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sera diminué dans le rapport de la hauteur à la longueur du plan incliné.

En dehors de cette démonstration qui, depuis Galilée, a été variée de bien des manières, l'ouvrage contient une théorie complète des machines, déduite de la considération primitive du levier, si bien qu'on peut le regarder comme le terme des progrès accomplis dans la voie qu'avait tracée Archimède.

Si, quelques années plus tard, la dynamique fondée par

1. Les Mécaniques do Galilée, mathématicien et ingénieur du duc de Florence, avec plusieui's additions rares et nouvelles, utiles aux architectes, ingénieurs, fonteniers, philosophes et artisans, traduit de ritalien par L. P, ^I. ^I., à Paris, chez Henry Guenon, rue Saint- Jacques, près les Jacobins, à l'Image Saint-Bernard. MDCXXXIV.

Galilée, et la théorie de la composition des forces créée par Varignon, ont donné à la mécanique de nouvelles bases et une nouvelle impulsion, il ne faut pas oublier qu'Archimède demeure, non l'unique, mais le premier fondateur de la mécanique par son ébauche d'une théorie abstraite de la statique, et quel que soit le respect que nous inspire le génie d'un géomètre et d'un penseur tel que Lagrange, nous ne pouvons en vérité souscrire sans réserves aux critiques qu'il formule, dès le début de sa Mécanique analytique ^ au sujet de la théorie du levier exposée par son prédécesseur.

Lagrange déclare insuffisant le procédé employé par Archimède, pour établir la théorie du levier droit dans le cas de deux forces quelconques, parce qu'il repose sur ce principe que Ton peut, dans le levier, remplacer un certain poids par deux poids égaux de valeur moitié moindre, que l'on applique à égale distance du premier; principe qui, suivant Lagrange, ne serait rien moins qu'évident et en tout cas trop précaire pour servir de base à une véritable démonstration. Nous ne saurions partager cette manière de voir^ et nous estimons qu'elle provient surtout de ce que Lagrange prête à Archimède un point de vue qui lui était et devait lui demeurer étranger.

Archimède en effet ne considérant que le centre de gravité, cherche à déterminer celui de deux poids P et P', agissant aux extrémités A et B d'une ligne droite. Au moyen des deux lemmes que nous avons cités et qu'il démontre d'abord, il établit rigoureusement que le centre de gravité des deux poids P et P' est le même que celui A d'un système de petits poids, disposés comme nous l'avons indi-

364 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

que, en rapportant la démonstration. Puis ce centre de firravité A étant trouvé, il le fixe et fait de tout le système un levier en équilibre. Ainsi menée, la démonstration nous paraît rigoureuse.

Lagrange, au contraire, spontanément placé au point de vue moderne des forces, ne tient aucun compte du centre de gravité, et prend pour point de départ le levier, c'est-à-dire une ligne droite possédant un point fixe A, et sollicité par deux forces P et P'. Dans cette manière de voir, en effet, il n'est pas du tout évident qu'une force P agissant sur le levier puisse être remplacée par deux autres forces, égales l'une et l'autre à ~, et qu'on placerait sur le même levier à égale distance du point d'application de la première. Si nous pouvions douter qu'ici Lagrange a transporté au temps d'Archimède la conception relativement récente de la composition et de la décomposition des forces, il suffirait, pour s'en convaincre, de voir comment luimême rectifie et complète la démonstration du géomètre grec. On s'aperçoit qu'il lui prête cette conception, que l'effort supporté par le point fixe du levier "est égal à la somme des efforts P etP' ; ce qui était si peu dans la pensée d'Archimède que le point fixe A ne joue aucun rôle dans sa démonstration ; et qu'il ne le fixe, opération d'ailleurs toute implicite, qu'après y avoir trouvé le centre de gravité de P et P'.

