ARCHIMÈDE

Arcllimède naquit à Syracuse l'an 287 avant Jésus- Christ, et y mourut l'an 212, âgé de soixante-quinze ans.

Syracuse, fondée par les Doriens de Gorinthe, en l'année 735 avant Jésus-Christ, vers la partie moyenne de la côte orientale de la Sicile, était dans une situation très-favorable pour communiquer facilement avec la Grèce, l'Egypte, l'Afrique, l'Italie, et surtout avec les colonies grecques de la Grande-Grèce. Or, si l'on se rappelle que parmi ces dernières se trouvait Crotone, où le Pythagorisme s'était développé, on est fondé à croire que Syracuse^ aussi bien à titre de ville voisine que de colonie grecque, fut une des premières à participer au mouvement scientifique, créé par Pythagore et développé par ses disciples. Il est vrai qu'à l'époque où Archimède vint au monde, l'institut de Crotone était depuis longtemps dispersé et détruit, mais ses traditions s étaient conservées vivantes dans celte partie du monde grec, et le futur géomètre ne dut manquer à ses débuts, ni de matériaux pour s'instruire, ni de conseils pour se diriger.

Alexandrie, dont les relations avec Syracuse étaient intimes vers celte époque, comme en témoigne la dédicace que fait Théocrite d'une de ses idylles à Ptolémée, fut, après la grande Grèce, le pays du monde qui l'attira davantage. Il ne cessa, sa vie durant, de correspondre avec les savants Alexandrins, et l'invention de la vis qui porte son nom ferait môme supposer qu'il a fait

un voyage en Egypte, où la vis fat employée à faciliter la distribution de l'eau du ÎXil.

Bien qu'il puisse justement passer, après Archytas, pour le fondateur de l'art mécanique et de son application à la défense des j)laces ; bien qu'il ait dépensé dans les travaux pratiques un génie infatigable et une surprenante habileté, on peut dire qu'aucun homme n'a eu un sentiment plus profond de cette dignité de la science abstraite, qu'il était si nécessaire d'affirmer et de défendre, en un temps où la masse humaine ne savait encore honorer que ce qui pouvait immédiatement la servir. « Archimède, dit Plutarque , avait une telle grandeur d'âme , un si grand fond d'esprit et une telle abondance, ou plutôt une telle richesse d'inventions géométriques, qu'il ne daigna jamais laisser le moindre écrit sur la manière de dresser les machines qu'il venait d'employer si heureusement, et qui lui avaient acquis tant de gloire et un si grand nom, qu'il passait pour un homme doué, non de science humaine, mais de sagesse toute divine; car, regardant cette science qui concerne les mécaniques, et en général, tout art qui naît du besoin comme un art ignoble et un métier vil, il ne s'appliqua uniquement qu'aux sciences dont la beauté et l'excellence ne sont point du tout mêlées avec la nécessité, qui ne peuvent jamais être comparées avec toutes les autres, quelles qu'elles soient, et dans lesquelles la démonstration dispute le prix à la beauté de la matière; l'une fournissant la grandeur et la majesté, et l'autre contribuant à la conviction avec une force invincible. »

(Plutarque. — Vie de j]larcellus.)

3^ GRANDS TYPES DE l'hUMAÎnITÉ.

Archimède fut tué au milieu du désordre qui suivit la prise de Syracuse, malgré les recommandations de Marcelius, que cette mort mit au désespoir.

