Voir la planche placée à la fin de la leçon

336 GRAÎSDS TYPES DE LHUMANITÉ.

et ce H- DD' + EE' + FF' + GG' = l. Si on fait K- = a I, le théorème d'Archimède revient à ceci: S' = n K-, ce qui, en remplaçant K- par sa valeur, donne : S' = Tl a l. Appliquons le 'principe de continuité et doublons indéfiniment le nombre des côtés : nous constatons que tandis que a décroit indéfiniment, /, au contraire, croît indéfiniment, en sorte que l'on arrive àl'expression limite : S = n 0 c/D , c'est-à-dire à une expression indéterminée, qui est l'aboutissant ordinaire de presque tous les cas analociues. Un travail intermédiaire devient donc indispensable pour transformer cette expression en une autre, d'où l'indétermination disparaisse lorsqu'on passe à la limite.

Cette nécessité, Archimède l'a sentie. Il s'applique en efi'et à démontrer que a l = AB. GB, AB étant le diamètre et CB la ligne qui joint une des extrémités du diamètre au côté du polygone qui touche à l'autre. On obtient de cette façon : S' = n, 2B., GB; et GB, par l'application du principe de continuité^ devenant à la limite 2R, l'on a : S = n. 2R. 2R, c'est-à-dire S = 4 n R-. Telle est, à n'en pas douter, la marche suivie par Archimède, pour arriver à la découverte de son théorème. Gela fait, il n'avait encore accompli que la première partie de sa tâche. Ge théorème, il fallait le démontrer. De là tout un échafaudage de propositions nouvelles rendues nécessaires par l'emploi de la démonstration par l'absurde, et dans lesquelles l'auteur fait voir que la surface de la sphère ne peut être ni plus grande ni plus petite que quatre fois la surface d'un grand cercle de celte sphère.

Gomme il serait fort long et assez inutile d'entrer dans les détails de cette démonstration compliquée, nous passe-

rons de suite au court et remarquable travail du grand géomètre, qui, complétant le traité de la sphère et du cylindre, a pour objet la mesure du cercle, d'où l'on sait que dépendent si étroitement la recherche de la quadrature de la sphère, celle du segment sphérique et celle du cône et du cylindre.

Archimède démontre d'abord la proposition suivante :

« Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle, dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'artre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle. »

La quadrature du cercle qui, finalement, dépendra de la mesure d'une ligne droite, qui est le rayon, exige donc que la circonférence soit au préalable rectifiée, c'est-àdire ramenée elle-même à la connaissance du rayon, but final et depuis longtemps entrevu, de toutes quadratures, cubatures et rectifications, mais que personne avant Auguste Comte n'avait systématisé.

Archimède cherchant la rectification delà circonférence, énonce le théorème suivant :

« La circonférence d'un cercle quelconque est égale au triple du diamètre, réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre, et plus grande que les — de ce même diamètre. »

Cet énoncé appelle plusieurs remarques importantes :

En intercalant la quantité inconnue x entre deux limites A et B, ce qui s'exprime A < a? < B, et bien qu'il n'indiquât pas d'une façon précise, comment cela lui donnait la limite de l'erreur commise, Archimède introduisait dans la science, chose nouvelle et importante, une

388 GRA^'DS TYPES DE l'hUMANITÉ.

méthode d'approximation. Le procédé employé revient à calculer, par une suite d'inégalités, la limite du rapport existant entre le diamètre et chacun des périmètres des polygones réguliers, inscrit et circonscrit, de 96 côtés.

« La raison du contour de ce polygone (circonscrit et de 96 côtés) à son diamètre est moindre que la raison de 14688 à 4673 -. Mais parmi ces deux nombres, le premier contient trois fois le second avec un reste qui est de 667 4^ et ce reste est plus petit que le — du nombre 4673 V j <ioii^ ^^ contour du polygone circonscrit contient le diamètre trois fois, plus une partie de ce diamètre qui est moindre que sa septième partie et demie. Donc, à plus forte raison, la circonférence du cercle est moindre que le triple du diamètre augmenté d'un septième et demi de ce même diamètre. »

Archimède considère ensuite le polygone régulier inscrit de 96 côtés, et termine sa démonstration par le théorème suivant :

« Donc, la raison du contour du polygone au diamètre est plus grande que la raison de 6336 à 2017 - . Mais parmi ces nombres le premier contient le second trois fois avec un reste qui est plus grand que les ^ du second. Donc le contour d'un polygone de 96 côtés inscrit dans un cercle est plus grand que le triple de son diamètre augmenté des itj- de son diamètre. Donc, à plus forte raison, la circonférence du cercle est plus grande que le triple du diamètre augmenté des — de ce diamètre. »

