avant eux. Mais Euclide eut le mérite d'atteindre le but plus complètement qu'aucun autre et d'apporter dans ses démonstrations une rigueur jusqu'alors inconnue.

304 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

Il faut remarquer en effet qu'Euclide, imité en cela par ses successeurs, s'est astreint à démontrer nombre de propositions que les observations les plus vulgaires avaient depuis longtemps fait connaître, celle-ci, par exemple, qui ne fait cependant doute pour personne, que les angles opposés par le sommet et formés par deux droites qui se coupent, sont égaux. Lorsque Euclide (livre P""^ proposition 16) démontre ce théorème, il fixe par la déduction une vérité qui, depuis longtemps, était inductivement établie. Son oeuvre est donc une œuvre de coordination dans laquelle, par des déductions convenables, il ramène de nombreuses propositions isolément connues, sous la dépendance d'un très-petit nombre d'entre elles; et cellesci, qu'il admet sous le nom de demandes, sont, comme l'a établi Auguste Comte, et comme on l'a tant répété depuis lui, de véritables propositions inductives.

A cet égard, l'étude des commencements de la géométrie est utile, au point de vue logique, pour montrer, par un exemple décisif et simple à la fois^, comment on arrive à la coordination par la déduction. La première proposition, dont la découverte ne put émaner de l'observation seule et nécessita l'existence d'un organe spécial de l'Humanité, c'est-à-dire d'une intelligence supérieure, fut le théorème fameux de Thaïes : la somme des trois angles d'un triangle égale deux droits. Ici le bon sens universel était impuissant.

On juge, par cet exemple caractéristique, de ce qui appartient à l'observation universelle et de ce qui ne peut provenir que de génies spéciaux. On y voit aussi nettement en quoi ditfèrent la raison pratique et la raison

théorique, la première se contentant de principes particuliers, isolés, directement établis ; la seconde, au contraire, mettant tout son etïort à les coordonner, c'est-à-dire à les déduire du plus petit nombre possible de principes.

Le travail d'Euclide ne contient pas seulement la géométrie proprement dite ; il renferme encore ce que les anciens connaissaient de l'algèbre et de l'arithmétique, dont les propositions se rapportaient, cela va sans dire, non à l'exécution des calculs, mais aux propriétés des nombres. C'est le sujet des livres V, Vil, VIII, IX et X.

Le livre V contient la théorie des proportions, qui est la véritable algèbre des anciens, c'est-à-dire la méthode abstraite de déduction considérée en elle-même, indépendamment de toute application à un sujet et à un théorème quelconque. Nous reviendrons tout à l'heure sur cette question.

Les livres VII, VIII, IX, contiennent la théorie des nombres premiers, du plus grand commun diviseur, plusieurs propriétés des nombres, eniîn divers théorèmes sur les proportions qui servent de complément à la théorie exposée dans le livre V. Le livre X contient la théorie des incommensurables, fondée par Pythagore et développée dans son école.

Une chose qui frappe, lorsqu'on étudie Euclide et, en général, les géomètres anciens, c'est la forme géométrique qu'ils donnent à leurs propositions, au lieu de la forme arithmétique qu'emploient les modernes. Ainsi, ils n'expriment pas les surfaces et les volumes en fonction des éléments rectilignes qui les déterminent, ils ne disent pas qu'une pyramide ou un cône a pour mesure le produit de