Pour se conformer à ses volontés^ on grava sur sa tombe la figure du cylindre circonscrit à la sphère, et l'on y ajouta probablement le rapport des volumes et des surfaces. Cicéron, en effet, connaissait cette inscription, lorsque, questeur en Sicile, il rechercha et mit à découvert la pierre, oubliée des Syracusaias, sous laquelle reposait leur plus grand homme. C'est ce qu'il raconte lui-même dans le passage suivant :

« Étant questeur en Sicile, je mis tous mes soins à découvrir le tombeau d' Archimède. Les Syracusains afiirmaient qu'il n'existait pas. Je le trouvai environné de ronces et d'épines. Je fis cette découverte à l'aide d'une inscription qu'on disait avoir été gravée sur son monument, et dans laquelle se trouvait insérée une sphère et un cylindre. Parcourant des yeux les nombreux tombeaux que l'on rencontre vers la porte d'Agrigente, j'aperçus une petite colonne qui s'élevait au-dessus des buissons, et sur laquelle était représentée la figure d'une sphère et d'un cylindre. Je m'écriai aussitôt devant les principaux habitants de Syracuse, qui se trouvaient avec moi : « Voilà, je pense, ce que je cherchais. » Un grand nombre de personnes furent chargées de couper les buissons et de découvrir le monument. Nous nous approchâmes de la colonne, et nous vîmes l'inscription à demi rongée par le temps. Ainsi la plus noble, et jadis la plus docte des cités de la Grèce, ignorerait encore où est le tombeau du plus illustre de ses citoyens, si un homme d'Arpinum no le lui avait appris. »

Gomme ce monde romain savait bien honorer l'intelligence grecque!

L'oeuvre d'Archimède nous est parvenue presque en entier et dans sa langue originale, à l'exception du Traité des corps qid sont portés sur un fluide, dont nous ne possédons que la traduction latine, et dont plusieurs démonstrations (celle du théorème 8 du 1*^'" livre et celle de la proposition 2^ du second) ont même péri.

Les ouvrages qui nous ont été conservés, sont les suivants : de la sphère et du cylindre, de la mesure du cercle, des conoïdes et des sjjhét^oïdes, des hélices, de V équilibre des plans, de la quadrature de la parabole, Varénaire, des corps portés sur un fluide et les lemmes.

Si nous jetons un coup d'oeil sur l'ensemble de ces travaux, nous voyons de suite qu'ils peuvent former trois groupes distincts :

1"^ Dans un premier groupe nous placerons ceux qui se rapportent principalement à la géométrie et secondairement à l'arithmétique : ce seront les recherches relatives à la quadrature de la sphère et du cercle, à la rectification de la circonférence, à la quadrature de la parabole, à la cubature des ellipsoïdes, paraboloïdes et des hyperboloïdes de révolution, enfin aux propriétés de la spirale, dite spirale d'Archimède. Nous y ajouterons Varénaire, qui a pour but d'apporter un perfectionnement capital au système de la numération grecque, en lui faisant exprimer jusqu'aux plus grands nombres.

2^ Un second groupe contiendra ses travaux de mécanique statique : la théorie du levier et des centres de gravité.

32S GRANDS TYPES DE l'iIUMANITÉ.

3- La théorie des corps flottants, où il pose les bases de l'hydrostatique rationnelle^, composera la troisième

classe.

Tous ces travaux ont pour caractère commun d'être essentiellement mathématiques, c'est-à-dire de consister en une suite de déductions que l'auteur tire de principes simples, fournis par l'observation. Mais ils ne comportent et n'exigent aucune systématisation générale à la manière des travaux philosophiques. Nous bornerons donc notre tâche à les examiner successivement dans l'ordre où nous les avons placés, mettant notre soin à faire ressortir surtout l'esprit et le caractère des méthodes mises en œuvre, et ne croyant pas qu'il suffise, dans une étude de cette nature, comme on s'en est trop exclusivement contenté jusqu'ici, d'indiquer les résultats obtenus. Nous devons dire, pour être juste, qu'il n'était guère possible de procéder de cette manière, avant que la grande sj^stématisation philosophique d'Auguste Comte fût venue jeter une lumière inattendue sur les conceptions fondamentales de la mathématique.

Les principales découvertes géométriques d'Archimède portent pour la plupart sur des quadratures ou des cubatures curvilignes. Elles ont assuré, d'une façon délînitive, le passage du cas rectiligne au cas curviligne ou, pour nous servir d'une expression plus abstraite, du cas discontinu au cas continu.