Si l'introduction d'une telle méthode constituait pour la science un progrès sérieux, elle ne devait pas avoir des conséquences moins précieu.^es en philosophie. C'est que,

pour la première fois, l'esprit humain se dégageant d'une manière précise et systématique du point de vue absolu, acceptait le point de vue relatif sans tomber dans l'arbitraire. C'est qu' Arcliimède, le premier, entrait dans la voie qui, au prix d'eiForts séculaires, devait conduire à cette grande conception du positivisme : Nos théories ne sont que des approximations successives de la rccdité, dont le degré doit être déterminé par V ensemble des besoins sociaux. L'on a pu voir par les citations précédentes que nonseulement Archimède ne désigne pas par la lettre n, qui n'a été employée que fort tard à cet usage, le rapport constant de la circonférence au diamètre, mais qu'il ne possède môme pas la notion distincte de ce rapport, et encore moins de la constance de ce rapport, ce qui explique qu'il n'ait pas songé à le représenter par un signe particulier. Ici trouverait place une question intéressante dans l'histoire de la science, celle des formes diverses qu'une même proposition est susceptible de revêtir à travers les âges. Faut-il croire, en eiïet, qu'une telle succession soit arbitraire, ou ne convient-il pas d'admettre au contraire que ces formes répondent à des transformations régulières dans la marche de l'esprit humain? En ce qui concerne, par exemple, le problème delà rectification de la circonférence^ on verrait que la forme suivante : -^^^ = constante, qui peut également se formuler : le rapport de la circonférence au diamètre est constant, n'a pu surgir avant que Descartes eût accompli sa révolution et établi la distinction entre les variables et les constantes. De môme la désignation de ce rapport par la lettre n suppose l'avénement préalable de l'algorithme hiéroglyphique complète-

340 GRANDS TYPES DE l'hUMâNITÉ.

ment inconnu à ranliqui'é, et en particulier au siècle d'Archirnède.

Ce puissant génie a poussé ses éludes et ses découvertes sur beaucoup d'autres points relatifs à la mesure de l'étendue. Gomme partout l'esprit de la méthode reste le même, et que chaque cas ne diffère du précédent que par les procédés spéciaux mis en œuvre pour obvier aux difficultés qui lui sont propres, nous nous bornerons ici à une appréciation générale et rapide, malgré l'intérêt que pourrait offrir une analyse plus détaillée.

Archimède a laissé, comme nous avons eu occasion de le dire, un traité sur les conoïdes et les sphéroïdes. Il appelle sphéroïde le volume engendré par une ellipse tournant autour de son grand axe, et conoïde parabolique ou hyperbolique, le volume auquel donne naissance une révolution semblable de la parabole ou de l'hyperbole. Avant d'indiquer les principales propositions que renferme ce traité, dans lequel l'auteur se propose de trouver la cubature de segments de conoïdes paraboliques et hyperboliques et de sphéroïdes, nous rappellerons quelques définitions établies par lui.

« Si un plan touche un conoïde parabolique, et si l'on conduit un autre plan qui soit parallèle au plan tangent et (jui retranche un certain segment du conoïde, la partie du plan coupant comprise par la section du conoïde, s'appelle la base du segment qui est coupé ; le point où l'autre plan touche le conoïde s'appelle le sommet, et la partie de la droite qui est menée du sommet du segment parallèlement i\ l'axe du conoïde et qui est comprise dans le conoïde, s'appelle l'axe du segment. ••

« Lorsque le segment d'un conoïde parabolique est coupé par un plan perpendiculaire sur l'axe, le segment retranché est égal à trois fois la moitié d'un cône qui a la même base et le même axe que le segment. »

« Lorsqu'un conoïde parabolique est coupé par deux plans conduits d'une manière quelconque, les segments retranchés sont entre eux en raison doublée de leurs axes. »

Ce qui précède concerne le conoïde parabolicfue, ce qui suit regarde le conoïde hyperbolique.

« Une hyperbole, son diamètre et ses asymptotes étant placés dans un même plan^ si le plan dans lequel sont placées les lignes dont nous venons de parler tourne autour du diamètre immobile jusqu'à ce qu'il soit revenu au même endroit d'où il avait commencé à se mouvoir, il est évident que les asjanptotes comprendront un cône droit dont le sommet sera le point cù les asj^mptotes se rencontrent, et dont l'axe sera le diamètre immobile. La figure comprise par l'hyperbole s'appelle conoïde hyperbolique; le diamètre immobile s'appelle l'axe du conoïde, et le point de la surface du conoïde rencontré par l'axe s'appelle le sommet ; le cône compris par les asymptotes s'appelle le cône contenant le conoïde ; la droite comprise entre le sommet du conoïde et le sommet du cône s'appelle l'ajoutée à l'axe. »

« Si un plan touche un conoïde hyperbolique, et si l'on conduit un autre plan qui soit parallèle au premier et qui retranche un certain segment du conoïde, la partie du plan coupant comprise par la section du conoïde s'appelle la base du segment; le point où l'un des [>]ans touche le

342 GRANDS TYPES DE l' HUMANITÉ.

conoïde s'appelle le sommet du segment; et la droite qui est comprise dans le segment et qui fait partie de celle qui est menée par le sommet du conoïde et par le sommet dvi cône qui contient le conoïde s'appelle l'axe du segment; et la droite qui est comprise entre les sommets dont nous venons de parler s'appelle l'ajoutée à l'axe. »

« Lorsqu'un conoïde hyperbolique est coupé par un plan perpendiculaire sur l'axe, le segment retranché est au cône, qui a la même base et le même axe que le segment, comme une droite composée de l'axe du segment et du triple de la droite ajoutée à l'axe est à une droite composée de l'axe du segment et du double do la droite ajoutée à l'axe. »

« Lorsqu'un conoïde hyperbolique est coupé par un plan non perpendiculaire sur Taxe^ le segment retranché est à la figure qui a la même base et le même axe que le segment et qui est un segment de cône, comme une droite composée de l'axe du segment et du triple de la droite ajoutée à l'axe est à une droite composée de l'axe du segment, et du double de la droite ajoutée à l'axe. »

« Nous passons maintenant aux principales propositions démontrées par Archimède sur les sphéroïdes ou ellipsoïdes de révolution.

