Si sequaliaaequalibusauferantur, residuaessesequalia

5. Si aaqualia per œqualia multiplicentur, facta esse sequalia.

6. Si œqualia per ngqualia dividantur, orta esse ;>3qualia. »

Lorsque l'on considère la théorie des proportions ou l'ébauche de celle des équations dans les géomètres anciens, depuis Thaïes jusqu'à Diophante^ et que l'on compare la mathématique d'alors avec celle de Descartes et de ses successeurs, ce qui frappe par dessus tout les yei<x de l'observateur, c'est l'absence à peu près complète d'algorithme.

APPRÉCIATION DE LA SCIENCE ANTIQUE. 3i7

Nous entendons par algorithme un ensemble de signes hiérogl3'phiques qui, par leur combinaison, opérée d'après des règles fixes, représentent la combinaison des idées.

Quant aux signes hiéroglyphiques, chacun sait qu'ils représentent directement les idées au lieu de représenter le son des mots traducteurs de ces idées. Ainsi, par exemple, le signe = porte avec lui l'idée d'égalité entre deux quantités, quel que soit d'ailleurs le mot par lequel, dans les diverses langues, on exprime cette égalité.

Pour qu'un algorithme ou système hiéroglyphique soit vraiment convenable, et capable de faciliter la combinaison des idées, il faut que ces idées soient simples et susceptibles, malgré le petit nombre de leurs éléments d'une infinité de combinaisons : c'est parce que les spéculations sur la grandeur indéterminée satisfont pleinement à ces conditions, que le système hiéroglyphique s'y applique si bien, et semble presque, au premier abord, ne pouvoir en être distrait.

D'où vient cependant que la mathématique grecque a été privée de tout système algorithmique? On ne saurait évidemment, pour expliquer ce phénomène, invoquer le manque de génie chez des hommes tels qu'Archimède et Appollonius, ou prétendre que le besoin de l'algorithme ne se fît pas sentir. Il suffirait, quant à ce dernier point, de se reporter aux démonstrations de la géométrie ancienne, celles d'Archimède, par exemple, pour être convaincu qu'auteurs et lecteurs n'ont jamais pu accepter qu'à corps défendant des expositions d'une aussi désespérante longueur.

Dans ce cas d'histoire scientifique, comme dans tous les

318 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

cas analogues où le phénomène est d'une grande généralité, l'explication ne se trouve pas dans les difficultés propres à la science, mais bien dans une appréciation convenable de la civilisation correspondante.

Toute civilisation qui, obéissant à la marche naturelle des sociétés, est demeurée longtemps soumise au régime tbéocratique, a débuté en écriture par le système hiéroglyphique. L'Egypte en a été un frappant exemple. Lorsque dans la suite le phonétisme y surgit, il demeura longtemps combiné avec le hiéroglyphisme et n'en fut complètement séparé que beaucoup plus tard par le génie des Phéniciens. Sans entrer dans d'autres considérations sur ce fait intéressant, disons que les Phéniciens ayant communiqué directement aux Grecs l'écriture phonétique, ceux-ci furent naturellement préservés de la phase hiéroglyphique. De là résultèrent des habitudes que les géomètres ne songèrent ni à combattre ni à vaincre, mais qui expliquent aisément l'absence d'algorithme dans leurs travaux mathématiques, malgré le spectacle éclatant de cette civilisation égyptienne, dont les rapports avec la Grèce s'étaient tant multipliés depuis Psammétique et les Ptolomées. Tant il est vrai que le contact seul ne saurait suffire pour identifier deux civilisations différentes, s'il ne s'y joint quelque prédisposition spéciale, résultant d'antécédents analogues.

Cependant, à la fin de l'école d'Alexandrie, on remarque dansDiophante ^ l'emploi de quelques signes hiéroglyphiques, emploi bien timide et bien restreint, si l'on

1. L'algorithme de Diopliante se réduit essentiellement à un système de notations pour les puissances. Ainsi le caiTé s'écrit : H. le cube :

soDge que le signe même de l'égalité ne s'y rencontre pas encore et n'apparaîtra d'une manière usuelle qu'avec Descartes, et seulement avec lui, puisque Viète (mort en 1603) etStevin (mort en 1G35) ne le connaissent pas^. On peut, ce nous semble, sans être téméraire, attribuer ce commencement d'algorithme chez Diophante, à l'in-

y.û, la quatrième puissance, qui est le produit de deux carrés : S8u, la cinquième puissance : Sx.û, la sixième puissance, pi'oduitde deux cubes : X./.Û. L'inconnue que Diophante appelle simplement le nombre est désignée par S\ Si réduit que soit ce système algorithmique, il est cependant digne de toute attention, attendu que Ton chercherait vainement chez les géomètres antérieurs, chez Euclide ou chez Archiméde, quelque chose d'équivalent.

