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la base par le tiers de la hauteur ; mais ils disent que la pyramide est le tiers du prisme, de même base et de même hauteur, et le cône le tiers du cylindre, de même base et de même hauteur.

Aussi peut-on prétendre qu'en un certain sens la géométrie d'Eaclide ne contient ni la mesure des surfaces ni celle des volumes ; en d'autres termes que ces quantités ne sont pas exprimées au moyen des relations numériques qui existent entre leurs dimensions, mais seulement par la comparaison qu'en fait l'auteur avec des figures équivalentes de forme plus simple. C'est ce qui explique que cette géométrie ne contient pas la théorie de la mesure des angles, bien qu'Euclide connût le théorème que les angles au centre d'une même circonférence sont entre eux comme les arcs qu'ils interceptent, et qu'il faut aller jusqu'à Hipparque pour que, sous l'impulsion des besoins astronomiques, cette mesure soit trouvée.

C'est toujours en obéissant à cette même tendance, qui faisait dominer chez les géomètres grecs la logique des images, qu'Euclide démontre au moyen de figures géométriques, des théorèmes que nous sommes habitués à considérer surtout comme des relations numériques. C'est ainsi que, dans son deuxième livre, il donne, sous forme géométrique, une véritable théorie des transformations algébriques dans une série de théorèmes exclusivement relatifs, il est vrai, à des carrés et à des produits.

Prenons comme exemple le théorème I : Si l'on a deux droites, et si l'une d'elles est partagée en un certain nombre de parties, le rectangle compris sous ces deux droites est égal au rectangle compris sous la droite qui

n'a point été partagée, et sous chacun des segments de l'autre. Ce théorème qu'Euclide démontre par une figure géométrique revient aux relations algébriques suivantes : A et B étant les deux droites : A = G + D + E, et AB = BG + BD+BE.

De même le théorème II : Si une droite est partagée d'une manière quelconque en deux parties, le rectangle, compris sous la droite totale et sous l'un et l'autre segment, est égal au carré de la droite entière. A étant la droite donnée, cela revient au théorème algébrique : A = B4-C, d'où AB + AG = A-.

De même le théorème V : Si une droite est coupée en deux parties égales et en deux parties inégales, le rectangle compris sous les deux segments inégaux de la droite entière avec le carré de la droite qui est placée entre les points de section, est égal au carré de la moitié de cette droite. Euclide démontre géométriquement cette proposition. Or, si j'appelle A la droite, j'obtiens successivement : A = ^ + irct A = B + G, et le théorème géométrique est ramené à la relation algébrique BG + (~ — G)" = "- Ces exemples suffisent à caractériser cet aspect de la géométrie ancienne.

Enfin, c'est dans Euclide que nous rencontrons pour la première fois la démonstration par l'absurde, soit qu'il ait simplement rédigé ce qui avait été établi avant lui, soit, opinion plus probable, qu'il ait été porté à constituer d'une façon systématique ce mode de raisonnement par le désir que lui attribue Proclus de donner à ses démonstrations plus de rigueur qu'on ne l'avait fait avant lui. Quoi qu'il en soit , il est important de présenter à ce

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sujet quelques réflexions, aûa de mieux montrer, au milieu des accidents de sa lente évolution, la marche logique et scientifique de l'esprit humain.

On n'a pas jusqu'ici suffisamment distingué qu'il y avait deux parties dans l'établissement de la vérité : d'une part Vinvention ou la découverte; de l'autre, la démonstration. Les logiciens trop exclusivement occupés de la seconde, ont presque entièrement négligé la première, dont la théorie d'ailleurs n'est devenue possible que de nos jours. Nous pourrions ajouter que, dans Vinvention elle-même, il faut distinguer entre le cJioix de la question, sur lequel influera particulièrement la méthode subjective, et la découverte proprement dite. Celle-ci, pour naître, met enjeu toutes les parties du cerveau; elle provoque dans l'appareil entier une excitation merveilleuse, elle suscite mille rapprochements, sans intensité et sans précision pour la plupart, mais du milieu desquels jaillit tout à coup celui qui contient la proposition cherchée.

Appliquons à la géométrie ces considérations générales.

Un problème capital de l'étude de la forme consiste à passer du cas polygonal ou polyédrique au cas des lignes ou des surfaces courbes.

Bien que les lois mentales, d'après lesquelles ce passage s'est effectué , n'aient pu être découvertes et formulées avant que Leibnitz, par la création de l'analyse infinitésimale, eût fourni l'intermédiaire indispensable, il n'est pas douteux que ces lois existaient avant leur formulation et que les grands esprits qui ont opéré un tel passage y ont obéi sans les connaître.