« Quand un sphéroïde est coupé par un plan conduit par son centre et perpendiculaire sur l'axe, chacun des segments produits par cette section est double du cône qui a la même base et le même axe que le segment. »

« Quand un sphéroïde est coupé par un plan perpendiculaire sur l'axe, mais non mené par le centre, le plus grand des segments produits par cette section est au cône

APPRÉCIATION DE LA SCIENXE AN"TIOUE. 343

qui a la même base et le même axe que le segment, comme une droite composée de la moitié de Taxe du sphéroïde et de l'axe du petit segment est à l'axe du petit segment. » « Lorsque le sphéroïde est coupé par un plan mené par son centre et non perpendiculaire à l'axe, chacun des segments produits par cette section est double de la figure qui a la même base et le même axe que le segment ; cette figure est un segment de cône. »

« Lorsqu'un sphéroïde est coupé par un plan qui n'est point mené par le centre, ni perpendiculaire sur l'axe, le plus grand des segments produits par cette section est à la figure qui a la même base et le même axe que le segment comme une droite composée de la moitié de celle qui joint les sommets des segments et de l'axe du petit segment est à l'axe du petit segment. »

« Enfin le petit segment est à la figure, qui a la même base et le même axe que le segment, comme une droite composée de la moitié de celle qui joint les sommets des segments et de la moitié de l'axe du grand segment est à l'axe du grand segment ; cette figure est aussi un segment de cône*. »

Bien que la marche suivie en ces différents cas par Archimède soit conforme à la conception générale que nous avons exposée, il n'est pas sans intérêt de rechercher l'application qu'il en a faite à chacun d'eux.

L'esprit général de la démonstration consiste à inscrire et circonscrire au volume considéré une suite de cylindres, construits d'après une loi donnée. On a ainsi une fonction

1. Archimède a également étudié les conditions de similitude de ces divers volumes.

344 GRANDS TYPES DE i/hUMAIS'ITÉ.

V'= F {a' h' c',) qui, en arrivant à la limite, donne la fonction chercliée, c'est-à-dire : V = F {a, h, c), a, h, c, étant des lignes droites. C'est là, nous le savons, le procédé propre à la méthode d'invention qui sert de base aux démonstrations par l'absurde. Considérons, par exemple, un segment de conoïdo parabolique formé en menant un plan perpendiculaire à l'axe {fi(/. 2). On partage AB en un certain nombre de parties égales. Soient AB = h et n le nombre des parties, on forme autant de cylindres circonscrits qu'il y a de parties. AC égale r; BA et AC sont connus. En appelant V' la somme des volumes des cylindres et r', r", les rayons des bases des cylindres, on a :

Si l'on passait à la limite pour avoir le volume V du segment de conoïde parabolique, on aurait la forme -i- Il est donc nécessaire de transformer Vex^pression. On y arrive en mettant à profit la propriété caractéristique de la parabole, ce qui conduit à employer l'équation ^^ = 2jooc, ou tout au moins son équivalent. Nous avons alors :

n II

= et — =

d ou r- = — ■ eir" =

ce qui donne V = —

n/ir2 r n , n — 1 , n — 2 , n — 3

ou V' =

Or comme n-\-n — i-\-n — 2...4-1

on a V = — -T =— r-

On a donc 1 expression v ' = — — 1 + -

et comme

d'après le principe de continuité n égale oo , il reste

^T YlrVi ^3 ^ h . , ., , , ,

\ =—-r- ou V = - ïlr- -, ce qui donne 1 énonce géométrique d'Archimède. Nous pourrions faire le même travail pour le cas des cubatures, des segments, des sphéroïdes et des conoïdes hyperboliques.

Archimède s'est occupé aussi des hélices et de la courbe que nous désignons justement aujourd'hui sous le nom de spirale d'A^^chimède. Laissons la parole à l'auteur.

« Si une ligne droite, une de ses extrémités restant immobile, tourne dans un plan avec une vitesse uniforme jusqu'à ce qu'elle soit revenue au même endroit d'où elle avait commencé à se mouvoir, et si un point se meut avec une vitesse uniforme dans la ligne qui tourne, en partant de l'extrémité immobile, ce point décrira une hélice dans un plan. Je dis que la surface qui est comprise par l'hélice et par la ligne droite revenue au même endroit d'où elle avait commencé à se mouvoir est la troisième partie d'un cercle qui a pour centre le point immobile et pour rayon la partie de la ligne droite qui a été parcourue par le point dans une seule révolution de la droite.

« Si une droite touche l'hélice à son extrémité dernière engendrée, et si de l'extrémité immobile de la ligne droite qui a tourné et qui est revenue au même endroit d'où elle était partie, on mène sur cette ligne une perpendiculaire qui coupe la tangente^ je dis que cette perpendiculaire est égale à la circonférence du cercle. »

346 i&RANDS TYPES DE l'hU.MANITÉ.

