I.KS C.r.OL'I'ES 1) OP.DIU: p

si V = 2, le raisoniiemcnt (ait tout à l'Iieure montre que A divise Ç.V, il faut (railleurs A <[ CP sans quoi tous les g,/"-' de G seraient abéliens. G|A peut être engendré par deux seulement des A;;,, car si l'on avait toujours G,-i = ]A, z,-, z>t! < G, G,* serait ahélien ou aurait tous ses diviseurs abéliens; dans les deux cas sf serait permutable à i^, donc dans A; et (^P diviserait A. On a donc G ^= j A, z^, z.,\, le commutant est cyclique et les deux exposants l)asi(jues de G|A sont égaux (8) ; je dis i\u(}, leur valeur commune (nécessairement >i, sans quoi CP = A) est i. Kn efl'ef, tout g,,-» - étant d'indice p- dans G, z''.' appartient à tons les g;/»-=; soit alors g un élément quelconque de G; si g est d'ordre =p"'~-, g appartient à un g^,-» = (abélien) contenant aussi z-if; si g est d'ordre yo'""', z'f appartient au <^,r-- ]g''[ ; dans les deux cas ^f est permutable à g. A devant diviser les centraux de g/,»— ayant tous leurs diviseurs abéliens, sera de figure (r) ou {rs) ou {rs\) et les seules figures possibles de G seront (/■)(22) ou (/-*)(22), avec r^s^i. Soit G = j A, e, f\, G I A étant de figure (2a), CP d'indice p"^ dans G et contenant A, et soit f-'ef = cc. Le groupe \k,ei',fP\ ^CP est dans G d'indice Sy^^ donc CP = ;A, e'',/''!. Le g/,» • G' = ! (T, e[ = ]k, f, e\ n'est pas abélien, sans quoi //', permutable à e, serait dans le central A de G; donc G' doit avoir tous ses diviseurs abéliens. Le central A' de G' contient ] A, e'' \; et, comme ; A, e''\ est d'indice S p- dans G', on a A'= j A, eP\. A' f'',A'e formant une base de G'| A' et le commutant de G' étant ]cP[, pour que G' ait tous ses diviseurs abéliens il faut(|ue l'on aitD'=: \eP,f''\ c/'{ = A'. Or si l'on pose YJ = \e'''' , f>''' ,cP\, K' divise A et l'on a (D', E') = (A', A) — yo; il faut donc que l'on ait (E', i) = (A, i) donc E'= A. Ainsi pour que G ail tous ses gi'»--. abéliens il faut que l'on ait ) ef , f''\ cP\ — A. Celte condition est d'ailleurs suffisante; en effet E' divise tous les g),»'-: car e'', /'', c appartenant à tous les gy»-s e''"', f'', c'' appartiendront à tous leurs g/»-=. \jn g^,».-'- quelconque G" s'obtiendra donc en adjoignant au gy» « A ou bien un élément d'ordre/;- moilA et alors G" est évidemment abélien, ou bien deux éléments d'ordre /j modA et alors, ces deux éléments étant nécessairement dans CP donc permutables. G" est encore abélien.

Les types de figure (/-)(2a) étant connus, nous allons déterminer ceux de figure {rs) (22), (r;ç)(iii), (/•*i)(iii), en nous boi-nanl, sauf quand l'ordre du groupe est//, aux types dont tous les g,,-»-- sont abéliens.

Figure (rs)(lll) avec détermination des types de cette figure dont tous les g,,'" •- sont abéliens.

18. En tenant compte des conditions d'automorpbisme et de fermeture, les équations de G auront la forme

«''' — ^/'' — I, c''=:6'a«, dP-bV-a^, e"—b'ar, d~'cd=cO''r 'aPi'"^', e-'ce = cù'^'P'~'aPy~', e-'rfe = db^'P'"' a9'p'-'.

FIGURE {rs)(i 1 1). 33

Le commutant ne pouvant être cycluiae (8), on peut toujours choisir r/, e de manière

(|uc (t" soit yéo et prendre l/'(fi"P' ' pour h, autrement dit, supposer p" = o, g" = i. On

peut ensuite toujours prendre e''c/~'''c pour c, c'est-à-dire supposer a = a-' = o; puis a^'

pour rt ou pr/P~' pour e suivant que l'on a p'^ ou ^^^o, c'est-à-dire supposer p'=i;

puis P~Pr/ pour cl, c'est-à-dire supposer p — o. Les trois dernières équations de G peuvent

donc s'écrire

d~^ cd = c, e~' ce - cai''^' ', e^' f/e = chi'"'.