2. Nous montrerons plus tard, en parlant de Descartes, comment s'est constitué l'algorithme de la mathématique moderne. Mais pour donner dès aujoui'd'hui à nos auditeurs une idée de l'immense révolution accomplie par le grand géomètre, nous mettrons sous leurs yeux un spécimen de langage algébrique propre à ses deux précurseurs les plus immédiats : Viète et Stevin.

Non-seulement Viète n'a pas le signe de l'égalité, mais il n'a pas même le signe de la multiplication. Il désigne la multiplication de A par B par l'expression A ducere in B, ou plus simplement A in B. U n'a pas plus de signes pour les puissances, comme on en peut juger par l'exemple suivant :

« Theorema. geneseos gubi. — Si fuerint duo latera : Cuhus lateris primi, plus solido a quadrato lateris primi in latus secundum triplum, plus solido a latere primo in lateris secundi quadratum triplum, plus cubo lateris secundi, îequatur cubo adgregati laterum. Sit latus unum A, altei^um B. Dico A cubum + A quadrato in B ter, + A in B quadratum ter, -+- B cubo, Eequari A -h B cubo. Ex opère multiplicationis A quadrati + A in B 2, + B quadrato, per A -+- B. » Ce qui traduit dans le langage algorithmique, définitivement introduit par Descartes, s'écrit ainsi :

(A+B)3 = A3 + 3A-^B -I- 3AB2 + B3, résultant de la multiplication (A2+2AB+B-2) (A+B).

Stevin, dont Lagrange a senti la haute valeur, et qu'Auguste Comte a placé dans le calendrier positiviste, a fait un pas considérable en représentant par un signe la quantité principale, ou la variable, qui intervient avec des constantes dans les questions mathématiques. Il désigne la quantité principale par le signe (^, et les puissances par les nombres correspondants placés à l'intérieur. Cette quantité priu-

320 GR.^NDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

fluence des grammairiens d'Alexandrie, que la nécessité de conformer plus étroitement l'écriture au discours poussait naturellement à l'invention d'un petit nombre de signes accessoires. Déjà même, chez les disciples de Platon, quelques-uns de ces signes étaient en usage, comme le prouve le passage suivant de Diogène de Laërte :

* Gomme on trouve certains signes dans différents passages des œuvres de Platon, il est bon d'en donner une explication : les tours particuliers à Platon sont marqués par un X; le double trait désigne les dogmes et les opinions qui lui sont propres; les manières de parler et les élégances de style sont représentés par un X entre deux points; le double trait entre deux points marque les endroits que quelques auteurs ont corrigés ; le trait entre deux points, les choses inutiles qui doivent être ôtées : le sigma renversé entre deux points, les endroits dont il faut changer l'ordre et ceux qui peuvent recevoir deux -ens; la figure appelée foudre (une flèche dont la pointe est en bas), l'ordre et la liaison des vérités philosophiques ; l'étoile, des idées qui se ressemblent ; et le simple trait, les choses qu'on rejette. »

(Diogène de Laerte, Vie de Platon.)

Quoiqu'il en soit de cette pratique platonicienne, c'est aux grammairiens surtout ^ qu'il faut rapporter l'honneur

cipale n'est en réalité autre chose que la variable, que nous désignons })ar X dans nos polynômes. On trouvera dans la planche placée à la fin de cette leçon un exemple de multiplication algébrique, d'après la méthode algorithmique de Stevin.