« Si la ligne droite qui a tourné et le point qui s'est mû dans cette ligne, continuent de se mouvoir en réitérant leurs révolutions, et en revenant au même endroit d'où ils avaient commencé à se mouvoir, je dis que la surface comprise par l'hélice de la troisième révolution est double de la surface comprise par l'hélice de la seconde; que la surface comprise par l'hélice de la quatrième est triple ; que la surface comprise par l'hélice de la cinquième est quadruple ; et qu'enfin les surfaces comprises par les hélices des révolutions suivantes sont égales à la surface comprise par l'hélice de la seconde révolution multipliée par les nombres qui suivent ceux dont nous venons de parler. Je dis aussi que la surface comprise par l'hélice de la première révolution est la sixième partie de la surface comprise par l'hélice de la seconde. »

Pour trouver et démontrer ces propositions, Archimède est obligé de démontrer d'abord des propositions relatives à des propriétés numériques. Leur énoncé suffira à marquer l'esprit des procédés employés. {Prop. x, xi, etc.)

« Si des lignes en aussi grand nombre que l'on voudra et qui se surpassent également sont placées les unes à la suite des autres, et si l'excès est égal à la plus petite ; si l'on prend d'autres lignes qui soient en même nombre que les premières, et dont chacune soit égale à la plus grande de celles-ci, la somme de tous les carrés construits sur les lignes qui sont égales, chacune à la plus grande, conjointement avec le carré de la plus grande, et la surface comprise sous la plus petite et sous une ligne composée de toutes les lignes qui se surpassent également, sera triple de la somme de tous les carrés construits sur les lignes qui

se surpassent également. » Ce qui revient à trouver la somme des carrés des nombres naturels.

« Si des lignes en aussi grand nombre qu'on voudra et qui se surpassent également, sont placées les unes à la suite des autres, et si l'on prend d'autres lignes dont le nombre soit plus petit d'une unité que le nombre de celles qui se surpassent également, et dont chacune soit égale à la plus grande des lignes inégales, la raison de la somme des carrés des lignes, qui sont égales chacune à la plus grande, à la somme des carrés des lignes qui se surpassent également, le carré de la plus petite étant excepté, est moindre que la raison du carré de la plus grande à la surface comprise sous la plus grande ligne et sous la plus petite, conjointement avec le tiers du carré construit sur l'excès de la plus grande sur la plus petite; et la raison de la somme des carrés des lignes qui sont égales chacune à la plus grande à la somme des carrés des lignes qui se surpassent également, le carré de la plus grande étant excepté, est plus grande que cette même raison. »

Archimède enfin a couronné tous ces travaux par une découverte qui n'est pas l'un des monuments les moins précieux de la profondeur de son génie : nous parlons de la quadrature de la parabole, à laquelle il est arrivé, chose infiniment remarquable, par deux procédés tout dilférents. « J'ai découvert, écrit-il dans sa lettre d'envoi à Dosithée, ce théorème, d'abord par des considérations de mécanique, ensuite par des raisonnements géométriques... Je ne sache pas, ajoute-t-il, qu'il se soit encore trouvé une seule personne qui ait cherché à quarrer la surface comprise sous une droite et une parabole, ce que nous

348 GRANDS TYPES DE l'iIUMAXITÉ.

avons fait certainement aujourd'iiui ; car nous démontrous qu'un segment quelconque^ compris par une droite et une parabole, est égal à quatre fois le tiers du triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment. »

Il serait oiseux d'insister, après ce qui précède, sur la variété et la difficulté des résultats obtenus par Archimède dans ses travaux géométriques. Cependant l'on n'aurait pas apprécié à sa juste valeur cette œuvre considérable, si l'on ne montrait pas, sans pour cela faire ici l'histoire d'une fondation, que nous aurons à étudier en son lieu, comment elle sert de base à la métliode infinitésimale.

Tous les travaux d'Archimède, avons-nous dit, out le même but : exprimer des surfaces et des volumes curvilignes en fonction de lignes droites ; et si un grand nombre des questions traitées sont résolues par des procédés propres à chacune, nous savons que la mélhode d'invention, spontanément employée par l'auteur, affecte dans les divers cas un même caractère fondamental'.

1. Puiu' bien sentir toute la ditiiculté des déductions dues au génie d'Archimède, il faut remarquer que, outre l'absence de tout algorithme, le langage mathématique des Grecs était lui-même d'une extrême imperfection. « Groirait-ou, disaient Lagrange et Deiambre, que les Grecs n'ont jamais eu de mot pour exprimer le rayon du cercle, et qu'ils l'appelaient ligne qui part du centre? Toutes ces expressions qui re- Tiennent à chaque instant donnent à l'énoncé des propositions et à tous les raisonnements dont se compose la démonstration une longueur très-incommode, n

Ainsi, par exemple, quoique le mot parabole soit en tête d'un traité d'Archimède, on voit qu'il ne s'en sert jamais dans le cours de son travail et qu'il désigne toujours cette courbe par le mot de section du cône rectangle; l'ellipse est désignée par le nom de section du cône obliquangle^ et l'hyperbole par celui de section du cône obtusangle. Cela résulte de ce que les anciens considéraient la section faite dans le cône par le plan perpendiculaire à l'arête, d'où il suit que la parabole n'était obtenue que dans la section du cône rectangle, et l'ellipse et l'hy-

11 faut donc indiquer comment Leibnitz a pu dégager des travaux du géomètre grec ce principe général et abstrait au moyen duquel s'opère le passage du discontinu au continu, du cas polyédrique et polygonal au cas courbe. Le couronnement de l'édiâce fera juger de la puissante solidité des bases.