Il y a, déclarions-nous au début de cette leçon, deux opérations (hiiis l'établissement de toute vérité, opérations distinctes, dont on peut dire que la séparation est d'autant mieux trancJiée que les phénomènes étudiés se rapp7'0chent davantage des phénomènes humains :

P L'invention ou la découverte de la proposition;

2° La démonstration de cette même proposition. '

Nous distinguerons donc, dans l'œuvre d'Arcliimède, la marclie de l'invention de celle de la démonstration.

A côté des deux procédés de déduction, les proportions et les équations, employés par les anciens et ramené§ par eux, surtout pour les proportions, à des règles abstraites et générales, il en est un troisième dont ils ont également usé et qui n'a pas été entre tous le moins fécond et le moins varié. Nous parlons des constructions géométriques, c'est-à-dire des figures qui, introduites à propos dans une recherche, contribuent si efficacement à la découverte de la vérité. Bien qu'un tel procédé de déduction n'ait pu être ramené comme les autres à des règles générales, il n'est pas cependant sans intérêt de se demander à quoi il répond abstraitement. Or cela pourrait s'énoncer ainsi : Toute construction géométrique revient à introduire comme élément et procédé de raisonnement une ou plusieurs fonctions, qui, p)ar leur association mutuelle ou leur combinaison avec les données mêmes du problème, permettent de dégager la proposition cherchée.

Cette façon de concevoir les constructions géométriques découvrejusqu'à l'évidence l'homogénéité, mal aperçue jusqu'ici dans les recherches de cet ordre, entre le but à atteindre et la voie qui y conduit, ou, pour employer d'autres termes, entre la proposition qui est en réalité une fonction à trouver et la construction introduite qui n'est elle-même qu'une fonction. Ainsi, lorsque nous cherchons la surface S d'un triangle dont nous connaissons les trois

330 GRANDS TYPES DE l'hUMAIN'ITÉ.

côtés a, h, c, ce qui s'exprime par cette équation : S = F {a, h, c), si, comme Héron, nous inscrivons au triangle une circonférence, cette circonférence inscrite est ellemême une fonction f que nous introduisons artificiellement pour arriver à la fonction cherchée.

Ceci posé, voyons sur quel genre de fonctions ont principalement porté les recherches d'Archimède.

Elles ont porté sur celles qui consistent, en général, à trouver la fonction qui lie des surfaces ou des volumes courbes à d'autres quantités plus simples et, en particulier, à des lignes droites. Le procédé employé par lui dans les diiférents cas et d'une façon toute spontanée, procédé que nous pouvons systématiser aujourd'hui est le suivant : soit V=F (a,h,c.,.) la fonctionàchercher. Vêtant un volume terminé par des surfaces courbes, a, h, c, étant des lignes droites. On cherche d'abord une ïonoXioii plus simple exprimant un volume V terminé par des surfaces planes et on détermine les fonctions V = F («', //, c'...), a% h', c... étant des lignes droites, et l'on 2oasse de V' à V et de a, U, c'... à a, h, c... Il y a donc là deux opérations bien distinctes : l'une qui varie avec chaque question considérée, l'autre qui, assujettie plus tard à une loi générale, consiste à effectuer le passage de V' à V, de a! à a, de h' à h, etc., etc.

La loi générale, suivant laquelle s'accomplit le passage du cas plan au cas courbe, du cas discontinu au cas con tinu, a été découverte par Leibnitz, qui l'a dégagée presque uniquement de l'ensemble des cas qu'Archimède avait traités. Quant à celui-ci, il a obéi spontanément à cette grande loi, mais il ne l'a pas connue. N'est-il pas in-

téressant de rechercher comment cette loi a pu, sans qu'il en eût conscience, diriger son esprit ?