Cette rectification faite, et il était important de la faire au point de vue philosophique de l'étude des méthodes, il faut reconnaître que la démonstration donnée par le géomètre moderne de ce principe, prêté sans raison à Archimède, est aussi exacte qu'ingénieuse. Lagrange démontre

d'abord que si deux poids égaux agissent aux extrémités d'un levier droit, la pression supportée par le point fixe égale la somme des deux pressions. « Pour cela il n'y a qu'à imaginer un plan triangulaire* chargé de deux poids égaux aux deux extrémités de sa base, et d'un poids double à son sommet. Ce plan sera évidemment en équilibre, étant appuyé sur une ligne droite ou axe fixe, qui passe par le milieu des deux côtés du triangle ; car on peut regarder chacun de ces côtés comme un levier chargé dans ses deux extrémités de deux poids égaux, et qui a son point d'appui sur l'axe qui passe par son milieu. Maintenant on peut envisager cet équilibre d'une autre manière, en regardant la base même du triangle comme un levier dont les extrémités sont chargées de deux poids égaux ; et en imaginant un levier transversal qui joigne le sommet du triangle et le milieu de sa base en forme de T, et dont une des extrémités soit chargée du poids double placé au sommet, et l'autre serve de point d'appui au levier qui forme la base. 11 est évident que ce dernier levier sera en équilibre sur le levier transversal qui le soutient dans son milieu, et que celui-ci sera par conséquent en équilibre sur l'axe sur lequel le plan est déjà en équilibre. Or, comme l'axe passe par le milieu des deux côtés du triangle, il passera aussi nécessairement par le milieu de la droite menée du sommet du triangle au milieu de sa base ; donc le levier

1. La figure (6) rend sensible la démonstration de Lagrange. ABC est le plan triangulaire qu'il imagine; 771 et m' sont les points milieux de AB et BG. A et G sont sollicités par deux foz'ces égales à /", et B par deux f. D est le milieu de AG, et I est le milieu de mm'.

366 GRA^'DS TYPES DE l'hUMAKITÉ.

transversal aura son point d'appui dans le point milieu, et devra par conséquent être chargé également aux deux bouts. Donc la charge que supporte le point d'appui du levier qui fait la base du triangle, et qui est chargé à ses deux extrémités de poids égaux, sera égale au poids double du sommet, et par conséquent égale à la somme des deux poids. »

(Lagrange, Mécanique analytique, 2'"<= édition. Tome P'', page 5.)

« Cette proposition une fois établie, il est clair, dit Lagrange, qu'on peut, ainsi qu'Archimède le fait, substituer à un poids en équilibre sur un levier deux poids égaux chacun à la moitié de ce poids, et placés sur le même levier, à distances égales de part et d'autre du point où le poids est attaché. »

Suit la démonstration de Lagrange que nous résumons : Soit un levier en équilibre {fig. 7), A le point lixe et B le point où est appliquée une force égale à 2p. On prend GB = BD. Il faut démontrer qu'on peut supprimer 2p et le remplacer par p et p appliqués en G et D. Pour cela nous prenons un levier droit {flg. 8) sollicité par 2 forces égales à p en C et D' : on a B'G' = B'D' = BG. En B' est une force 2p agissant de bas en haut. D'après le théorème précédent il y a équilibre. Si donc on superpose ce système sur le premier levier de manière que B' tombe en B, G' en G et D' en D, l'équilibre subsistera toujours. Mais la force 2p agissant en B sera détruite par la force 2p agissant en sens inverse, et il restera les deux forces j?, |), agissant en G et en D, ce qu'il fallait démontrer. »

« Cette superposition d'équilibres, dit Lag-range, est en mécanique un principe aussi fécond que l'est en géométrie la superposition des figures ^»