En saisissant ce qu'il y a de commun dans les divers cas où l'on passe du discontinu au continu, Leibnitz, par une induction de génie, a vu que le procédé consistait essentiellement à assimiler deux quantités qui diffèrent entre elles d'une quantité indéfiniment décroissante.

Soient S la surface du polygone régulier de périmètre p, inscrit dans une circonférence dont le rayon est R, a l'apothème, Gerc.R la surface du cercle circonscrit et Girc.R

la circonférence. On démontre le théorème S=j; - (I).

Soient ^, f^', ^" les différences entre Gerc.R et S, Girc.R

et 11, - et -. Le théorème (I) devient alors :

Gerc. R-à^ = (Girc. R-rr ) ( ? — ^" ) ou Gerc.R — Girc.R ^ =^ — îH à\î"Girc.R.

Or, à mesure que les côtés du polygone régulier inscrits vont en augmentant, et d'une manière indéfinie^ ^, ^', ^" augmentent également. Donc dire que

perhole dans les sections des cônes obliquangle et obtusangle. Apollonius de Perge a perfectionné la langue mathématique d'Arcliimède eu employant couramment les expressions parabole, ellipse, hyperbole, de même qu'en désignant le paramètre par le mot csôia, tandis qu'Archimède se sert encore de l'expression longue et vague de UQue qui s'étend jusqu'à Vaxe.

350 GRANDS TYPES DE l'hUMAKITÉ.

Gerc.R — Girc.R ^ = o,ou encore que Gerc.R = Girc.R ~

cela revient à énoncer que Von égale deux quantités dont la différence est indéfiniment décroissante.

Prenons un second exemple. Soient p et p' les périmètres de deux polygones réguliers semblables, inscrits dans deux circonférences de rayon R et R'.

On a -, = TT,, (1). Mais 4 = f~~ïï7 — "^^ "^ étant une quan-

jj' K" j) Lire.xx ••■

tité qui décroît indéfiniment à mesure que j3 et p augmentent eux-mêmes indéfiniment le nombre de leurs côtés. On aura donc en substituant dans l'équation (I) la va-

, - p CircR iv R cii'cR R ^v ^

1^^^ ^^ ,7 ' GÎI^' - ^ = R" ^^ GircR' - R' = ^- ^^ ^^''

montre clairement que le théorème = — résulte de

ce qu^on assimile deux quantités qui diffèrent d'une quantité indéfïnïmeni décroissante. La mesure du volume du segment du paraboloïde de révolution va nous fournir un troisième exemple.

V' = V — ^ et \ ' = — 7- 1 + -

ou V'=^^ +û^ir' '^^^^^ "'^^T"^/:"!"'

ou \=-^+~-^+à,on\--^=~ — + à.

Or ^ et - ^^ décroissant indéfiniment, tandis que 7i aug-

mente indéfiniment, dire que V ^ = o, c est dire que

deïix quantités sont égales lorsqu'elles diffèrent d'une quantité indéfiniment décroissante.

Tel est le principe abstrait que l'on peut par induction

dégager de l'ensemble des ces traités par Archimède, et dont la science est redevable à Leibnitz. Il appelle de notre part quelques observations scientifiques, logiques et même religieuses.

Au point de vue logique et scientifique, le principe de Leibnitz doit être regardé comme le produit d'une induction profonde, opérée sur des cas très-nombreux, où son application spontanée avait fourni des résultats rigoureusement démontrables.

Mais comme ces démonstrations reposent elles-mêmes sur deux principes formulés par Archimède et induits d'un petit nombre d'observations et d'expériences trèssimples, il en résulte que le principe de Leibnitz peut être en définitive considéré comme induit d'un ensemble de théorèmes géométriques , découverts en majeure partie par Archimède, et fondés sur quelques principes inductifs empruntés à l'observation immédiate.

Au point de vue religieux, la mathématique nous apparaît comme une admirable institution de l'Humanité aux progrès lents mais entre tous les plus assurés, parce que la raison personnelle s'y subordonne à la raison collective, et que notre foi dans la vérité des propositions scientifiques , résulte avant tout du sentiment profond , sinon de la notion précise, que chaque proposition est une création du passé. C'est de ce sentiment que s'est inspiré Auguste Comte, lorsqu'aux risées d'un monde académique incapable de le comprendre, il a pris pour épigraphe de sa grande systématisation mathématique cette devise empruntée à V Imitation : « Omnis ratio et naturalis investigatio ôdem sequi débet, non pra^cedere iiec infringere, »

Et cette autre : « L'homme doit, de plus en plus, se subordonner à l'Humanité. » (A. Comte.)

Enfin, au point de vue scientifique pur, ce principe facilite la découverte des relations. C'est ainsi qu'ayant à trouver la fonction F («, 6, c, ...) = o, on cherche une fonction plus simple ¥ {a h' c ...) = o entre des quantités a' h' c' ... qui diffèrent de quantités indéfiniment décroissantes de a, h, c, et l'on arrive à la relation cherchée.

Nous pourrions ajouter que Leibnitz a inventé un algorithme approprié à ces sortes de spéculations, mais nous ne pouvons nous étendre davantage sur l'histoire et les résultats d'une invention, dans laquelle il y aurait lieu de faire la part de Descartes, de Fermât, de Barrow, et que nous n'avons abordée que pour en montrer la base dans les admirables travaux d'Archimède.