Empruntons à Archimède lui-même, un exemple trèssimple, afin de rendre plus nettes ces considérations générales. On sait qu'il a démontré la proposition suivante : la surface d'un cercle est égale à un triangle rectangle ayant pour base la circonférence de ce cercle et pour hauteur son rayon ; ce qui revient à dire en langage moderne que l'on a : Cerc. R = Cire. R ~, c'est-à-dire que la surface du cercle est égale à sa circonférence multipliée par la moitié du rayou, sauf à trouver ensuite la circonférence en fonction du rayon. La surface du cercle étant la fonction S qu'il faut trouver, quelle marche Archimède a-t-il spontanément suivie? Il a cherché une autre fonction S', exprimable en éléments rectilignes, et pour cela il a inscrit un polygone régulier dans une circonférence. Soit ^j son périmètre, a son apothème et S' sa surface; on a S' = p -|-. Il s'agit de passer de S' à S. Nous remarquons que la fonction S' == |7 -^ est vraie, quel que soit le nombre des côtés du polygone inscrit, et qu'à mesure que le nombre augmente, le périmètre 73 se rapproche de la circonférence, et a du rayon R. Nous sommes donc poussés, en vertu de la première loi de philosophie première qui gouverne fatalement notre intelligence, et qui consiste à faire l'hypothèse la plus simple en rapport avec l'ensemble des renseignements, à assimiler la circonférence au périmètre et l'apothème au rayon, ce qui donne : S = Cire. R — .

Alors même qu'il eût connu la loi qui le guidait, Archimède ne pouvait s'en contenter. Naturellement conduit à une hypothèse capable de faire surgir Y invention,-

332 GRA]N'DS TYPES DE l'hUMAKITÉ.

il sentait néanmoins que pour que Vinvention fût acceptable, il était nécessaire qu'il démontrât d'abord l'hypotbèse, ce qu'il a fait en employant la démonstrationj^ar V absurde, régulièrement instituée par Euclide. 11 suffit donc pour se rendre compte du travail mental auquel ArcMmède s'est livrée de remarquer :

1" Que, pour appliquer la démonstration par l'absurde, dans le cas de la valeur de S, par exemple, il a été obligé de se servir de la fonction supplémentaire S' ;

2^ Qu'il a obéi inconsciemment à la grande loi de philosophie première, d'où découle le principe de continuité. C'est là certainement une analyse difficile, mais il était d'autant plus important de l'effectuer, qu'elle éclaire d'une lumière nouvelle, non-seulement les découvertes du géomètre syracusain, et en particulier ses quadratures et ses cubatures, mais encore toute la marche de l'esprit humain.

Par cette manière de procéder, Archimède a trouvé un grand nombre de propositions. Mais, pour les démontrer rigoureusement par l'absurde, il a dû s'appuyer sur deux principes, qu'il a formulés le premier, et dont il est nécessaire de dire quelques mots. Ce sont les suivants :

« Deux lignes qui sont dans un plan et qui ont les mêmes extrémités sont inégales, lorsqu'elles sont l'une et l'autre concaves du même côté, et que l'une est comprise tout entière par l'autre et par la droite qui a les mêmes extrémités que cette autre ; ou bien, lorsque l'une n'est comprise qu'en partie et que le reste est commun, la ligne comprise est la plus courte. Pareillement, lorsque des sur-

faces ont les mêmes limites dans un plan, la surface plane est la plus petite. »

« Deux surfaces qui ont les mêmes limites dans un plan sont inégaies, lorsqu'elles sont l'une et l'autre concaves du même côté, et que l'une est comprise toute entière par l'autre et par le plan qui a les mêmes limites que cette autre; ou bien, lorsque l'une n'est comprise qu'en partie, et que le reste est commun, la surface comprise est la plus petite. »

Archimède regarde ces propositions comme des principes, qui non-seulement ne donnent lieu à aucune démonstration, mais doivent servir de base à toutes les démonstrations ultérieures.

Ces principes sur quoi reposent-ils ?