Enfin Lagrange, continuant d'employer des conceptions nécessairement étrangères à Archimède, étend au levier angulaire les conditions d'équilibre découvertes par le géomètre ancien dans le cas du levier droit. Soit un levier angulaire quelconque, dont le point d'appui soit dans l'angle, et les bras de levier tirés en sens contraire par des forces perpendiculaires à leurs directions, « Il est évident, ditil, qu'un levier angulaire à bras égaux, et mobile autour du sommet de l'angle, sera tenu en équilibre par deux forces égales, appliquées perpendiculairement aux extrémités des deux bras, et tendant à les faire tourner en sens contraire. Si donc on a un levier droit en équilibre, dont l'un des bras soit égal à ceux du levier angulaire, et soit chargé à son extrémité d'un poids équivalent à chacune des puissances appliquées au levier angulaire, l'autre bras étant chargé du poids nécessaire pour l'équilibre, et qu'on superpose ces leviers de manière que le sommet de l'angle de l'un tombe sur le point d'appui de l'autre, et que les bras égaux de l'un et de l'autre coïncident et n'en forment plus qu'un ; la puissance appliquée au bras du levier angulaire soutiendra le poids suspendu au bras égal du levier droit, de manière qu'on pourra faire abstraction de l'un et de l'autre, et supposer le bras formé de la réunion de ces deux-ci anéanti. L'équilibre subsistera donc

1. Ce principe n'est autre que celui dont nous avons précédemment attribué la conception première à d"AlemLert. La vue de Lagrange à ce sujet est au moins étroite.

368 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

encore entre les deux autres bras formant un levier angulaire tiré à ses deux extrémités par des forces perpendiculaires, et en raison inverse de la longueur des bras comme dans le levier droit.

« Or une force peut être censée appliquée en tel point que l'on veut de sa direction. Donc deux forces, appliquées en des points quelconques d'un plan retenu par un point lixe, et dirigées comme on voudra dans ce plan, sont en équilibre lorsqu'elles sont entre elles en raison inverse des perpendiculaires abaissées de ce point sur leurs directions ; car on peut regarder les perpendiculaires comme formant un levier angulaire dont le point d'appui est le point fixe du plan : c'est ce qu'on appelle maintenant le principe des monients, en entendant par moment le produit d'une force par le bras du levier par lequel elle

agit.

« Ce principe général suffit pour résoudre tous les problèmes de la statique. La considération du treuil l'avait fait apercevoir dès les premiers pas que l'on a faits après Arcbimède, dans la théorie des machines simples, comme on le voit par l'ouvrage de Guide Ubaldi, intitulé Mecaiiicorum liber, qui a paru à Pesaro en 1577; mais cet auteur n'a pas su l'appliquer au plan incliné, ni aux autres machines qui en dépendent^ comme le coin et la* vis, dont il n'a donné qu'une théorie peu exacte. *

(Laghange, Mécanique analytique, 2° édition. Tome I", page 7.)

L'on peut voir par ces différentes citations que si Lagrange a su constituer toute une théorie de la statique

fondée sur celle du levier, au moyen de la conception toute moderne des forces, de leur décomposition et de leur composition, il n'a pas su d'autre part apporter la philosophie qui convenait dans son jugement sur les procédés d'Archimède et se faire une idée juste de la marche suivie par ses devanciers.

Un dernier point nous reste à traiter.

Le fondateur de la mécanique rationnelle est également le créateur de l'hydrostatique.

« Son traité De insidentihus humido, dit Lagran^-e {Mécanique analytique^ tome P"", sixième section), ne nous est pas parvenu en grec; il y en avait seulement une traduction latine assez défectueuse, donnée par Tartalea, lorsque Commendin [entreprit de le restituer et de l'éclaircir par des notes; il parut par les soins de ce savant commentateur en 1565, sous le titre De iis quae ve^ huntur in aquâ. »

Archimède cherche dans les liquides une propriété fondamentale, susceptible d'être facilement constatée par l'expérience, et d'où l'on puisse déduire mathématiquement les conditions de flottaison et d'équilibre d'an solide plongé dans le liquide. Cette propriété, découverte par induction, et qu'il a dégagée des propriétés si multiples des liquides, il l'appelle hypothèse, et l'énonce ainsi :

« On suppose que la nature d'un fluide est telle que ses parties étant également placées et continues entre elles, celle qui est moins pressée est chassée par celle qui l'est davantage. Chaque partie du fluide est pressée par le fluide qui est au-dessus suivant la verticale, soit que le

fluide descende quelque part, soit qu'il soit chassé d'un lieu dans un autre. »