Le premier qui, dans l'histoire de l'Humanité, a passé du cas polygonal au cas courbe, paraît être Pythagore, qui a découvert la propriété du cercle d'être la surface maximum parmi les figures planes isopériraètres. Le second est EudoxG, qui, de la cubature de la pyramide, s'éleva à celle du cône. Le ti^oisième enfin est très-probablement Euclide, qui a trouvé que les surfaces de deux cercles sont entre elles comme les carrés des rayons, après avoir démontré d'abord que les polygones semblables, inscrits dans des cercles, sont entre eux comme les carrés des diamètres. Cependant aucun de ces savants illustres ne peut, dans la question qui nous occupe, être comparé à Archimède, auquel revient, comme nous le verrons, l'honneur immortel d'avoir systématisé cette opération difficile et d'en avoir fait les plus nombreuses et les plus importantes applications.

Quoi qu'il en soit, le passage de l'un de ces cas à l'autre s'étant effectué d'après des lois mentales que nous formulerons plus tard, et diverses propositions ayant été inventées, il s'agissait d'en apporter la démonstration. C'est précisément cette preuve que la méthode de démonstration ])ar V absurde, régulièrement constituée par Euclide, a rendue possible.

L'esprit général de la méthode consiste à montrer que l'on ne peut à la relation donnée en substituer aucune autre de grandeur différente, la nature de la relation restant la même. Ainsi, pour démontrer que les deux cercles C et G' sont entre eux comme les carrés R" et R'"^ des rayons correspondants, on fait voir que^, = ^ est

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impossible, soit que l'on ait A > G' ou A < G' ; d'où l'on tire rigoureusement : ^ = -,.

Nous proposant de revenir dans quelques instants sur la nature exacte de la démonstration par l'absurde, nous mettrons à profit l'occasion présente pour exposer quelques considérations sur la déduction, dont la démonstration par l'absurde n'est qu'une des formes.

Au fond, tout raisonnement déductif, comme l'avait senti le grand Leibnitz, repose sur le pnnc?}^^ de contradiction, et, par suite, la forme de la démonstration par l'absurde pourrait être donnée à toute déduction. Si la déduction consiste, en effet, à montrer qu'une certaine proposition est contenue dans d'autres propositions déjà établies, cela ne revient-il pas à dire qu'il serait contradictoire avec ces propositions de supposer le contraire de la proposition énoncée? D'une façon très-générale la déduction a donc pour but de saisir la convenance et la compatihilité de plusieurs choses avec d'autres choses déterminées, ou encore d'une manière négative, d'éliminer certaines propositions comme incompatibles avec d'autres propositions déjà admises. G'est sous cette forme plus large, mais, à la vérité, moins précise que la forme usitée en mathématique, que la déduction trouve son emploi dans les constructions, suivant l'expression adoptée par Auguste Gomte dans sa synthèse subjective. Lui-même en a donné un exemple mémorable en construisant d'après le passé, suivant la convenance ou Vincomjxitibilité des éléments considérés, l'économie générale de l'avenir humain.

Ou conçoit sans peine que les anciens n'aient pu se faire

de la déduction une idée aussi générale, et que toutes leurs considérations à son sujet se soient bornées à son usage dans les sciences mathématiques. Nous les suivrons dans cette voie et nous insisterons plus spécialement sur cette forme particulière, où la déduction gagne en précision ce qu'elle perd en étendue.

La déduction, à ce point de vue plus étroit, consiste à montrer qu'une proposition est contenue dans une ou plusieurs autres déjà connues; et les procédés intellectuels, par lesquels on fait éclater cette dépendance, sont les procédés déductifs. Ainsi , par exemple , lorsqu'on montre que la proposition « le plus court chemin d'un point à une droite est la perpendicidaire abaissée du point sur la droite » est contenue dans cette autre : « le plus court chemin entre deux points est la ligne droite, >> et que la jDremière proposition pouvait, sans observation, par un travail purement cérébral, être tirée de la seconde, on fait une déduction. Le procédé spécial inventé par l'intelligence pour opérer ce dégagement est le procédé déductif. Or dans l'infinie variété de ces procédés déductifs, dont la géométrie nous offre de si nombreux exemples et qui honorent singulièrement la sagacité du génie humain, on voit que certains sont employés plus fréquemment que les . autres et suffisent dans la pratique à Timmense majorité des cas qui se présentent.

Les géomètres anciens n'ont pas été sans faire cette remarque, et ils se sont évidemment demandé s'il n'était pas possible de constituer à part une théorie abstraite de ces procédés les plus ordinaires de déduction, théorie qui, conçue en dehors de tout cas particulier, put fournir une

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règle facilement applicable aux cas nouveaux. C'est ce qui eut lieu en effet. Deux procédés de déduction ont été surtout mis en usage par ces géomètres : ce sont l'équation et la proportion. Théoriquement, la notion de proportion entre dans celle d'équation; mais, historiquement, il faut soigneusement distinguer entre les deux cas, attendu que la théorie des proportions a été pleinement constituée par les anciens, tandis que la théorie des équations, en tant du moins que méthode, déduction distincte, n'a été que grossièrement ébauchée par eux.