1. Outre les signes généraux de ponctuation et d'accentualion, les grammairiens de l'école d'Alexandrie, alors surtout qu'ils travaillaient à fixer le texte d'Homère, avaient inventé tout un système de signes critiques.

or>i

d'avoir systématiquement employé dans leur écriture le langage hiéroglyphique ; et comme ces grammairiens, si nombreux dans l'école d'Alexandrie, y vivaient dans la fréquentation continuelle des géomètres, il est naturel d'expliquer par l'influence des uns sur les autres, l'apparition tardive, il est vrai, mais si importante, de quelques signes algorithmiques dans l'écriture mathématique.

Nous devons cependant faire observer que, longtemps avant l'invention de ces signes, les géomètres grecs, pour faciliter leurs déductions au moyen de la théorie des proportions, s'étaient avisés de représenter les quantités considérées par des lignes droites, en sorte que les relations entre les quantités étaient exprimées d'une manière aussi simple que régulière par les relations entre les lignes droites. C'est ce que nous rencontrons au début de la démonstration de la proposition 12 du livre Y^ d'Euclide :

« Si tant de grandeurs qu'on voudra sont projjortionnelles, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme de tous les antécédents est à la somme de tous les conséquents :

Soient A, B, G, D, E, F, tant de grandeurs proportionnelles qu'on voudra, et que A soit à B comme G est à D,

322 GRAKDS TYPES DE l'hUMANITÈ.

et comme E est à F ; je dis que A est à B comme la somme des grandeurs A, C, E, est à la somme des grandeurs

« Prenons des équimultiples quelconques G, H, K, de A, G. E, et d'autres équimultiples quelconques L, M, N deB, D,F.

« Puisque A est à B comme G est à D, et comme E est à F ; que l'on a pris des équimultiples quelconques G, H, K, de A, G, E, et d'autres équimultiples quelconques L, M, N de B, D, F ; si G surpasse L, la grandeur H surpassera M, et la grandeur K la grandeur N ; et si G est é<yal à h, la grandeur H sera égale à M, et K à N ; et si G est plus petit que L, la grandeur H sera plus petite que N, et K plus petit que N. Donc, si G surpasse L, la somme des grandeurs G, H, K surpassera la somme des. grandeurs L, M, N ; si G est égal à L, la somme des grandeurs G, H, K sera égale à la somme des grandeurs L. M, N, et si G est plus petit que L, la somme des grandeurs G, H, K sera plus petite que la somme des grandeurs L. M, N. Mais la grandeur G et la somme des grandeurs G, H, K sont des équimultiples de la grandeur A et de la somme des grandeurs A, G, E, parce que si tant de grandeurs qu'on voudra sont les mômes multiples d'autres grandeurs égales en nombre, chacune de chacune, une "^randeur sera le môme multiple d'une grandeur, que la somme des premières grandeurs le sera de la somme des secondes (d'après une proposition précédente) . Par la même raison, la grandeur L et la somme des grandeurs L, M, N seront des équimultiples de la grandeur B et de la somme des grandeurs B, D, F ; donc A est à B comme la somme

des grandeurs A, G, E est à la somme des grandeurs B,D,F. »

En résumé, la situation de la mathématique dans le monde grec, au moment où surgit Archimède, était la suivante :

Les principales propositions de la géométrie élémentaire étaient établies; mais la rectification comme la quadrature des lignes courbes ou des surfaces terminées par des courbes n'étaient pas encore étudiées d'une manière régulière et systématique. Le passage du cas polygonal et polyédrique au cas courbe avait sans nul doute été ébauché par Eudoxe et Euclide ; mais cette grande doctrine manquait de bases précises et d"' exemples décisifs.

Les propriétés principales des sections coniques avaient été démontrées, y compris les asymptotes de l'hyperbole. Mais aucune quadrature n'avait encore été découverte, et l'on ne connaissait que le rapport de la surface de l'ellipse à celle du cercle décrit sur le grand axe, de sorte que pour avoir la quadrature de l'ellipse, il fallait d'abord avoir celle du cercle. De leur côté, les Pythagoriciens avaient introduit, par Archytas de Tarente, l'étude des courbes à double courbure.

Enfin^ toutes les bases de la théorie des proportions, sans aucun algorithme d'ailleurs, avaient été jetées, et quelques principes généraux sur le raisonnement par équation étaient établis.

Il nous reste à voir quel a été, en présence de cette situation scientifique, le rôle d' Archimède, et quelle part il a prise dans l'évolution mathématique de l'antiquité.

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