Le travfiil d'Archimède a donc un caractère mathématique, c'est-à-dire qu'il consiste en une suite de déductions tirées d'un principe directement emprunté à l'expérience. En effet, quoique désigné sous le nom d'hypothèse, ce principe émane de l'observation du fait le plus fondamental que l'on puisse apercevoir dans un liquide, à savoir son excessive mobilité, quand on exerce sur lui une pression quelconque. Mais comme un tel principe serait insufiisant pour établir à lui seul les conditions de stabilité des corps flottants, Archimède propose une deuxième hypothèse, qu'il énonce ainsi :

« Nous supposons que les corps qui, dans un fluide, sont portés en haut, le sont chacun suivant la verticale qui passe par leurs centres de gravité. »

C'est du premier théorème qu'il déduit les conditions de la flottaison dont on a fait le principe célèbre qui porte son nom. A ce propos il est intéressant de constater le procédé de déduction ou, si l'on préfère, l'artifice logique dont il s'est servi pour étayer ses raisonnements. Cet artifice consiste à imaginer dans la terre supposée sphérique et liquide (^^. 9) deux secteurs égaux et continus ADG, BDG, et à chercher ensuite moyennant quelles conditions un solide introduit dans l'un de ces secteurs n'altérera pas l'équilibre dont la propriété fondamentale est établie dans la première hypothèse.

Archimède démontre successivement les propositions suivantes :

1, « Proposition 1 . Si une surface est coupée par un plan

APPRÉCIATION DE LA SCIENCE ANTIQUE. 37 î

toujours pal' le même point, et si la section est une circonférence de cercle, ayant pour centre le point par lequel passe le plan coupant^ cette surface sera une surface sphérique. »

« Proposition 2. La surface de tout fluide en repos est sphérique, et le centre de cette surface sphérique est le même que le centre de la terre. »

« Proposition 3. Si un corps, qui, sous un volume ég-al, a la même pesanteur qu'un fluide^, est abandonné dans ce fluide, il s'j plongera jusqu'à ce qu'il n'en reste rien hors de la surface du fluide ; mais il ne descendra point plus bas. »

« Proposition 4. Si un corps plus léger qu'un fluide est abandonné dans ce fluide, une partie de ce corps restera au-dessus de la surface de ce fluide. » . « Proposition 5. Si un corps plus léger qu'un fluide est abandonné dans ce fluide, il s'y enfoncera jusqu'à ce qu'un volume de liquide égal au volume de la partie du corps qui est enfoncé ait la même pesanteur que le corps entier. »

« Proposition 6. Si un corps plus léger qu'un fluideest enfoncé dans ce fluide, ce corps remontera avec une force d'autant plus grande qu'un volume égal du fluide sera plus pesant que ce corps. »

« Proposition 7. Si un corps plus pesant qu'un fluideest abandonné dans ce fluide, il sera porté en bas jusqu'à ce qu'il soit au fond ; et ce corps sera d'autant plus léo^er dans le fluide, que la pesanteur d'une partie du fluide ayant le même volume que ce corps, sera plus grande. »

La fin du premier livre et le second livre en entier sont.

372 GR.V^'DS TYPES DE l'hUMANITB.

consacrés à la recherche des conditions d'équilibre d'un segment de sphère et d'un conoïde parabolique flottants sur un fluide. Nous rappelons qu'Archimède désigne sous le nom de conoïde parabolique le volume engendré par une parabole tournant autour de son axe; et que le segment de conoïde parabolique qu'il considère est toujours formé par la section faite par un plan perpendiculaire à l'axe du conoïde.

La seconde hypothèse sert de base à toute la théorie de la stabilité de l'équilibre.