De VAi'énaire, par lequel nous terminerons cette longue revue, nous ne dirons qu'un mot.

L'ouvrage prit naissance à l'occasion de la dispute agitée auprès de Gélon, roi de Syracuse, sur la possibilité ou rimpossibilité de fixer un nombre capable d'exprimer la quantité de grains de sable contenue sur la terre. Archimède traite la question dans un travail adressé à Gélon :

« Quant à moi, je vais faire voir par des démonstrations géométriques auxquelles tu ne p(jurras refuser ton assentiment, que parmi les nombres dénommés par nous dans les livres adressés à Xeuxippe, il en est qui excèdent le nombre des grains d'un volume de sable égal non seulement à la grandeur de la terre, mais encore à celai de l'univers entier. »

Nous ne pouvons entrer ici dans les détails qu'exigerait l'appréciation de ce travail, et nous nous contenterons de reproduire le jugement porté sur lui par Delambre et Lagrange dans un mémoire adressé à l'Institut^ en 1806 :

« L'Arénaire même, quoiqu'il ait en apparence un but plus frivole, n'est pas moins recommandable, soit par des expériences faites avec autant d'adresse que de sagacité, pour mesurer le diamètre du soleil, soit par des eiforts très-ingénieux pour suppléer à l'imperfection de l'aritLmétique des Grecs, qui n'avaient ni figures ni noms pour exprimer les nombres au-dessus de cent millions.

« Le système qu'il imagina pour écrire et dénommer un nombre quelconque porte sur un principe bien peu différent de l'idée fondamentale qui fait le mérite et la simplicité de notre aritlimôtique arabe, ou plutôt indienne.

« On a même cru trouver dans ce système la première idée des logarithmes; mais il nous semble que c'est outrer les choses. On voit, à la vérité, dans l'Arénaire, deux progressions, l'une arithmétique et l'autre géométrique, dont la première sert à trouver un terme quelconque de la seconde. Mais c'est une pure spéculation destinée à montrer comment on pourrait donner une extension indéfinie à l'arithmétique de ce temps, et jamais Archimède n'a songé à rendre son idée utile dans les calculs ordinaires, à changer la multiplication en une addition, et encore moins la division en une soustraction. On ne lui voit réellement exécuter aucun calcul. »

Nous n'avons jusqu'ici apprécié dans Archimède que le géomètre; il nous reste à étudier en lui le fondateur de la mécanique rationnelle, ou mieux, pour employer l'ex-

354 GRANDS TYPES DE l'hUMAN'ITÉ.

pression d'Auguste Comte, de la mécanique générale, et le créateur de l'hydrostatique,

La mécanique générale, ayant pour but de trouver les lois de l'éauilibre et du mouvement, se décompose naturellement en deux parties : 1'^ la statique qui cherche les lois de l'équilibre; 2'' la dynamique qui apprécie les lois du mouvement.

Nous n'étonnerons personne en disant que la mécanique ne pouvait revêtir du premier coup le caractère de généralité, propre à son état normal et définitif, et que le cas de l'équilibre, plus simple que celui du mouvement, dut être d'abord seul considéré.

Entre Archimède, qui crée la statique, et Galilée, qui, par sa théorie du mouvement uniformément varié, jette les bases de la dynamique, il y a un intervalle immense durant lequel la science marque le pas, et où Stevin est le seul qui, par sa théorie de l'équilibre des poids appliqués sur des plans inclinés, fait faire quelque progrès à la conception du savant grec.

Et cependant Galilée ne fondait pas encore la mécanique générale et abstraite. Cette mécanique ne pouvait être véritablement constituée que par l'apparition dans la science de la notion de force ; notion toute moderne, qui a donné et donne encore lieu à trop de divagations, pour que nous ne cherchions pas à l'exposer ici d'une façon précise. -

La notion àe force ou d'effort est fournie par la sensation musculaire inhérente à toute action exercée pour pousser ou retenir un corps.

Les mouvements qui résultent de cette action sur les

corps et qui nous sont de beaucoup les plus familiers, sont rangés parmi les mouvements comimmiqué s , appelés ainsi par opposition avec une autre sorte de mouvements que l'on appelle 'mouvements spontanés. Pour donner à nos conceptions mécaniques toute la généralité possible, on fait abstraction de ces derniers et l'on remplace toute activité spontanée de la matière par des efforts extérieurs équivalents, c'est-à-dire capables de produire les mêmes effets, auxquels on donne le nom de forces. La force n'est donc autre chose que l'action extérieure, par laquelle on produit, ou l'on imagine produire un équilibre ou un mouvement}

De là surgit la conception de la composition et de la décomposition des forces. Car on imagine sans peine qu'une force, conçue comme l'action, réelle ou supposée telle, d'un être humain, puisse tenir lieu de plusieurs autres forces nommées composantes, dont elle serait la résultante; et l'on admet réciproquement la possibilité de remplacer une force par plusieurs autres, capables de produire le même effet ; ce qui n'est autre chose que la décomposition des forces.

Tous les mouvements, comme tous les équilibres, peuvent donc être uniformément considérés comme résultant de la composition ou de la décomposition des forces.