La théorie des proportions a été élaborée, comme théorie distincte, par Pythagore et son école, et Euclide nous en a donné, dans le livre V de ses Eléments, une exposition systématique dont il est bon de dire quelques mots. L'idée de rapport émane directement pour lui de l'idée de mesure :

« Une grandeur est partie d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand elle mesure la plus grande. » « Une grandeur plus grande est multiple d'une grandeur plus petite, quand elle est mesurée par la plus petite. » « On entend par raison une certaine manière d'être de deux grandeurs homogènes, considérées comme se contenant l'une l'autre. »

Remarquons, en passant, que, d'après les définitions, la notion de rapport, directement surgie de l'idée de mesure, est une notion directe et primitive, et conséquemment que la notion de divisioyi, abstraitement conçue, peut, à un certain point de vue, être considérée comme jouissant d'une origine propre et indépendante de l'idée de multiplication.

La notion de proportion résulte de celle de rapport. Euclide la définit ainsi :

« La proportion est une identité de raison. »

Il considère également le cas de l'inégalité des rapports :

« On dit que des grandeurs ont une raison entre elles, lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement. >

« On dit que des grandeurs sont en même raison, la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, étant comparés à d'autres équimultiples quelconques de la seconde et delà quatrième^ chacun à chacun, les équimultiples de la première et de la troisième sont en même temps plus grands que les équimultiples de la seconde et de la quatrième, ou leur sont égaux ou plus petits. »

« Lorsque parmi les équimultiples, le multiple de la première surpasse le multiple de la seconde et que le multiple de la troisième ne surpasse pas le multiple de la quatrième, on dit alors que la raison de la première à la seconde est plus grande que la raison de la troisième à la quatrième. »

Euclide consacre les vingt-cinq propositions du livre V à l'exposition des théorèmes principaux, concernant les proportions, et la manière de les combiner; ce qui, dans l'ensemble, compose toute une théorie abstraite du procédé de déduction par proportion.

De la façon dont Euclide conçoit le rapport et la proportion, son procédé de démonstration est constamment fondé sur la considération des équimultiples. Les énoncés

mêmes l'indiquent^ comme on peut s'en assurer par ceux des propositions suivantes :

Proposition 1. — « Soient autant de grandeurs que l'on voudra, égales en nombre à d'autres grandeurs, chacune des premières étant le même équimultiple de chacune des secondes, une des premières grandeurs sera le même multiple d'une des secondes que la somme des premières l'est de la somme des secondes. »

Proposition 2. — « Si la première grandeur est le même multiple de la seconde que la troisième l'est de la quatrième, et si la cinquième est le même multiple de la seconde que la sixième l'est de la quatrième, la somme de la première et de la cinquième sera le même multiple de la seconde que la somme de la troisième et de la sixième l'est de la quatrième. »

Proposition. 4. — « Si la raison de la première à la seconde est la même que la raison de la troisième à la quatrième, des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, comparés à d'autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième, seront en même raison. »

Proposition 5. — « Si une grandeur est le même multiple d'une autre grandeur qu'une grandeur retranchée de la première l'est d'une autre grandeur retranchée de la seconde, la grandeur restante de la première sera le même multiple de la grandeur restante de la seconde que la première grandeur entière l'est de la seconde grandeur entière. »

Proposition 12. — « Si tant de grandeurs qu'on voudra sont proportionnelles, un des antécédents sera à un

des conséquents comme la somme de tous les antécédents est à la somme de tous les conséquents. »

Proposition 15. — « Les parties comparées entre elles ont la même raison que leurs équimultiples. »

Proposition 25. — « Si quatre grandeurs sont proportionnelles, la plus grande et la plus petite prises ensemble sont plus grandes que les deux autres prises ensemble. *

Bien que les anciens aient surtout déduit au moyen de la théorie des proporlions, ils ont cependant employé un second procédé général de déduction, procédé dans lequel on opère par une série plus ou moins prolongée d'égalités ou d'inégalités; nous parlons de V équation. Sans avoir pu donner du raisonnement déductif par équation, une théorie abstraite aussi distincte et aussi parfaite qu'ils l'ont fait pour les proportions, il faut néanmoins reconnaître, à moins de tomber dans une regrettable exagération, qu'ils sont parvenus à formuler certains principes généraux capables de servir de base aux transformations ou combinaisons d'égalités.

C'est ainsi qu'Euclide, en tête de ses Éléments, énonce les principes suivants :

« Les grandeurs qui sont égales à une même grandeur sont égales entre elles. »

« Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux. » ..

« Si à des grandeurs inégales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront inégaux. »

« Si de grandeurs inégales on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux. »

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« Les grandeurs qui sont doubles d'une même grandeur sont égales entre elles. »

Il n'est pas douteux que ce sont là des principes généraux et abstraits propres à l'emploi des égalités, comme moyen de raisonnement.

Viète, du moins, en a jugé ainsi, lorsque en tête de son introduction à la Science analytique, il a reproduit les principes énoncés par Euclide au début de la Géométrie, comme en témoignent ces propositions extraites du chapitre II de son livre : In artem analyticen isâgoge.

« Chapitre II. — De symholis œqv.aUtatum et proportioniiTii.

Symbola eequalitatum et proportionum notiora quie habentur in elementis adsumit analytice ut demonstrata, qualia sunt fere :