L'artifice logique employé consiste à rechercher la poussée de bas en haut, exercée par le centre de gravité de la partie plongée, et la poussée de haut en bas exercée par le centre de gravité de la partie du solide placée en dehors du liquide, ces deux poussées demeurant parallèles entre elles et verticales. Imaginant des cas de plus en plus compliqués, Archimède examine dans chacun d'eux s'il y a ou s'il n'y a pas équilibre, et lorsque l'équilibre n'existe pas, il détermine dans quel sens le corps doit tourner pour l'acquérir. Il est bon de remarquer que, dans les démonstrations de l'équilibre des conoïdes paraboliques il considère la surface du liquide comme plane, tandis que dans celle de son principe il la suppose sphérique. Enfla nous ferons observer, avec Peyrard, « qu'Archimède regarde comme démontré que le centre de gravité d'un conoïde parabolique est aux deux tiers de son axe à partir du sommet. Cela n'est démontré dans aucun des ouvrages existants d'Archimède, ni dans aucun des ouvrages des auteurs anciens ; d'où il faut conclure que l'ouvrage où cette proposition était

démontrée du temps d'Archimède n'est point parvenu jusqu'à nous. » (Peyrard. Traduction d'ArcJmnède , page 520.)

« C'est Frédéric Gommandin, ajoute le même auteur, qui a démontré le premier dans son traité du centre de gravité des solides (jyroj). 29) que le centre de gravité d'un conoïde parabolique est un point de l'axe qui le divise, de manière que la partie qui est vers le sommet est double de la partie qui est vers la base. »

Tel est dans son ensemble, quant à l'esprit général des méthodes employées et quant aux résultats obtenus, ce livre « qui^ suivant Lagrange, est un des plus beaux monuments du génie d'Archimède et renferme une théorie de la stabilité des corps flottants, à laquelle les modernes ont peu ajouté. » {Mécanique analytique. Tome P"", page 176, 2'°*' édition.)

La théorie de l'hydrostatique est en eifet demeurée stationnaire jusqu'au commencement du xvii^ siècle, époque où Stevin^ en déterminant la pression exercée par un liquide sur les parois du vase qui le contient, rouvrit une voie dans laquelle Galilée et Pascal le suivirent avec empressement. On vit alors remettre à l'étude par les géomètres cette théorie, que des liens si étroits rattachaient à celle de la figure de la Terre, comme Archimède l'avait pressenti. Les Newton, les Huyghens, les Glairaut, les d'Alembert, la perfectionnèrent tour à tour, et Lagrange, enfin, lui donna sa forme mathématique la plus complète, tandis que d'autres, sous l'impulsion primitive de Galilée et de Pascal, développaient avec tant de succès sa partie expérimentale.

374 • GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

Signalons en terminant la profonde imperfection du langage mathématique que nous rencontrons dans le traité d'Archimède sur l'hydrostatique, comme dans tous ses autres ouvrages ; le mot densité, par exemple, ne s'y trouve pas. On juge, par là, de la difficulté qu'offrent à la lecture les énoncés de ces propositions dans lesquels une idée qui revient sans cesse et que nous exprimons par un simple mot, est remplacé chaque fois par une phrase entière. Plus une science se coordonne et se précise, plus •elle sent la nécessité d'introduire des mots nouveaux pour désigner les idées principales et faciliter d'autant les déductions.

Cet examen de l'hydrostatique d'Archimède termine notre appréciation générale de son œuvre. Quelques mots suffiront à en résumer les résultats et les caractères principaux :

Archimède a achevé de constituer la géométrie, en fondant, par la solution de cas nombreux, décisifs et difficiles, la théorie des quadratures et des cubatures des surfaces et des volumes courbes, et en ébauchant môme, par la mesure de la circonférence du cercle, la théorie des rectifications. Nous ne parlons ici que de ses découvertes les plus importantes.

Il a étendu le domaine de la mathématique en abordant la mécanique dans son cas le plus simple, celui de l'équilibre, par la double théorie du levier et des corps iiottants dans Teau. : .•

Enfin, par d'admirables inventions de mécanique pratique, il a fourni un remarquable exemple du passage de l'abstrait au concret, et contribué, comme l'a-

vaient déjà fait plusieurs pythagoriciens, à la fondation de l'art abstrait, conséquence nécessaire de la science abstraite.