La constitution de la mécanique sur les bases générales que nous venons d'indiquer est due essentiellement à Varignon, dont l'ouvrage {Nouvelle mécanique) ^ publié seulement en 1725, après la mort de l'auteur, par les soins de son ami Fontenelle, était connu dans ses traits principaux depuis l'année 1687. Ajoutons qu'à la même époque New-

35G GRA^'DS TYPES DE l'hUMAIS'ITÉ.

ton émettait des vues semblables au commencement de ses Principes matliémaiiques de la Pltilosophie naturelle.

Ce qui précède suffit, sans qu'il soit utile d'insister plus lon^Liement, pour montrer tout ce qu'il y a de subjectif dans cette notion de force, que le matérialisme moderne a si singulièrement travestie en donnant une valeur absolue et objective à ce qui n'est en fin de compte qu'une construction de l'esprit. D'autre part, il ne faut pas oublier que cette notion qui permet de ramener tous les principes de la mécanique à un même point de vue, date à peine de deux siècles, et que la prêter aux intelligences d'un passé plus éloigné et surtout à celles de l'antiquité, si étrangères aux conceptions de cette nature, serait aussi faux qu'irrationnel.

Depuis Varignon et Newton la notion de force s'est agrandie et complétée. D'Alembert lui a fait faire un pas capital, quoique trop peu remarqué, et même insuffisamment compris par notre illustre Lagrange, lorsqu'il a introduit dans la science le principe suivant : « Etant donné un ensemble de forces agissant sur un système de points, si on introduit des forces qui se font équilibre, rien n'est changé dans l'état du premier système. » Ce principe, en permettant de substituer à un système donné de forces tout autre système qu'on voudra, à la seule condition qu'il lui soit équivalent^ fait surgir des combinaisons, dont le premier système serait incapable de donner l'idée. C'est un admirable procédé logique, qu'il faut rapprocher de celui qui, en analyse, permet de substituer à une équation une foule d'équations équivalentes, et multiplie ainsi

presque à l'inlini les ressources de l'entendement. L'auteur en a fait l'application la plus ingénieuse dans la démonstration qu'il emploie pour trouver la résultante de deux forces parallèles dirigées dans le même sens, et dans laquelle, supposant deux forces égales et de sens contraire dirigées suivant la ligne qui joint les points d'application des deux forces parallèles, il remplace le S3'stème de deux forces par un système équivalent de quatre.

Quoique bien sommaires, ces considérations générales vont cependant nous permettre de mieux apprécier l'œuvre d'Archimède et sa part dans la fondation de la mécanique.

Le premier ouvrage qui se présente à nous, en abordant cet examen, est son traité sur le levier, dans lequel apparaît pour la première fois, dans l'histoire de l'Humanité, une théorie de mécanique générale.

Le traité porte le titre : « De V équilibre des j^lans ou de leurs centres de gravité. »

Pour Archimède, le centre de gravité d'un corps est un point tel, que, si on le fixe, le corps est en équilibre. Le traité ayant pour but de trouver les centres de gravité des divers corps, la théorie du levier y rentre naturellement, puisqu'un levier, sollicité par deux poids, n'est en équilibre que lorsque le point fixe est le centre de gravité du système entier.

L'auteur réclame tout d'abord qu'on lui accorde comme évidents les principes inductifs suivants, sur lesquels il s'appuie :

« Des graves égaux suspendus à des longueurs égales sont en équilibre. »

358 GRAIsDS TYPES DE l'hUMÂNITÉ.

« Des graves égaux suspendus à des longeurs inégales ne sont point en équilibre, et celui qui est suspendu à la plus grande loiigueur est porté en bas. »

« Si des graves suspendus à de certaines longueurs sont en équilibre, et si l'on ajoute quelque chose à un de ces graves, ils ne sont plus en équilibre; et celui auquel on ajoute quelque chose est porté en bas. »

« Semblablement, si on retranche quelque chose d'un de ces graves, ils ne sont plus en équilibre, et celui dont on n'a rien retranché est porté en bas. »

Il admet de même, relativement aux centres de gravité, les propositions suivantes, moins inductives que logiques, et résultant de considérations de symétrie :

« Si deux figures planes semblables sont appliquées exactement l'une sur l'autre, leurs centres de gravité seront placés l'un sur l'autre. »

« Les centres de gravité des figures inégales et semblables sont semblablement placés. »

« Le centre de gravité d'une figure quelconque, dont le contour est concave d'un môme côté, se trouve nécessairement au dedans de la figure. »

Archimède, partant comme d'un principe expérimental du cas de deux poids égaux, se faisant équilibre à l'extrémité de deux bras de leviers égaux, va en déduire les conditions de l'équilibre lorsque les poids de même que les bras de levier sont inégaux. Les poids, dans ce cas, seront en raison inverse des bras de levier.

Gomment le démontre-t-il? 11 suppose d'abord que les deux poids sont commensurables et, remarque importante, il fait rentrer la question dans la détermination du centre

de gravité de ces deux poids ; il établit en effet deux lemmes préliminaires :

1*^' Si on a une suite de poids égaux appliqués sur une lig ne droite à égale distance de son point milieu, un poids égal à l'un quelconque des autres étant en ce milieu, le centre de gravité de cet ensemble de poids est au milieu de la droite.

2'^ Si l'on fait abstraction du poids placé au milieu, le centre de gravité des poids restants demeure au milieu de la droite. ...