Il serait vraiment absurde de leur accorder une évidence logique ou déductive, puisqu'ils expriment directement et sans aucune espèce de déduction, une relation d'inégalité entre deux sortes d'étendue d'une certaine nature, et représentent par conséquent des phénomènes extérieurs à nous. Ils résultent exclusivement d'une induction fondée sur l'observation, et, jusqu'à un certain point, sur Vexpérimentation directe ; car si l'on veut rendre évidente cette relation d'inégalité entre les deux sortes d'étendue, on est obligé de les aplatir sur un même plan.

Toute cette grande théorie de la transition du cas pol}"gonal ou polyédrique au cas courbe, repose donc en définitive sur une base inductive, c'est-à-dire directe, et, lorsqu'on songe que toule la partie élémentaire de la géométrie est fondée sur des principes d'origine seaiblable, on est étonné de voir les analystes modernes tomber dans

334 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

cette erreur profonde, de considérer la géométrie comme une science purement déductive. C'est en réalité une science naturelle à la manière de la physique, mais où la part de l'observation, de V expérimentation et de l'induction est faible, tandis que celle de la déduction est immense. On voit par là, combien est fausse et superficielle la conception de Kant, donnant la mathématique comme une preuve évidente de la valeur objective de certains jugements synthétiques à priori.

A côté des principes inductifs dont nous venons de parler, Archim.ède en a posé un troisième, de valeur essentiellement logique celui-là, et qui sert de complément aux deux autres. Le voici :

« Etant donné deux lignes inégales ou deux surfaces inégales, oabien deux solides inégaux, si l'excès de l'une de ces quantités sur l'autre est ajouté à lui-même un certain nombre de fois, cet excès ainsi ajouté à lui-même, pourra surpasser l'une ou l'autre des quantités que l'on compare entre elles. »

Nous n'aurions qu'une idée imparfaite de la marche suivie par Archimède dans ses travaux sur les quadratures et les cubatures des figures courbes^ si nous ne tentions d'appliquer les considérations qui précèdent à un cas plus décisif que celui de l'expression de la surface du cercle au moyen de la circonférence et du rayon. Nous trouverons l'exemple caractéristique que nous cherchons dans la quadrature (le la sphère, l'une des plus belles découvertes du grand géomètre, qui lui a»consacré presque en entier le premier et le plus étendu des deux livres de son traité de la sphère et du cylindre.

Archimède énonce ainsi son théorème : « La surface d'une sphère est quadruple d'un de ses grands cercles. » Mais, comme en vertu de ses propres découvertes la surface du cercle peut être exprimée au moyen du rayon, on peut dire, en appelant S la surface d'une sphère de rayon R, que le problème consiste à trouver S, fonction de R, ou S = F (R).

D'après la théorie générale que nous avons exposée, il fallait qu' Archimède découvrît d'abord la fonction, et en démontrât ensuite la vérité. Suivons-le pas à pas dans cette entreprise.

Si l'on désigne un certain nombre de lignes droites par a, b, c, etc., et par S' une surface, nous voyons que la fonction cherchée, fonction qui, grâce au principe de continuité,, doit permettre de découvrir et de démontrer S = F (R), est exprimée par l'équation S' = F {a, b, c,...). Que fait Archimède pour découvrir S' ? Supposant une portion de polygone régulier, dont le nombre des côtés soit divisible par quatre, inscrit dans une demi-circonférence, il imagine que celle-ci tourne autour du diamètre, et dans la révolution engendre une surface qu'il exprime ainsi :

« La surface de la figure inscrite dans une sphère, est égale à un cercle dont le carré du rayon est égal à la surface comprise sous un des côtés du polygone et sous une droite égale à la somme des droites qui joignent les côtés du polygone, en formant des quadrilatères, et qui sont parallèles à une droite qui sous-teud deux côtés du polygone. »

AB étant le diamètre du cercle (âg. 1) S je fais AG = a