Si maintenant nous recherchons les caractères de cette science antique^ tels que nous les rencontrons dans son représentant le plus considérable, nous voyons que les recherches portent toujours sur des cas spéciaux, c'est-àdire que les diverses études qu'on peut poursuivre sur les ligures, tangentes, rectifications, quadratures, etc., etc., sont faites sur chaque figure en particulier, sans que l'auteur se préoccupe de trouver des théories générales, propres à toutes les figures quelconques.

En second lieu, nous constatons l'absence absolue d'al*gorithme, c'est-à-dire d'un système hiéroglyphique, destiné à représenter les idées par des signes. Sans doute cela tient, comme nous l'avons expliqué dans le courant de cette leçon, à la marche même d'une civilisation qui, grâce aux Phéniciens, a débuté directement par l'écriture phonétique. Mais cela provient également de ce ca<ractère de spécialité profonde, que la force même des choses a imposée à la mathématique de l'antiquité. Seule, en effet, la généralité abstraite pousse à l'algorithme hiéroglyphique ; seules, les idées générales, par leur nature et leur moindre nombre, autorisent et demandent des signes spéciaux. En d'autres termes, ce n'est que lorsque les notions mathématiques ont été ramenées à un petit nombre de notions générales, qu'il est possible et nécessaire de les désigner par la combinaison régulière d'un petit nombre de signes. L'absence d'algorithme dépendait si étroitement de l'absence de généralité propre à la mathéma-

376 GRANDS TYPES DE l'hUMANITÉ.

tique de l'antiquité, que ces deux caractères ont disparu du même coup le jour où Descartes a donné à la science toute l'extension qui lui appartient.

Notre appréciation de la science antique serait incomplète, si nous ne proclamions, en terminant, toute la différence qui la sépare des théories théologico-métapliysiques, au milieu desquelles elle est née, et dont la domination s'est plus ou moins perpétuée jusqu'à l'avènement d'Auguste Comte.

Au point de vue intellectuel, on ne saurait nier la supériorité mentale de l'esprit scientifique sur l'esprit théologico-métapliysique quand on compare l'inébranlable stabilité et le développement croissant de l'un avec les divagations de plus en plus personnelles de l'autre; quand on considère, pour nous en tenir à l'antiquité, d'ane part ces progrès continus des mathématiques et de l'astronomie, de l'autre ce dévergondage croissant de la métaphysique, qui va aboutir au délire insensé du néoplatonisme.

Au point de vue pratique, la supériorité de la science ne semble pas moindre. La science, dès ses premiers pas, apparaît avec son double privilège, qui est de prévoir et de modifier. A peine est-elle née que déjà elle jette les bases de l'art abstrait, ce premier instrument de toute grandeur et de toute puissance, qui, placé entre les mains de l'homme, lui a permis d'améliorer son sort et lui permettra bientôt, sous l'inlluence du positivisme, de perfectionner sa nature.

Enfin, au point de vue moral, la supériorité delà science est plus grande encore. Il n'est pas de faute ou de crime

qui n'ait trouvé absolution dans les sophismes de la métaphysique et de la théologie, et si l'une et l'autre ont exercé en leur temps une action morale, qu'il serait injuste de méconnaître, c'est qu'elles n'ont jamais permis qu'on discutât leur principe et qu'elles ont trouvé dans le pouvoir temporel un allié toujours prêt à les protéger. Que l'on oppose une telle manière d'être à la rectitude et à la probité que porte avec lui l'esprit scientifique, et dont il a fait preuve depuis l'antiquité grecque jusqu'à nos jours !

Que notre dernier mot, en achevant cette étude, soit donc pour attester les sentiments de reconnaissance et de respect dont nous nous sentons remplis pour les créateurs d'une science qui, dès son berceau, contenait en germe tout le développement intellectuel, pratique et moral de l'Humanité! , •

SEIZIEJNJE LEÇON