La réciproque de ce second lemme est implicitement admise, c'est-à-dire que si un corps est appliqué par son centre de gravité en un point d'une ligne droite et que l'on décompose ce corps en un nombre pair de parties égales, qu'on appliquera deux à deux à égales distances du premier point, ce point restera le centre de gravité de l'ensemble de ces poids égaux.

Mais voyons l'énoncé même d'ArcMmède sur le principe général du levier et la démonstration qu'il en a donnée :

« Des grandeurs comm.ensurables sont en équilibre , lorsqu'elles sont réciproquement proportionnelles aux longueurs auxquelles ces grandeurs sont suspendues. »

« Soient les grandeurs commensurables P et P'; que leurs centres de gravité soient B et G {fig. 3) ; soit une certaine longueur G B et que la grandeur P soit à la grandeur P' \ comme la longueur A G est à la longueur B A.

1. Arcliimède se sert naturellement de lettres grecques. Pour plus de facilité, nous les avons remplacées par des letties latines, sans altéi^er autrement le texte.

360 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÈ.

Il faut démontrer que le centre de gravité de la grandeur composée des deux grandeurs P et P' est le point A. »

Nous supposons que p = - et que '^=- ', nous prenons en outre CD = AB et A G = BH, en sorte que le point A est le milieu de la ligne HD, De plus, nous supposons BI = AG = BH. Ceci établi, nous faisons P = 6 j9 et P' =47). Nous décomposons ensuite Hl en G parties égales et DI en 4 parties égales, et nous remarquons que G est le milieu de DI. Nous appliquons les 6 poids 2^ ^^^^ points milieux des divisions de HI, points situés deux à deux à égale distance de B, et aux points milieux des divisions de ID, les 4 poids de P' placés deux à deux à égales distances du point G. Gette substitution est justifiée parle lemme précédemment énoncé. Ges poids égaux seront à égale distance de A, milieu de HD. Donc le centre de gravité de ces poids égaux à p sera A, et, comme il est le même que celui de P et P', il en résulte que A est le centre de gravité de P et P', et qu'il y aura par conséquent équilibre, si le point est fixé.

Arcliimède démontre ensuite le même théorème pour le cas où P et P' sont incommensurables, et cela par la méthode ordinaire ; puis il cherche le centre de gravité du parallélogramme, celui du triangle, et enfin du trapèze. Tel est le sujet du premier livre.

Dans le second il détermine le centre de gravité d'un segment de parabole, et d'un segment de paraboloïde de révolution. Notons à cette occasion la corrélation trop méconnue dans le travail du grand géomètre entre la théorie du levier et celle des centres de gravité.

La théorie de l'équilibre, ainsi constituée dans le cas le

plus simple d'un levier droit sollicité par deux poids, ne fit aucun progrès jusqu'à Stevin, qui, le premier, passa au cas de l'équilibre de deux poids placés sur deux plans inclinés, adossés l'un à l'autre, et efFectua ce pas caractéristique ^, en emploj^ant une démonstration directe^ infiniment ingénieuse, mais tout à fait étrangère à la considération du levier.

Il s'agit de démontrer que si deux poids P et P' se font équilibre sur deux plans inclinés adossés l'un à l'autre et de longueurs l et V on a : p7=j7. Voici, légèrement modifiée par Lagrange, la démonstration donnée de ce théorème par Stevin :

« Concevons une chaîne {fig. 4) formée de poids égaux, liés par un fil et également espacés. Supposons que 5 de ces poids portent sur AB et 8 sur A G; et que la chaîne pend indéfiniment en dehors de la base BG. Admettons, en outre, que ABG est un plan vertical, et que BG repose sur un plan horizontal fixe. Nous disons qu'il y a ' équilibre, car s'il n'en était pas ainsi, le mouvement se produisant sans que AB cesse de contenir cinq poids et BG huit poids, en d'autres termes sans que l'état des choses soit modifié, ce mouvement serait perpétuel, ce qui est absurde.

« D'un autre côté, comme les deux chaînes qui pendent verticalement se font équilibre par l'intermédiaire de B G, les deux poids cinq et huit se font équilibre, et sont évidemment proportionnels aux longueurs des deux plans inclinés, ce qu'il fallait démontrer. "

1. Liber primus staticse. De staticte elementis. Leyde, 1605.

362 GRANDS TYPES DE l'hUMAIS'ITÉ.

A la vérité cette théorie ingénieuse de l'équilibre du plan incliné, tirée par son auteur de l'impossibilité du mouvement perpétuel, était insuffisante et ne pouvait remplacer une théorie déduite du levier.

Ce progrès nécessaire, Galilée l'accom^Dlit dans son livre des Mécaniques, publié en français par le Père Mersenne, en l'année 1634 *. Il imagine un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'horizon {fig. 5), et deux poids égaux à P se faisant équilibre à l'extrémité des deux bras de levier OA, OB. 11 suppose en outre que le bras de levier OB descend en OG : le moment du poids P, qui agissait en B et qui était P X OB , deviendra en G : P X 01 ; de telle sorte que l'intensité de l'action de P en D sera à celle exercée en B dans le rapport -^. Or, comme P en G peut être considéré comme placé sur la tangente CD, qui forme un plan incliné, un poids P placé sur le plan incliné aura donc une action P X ,^7, = P X 777, c'est-à-dire qu'il