Si alors on pose

g — e-dyc^, g — e- di' c""' , g>':=ié'"d''"c^"b'^-i''a^^"r'~\ gi'=: b'h'(r^r,

on a

g' g = e''+~ dy'^y c-^-+-^ by'-i''^' a-^'-i'''" , g''g'-'gg'=: ^,(r='-=.v';/'-'a(-'-'-=-''i/'''~',

B,,= la; + (xy -H vs + £/;/^'-', A,,= x.i- -h ^y -H y^ + zjrzp''

Le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G est de la forme

rt,= Z*^rt?, b^'-zb^' cfip'^', c^^ze^dyc''b''a'', di=z e- dy c''' b''' a''', e ^~ e-" dy" c"" b'-" a''" , avec les conditions

et fournit sur les exposants des équations de G une transformation définie par

(i) I z"{^tœ -h iJ-tx' /)'■-'') =sxje' -h ^y' -h ph' \ mod p';

- f 5"(y, X 4- V, x'p'-"^) = ax"+ ^y"-hyz"+ sx"z"p'--' -\-ph" \

I x^-n-^l^y' z" — la- +ij.nz"-^p'--'^ pk \

(2) l&,-n+ij.,fz"^.lx'+lj.f + pl:' modp%

( y, -1 +• V, y'z"-^. lx"-\-^y" 4- vc" + ej-";"/^'-' + />/'■" )

avec :-"{xy' — x''/]p''~') 3à o.

PUKMIEU CAS. /->*>■ I.

Les systèmes (i) et (2) entraînent

i z"a,^.x, i a^-n^-l^ y'z"=lx,

(.') . xz"^,= ax'+^y', (2') < p,ri+ F, /-"=:: Xx' + pij',

( j;-"y, = «j;" + (3 v"+ yc"; ( y, t, -*- v, 7'3"= >,^"-t- p,j "

LKS GROUI'ES I) ORDRE

!t si (i'). (2') sont

il toiijc

(lé toi

(le manière a vérifier (i) et (2).

Or les formules (i') montrent que l'on peut toujours faire sur a, [i, y l'une des (juatre liypotlièses irréductibles l'une à l'autre

avec a, = a, ^, = ^, y, = y.

Si l'on a oc = ^ = Y = o, les formules (2') montrent (}ue G a les (juatre types

), r= o, |J. = O, V = O, I ; ), := o, fjl r= I , v = O ; /. m: I , fx r- v "r o.

Si l'on a a = ^ = o, y = 1, donc ojefei, les formules (2') qui deviennent

>., 7' ;"=/., ^tyz"=lx' + ij.y', n + v,/';":^ >,x"t- p.v"4- v;" montrent que G a les trois types

), = o, ]:/ =r o, I , V ^: o ; ), =r I , jljL rr: V =r o.

Si l'on a a = O, ^ = 1,^ = 0, doncyEEEEa;=", j"=^o, les formules (2') qui deviennent

montrent que G a

poury>>a, les qualre lypes : >. = fjt = o, ])our/>=:2, les trois types : À — |m = o,

Si l'on a a = i, [5l = y = o, donc s"sehi, a''ifsa;"=7- o, les foi'mules (2') qui s'écrivent montrent que G a les /> -+- 1 types

'J. = lj. — o, V = o, I ; ), = o, ,a -- 1 , 2, . . . , /j —

lj.~

Deuxième cas. r > a- = i , Les systèmes (1') ot (2') sont maintenant

Yl'/i + /' 5" V, = ). as" -h [J.y" -t- V z" -

KlllUllK (r5)(iii). 35

Les formules (i') étant les mêmes que dans le premier cas, il y a à faire sur a, |3, y les quatre mêmes hypothèses.

Si l'on a a = ^ = Y = o, les formules (a) montrent que G a quatre types qui sont

si /-» > 2 : }.:^[i = o, v=::o, i; )i = o, |^"i, V — o; ?. ~r, |Ul = v = o,

V>\ p --2 : X = f/. ;= V = o ; X =3 o, p^ =^ < , v ^ o, i ; X =r i , pi =:: v =r o.

Si l'on a a — [3 = o, Y = I , donc a; ^es i, les formules (2') qui s'écrivent

yz"li=l, y z" it^^lx' + i>.y' , YH-/5"v,:sXx"+(ij"-t-v;"-i-£/'5"

permettent de faire toujours v, = o, et donnent pour G les trois types }, =: o, pt.=ro, I, V = o; / = f, p^v = o.

Si l'on a a = o, [3=1,7 — 0, donc xz"^;F^y', y"^^.o, les formules (2') deviennent

et donnent pour G

si /? est > 2, les quatre types : ■ )i = pi. = o, v = o, i; X=i,N, ^=::v = o;

si/> = 2, les trois types : >, = pL = o, v=:o, i; X = i, f/^v = o.

Si l'on a a = I, fl = Y = o, donc :;''e^i, a;'EïHa;"sso, les formules (2') deviennent

Ti^y\ï=lx, fi,= n, y,7'=(fi + £) v"h-v

et donnent pour G /> -i- i types qui sont

poiir/;>2: X = fx = o, v — o, 1; X:r=o, pi =r 1, 2, . . ., /^ — 1, vr=o;

pou r /> = 2 : >. = pi = V T= o ; X = o, /Ji = i , v =; o, i .

Troisième cas. /• = 5 >• i .

Les systèmes (i) et (2') qui s'obtiennent en prenant mod/? les systèmes (i) et (2) sont ici

( z\a^x+l^x')~xx -1-(3j, / z"{y.iy + \y) = lx + ixy,

(■') h:"((3,x+pi,a.-') = ota;' + (3y, (2') ^"((3, j +,^,7') = >, .z' + fx/,

3() • LES GROUPES d'oUDHE //'.

Or si, dans l'étude (') des g/,''(/'> 2) de figure (11) (1 1 1), on échange d et e, et si l'on prend />"' pour /j, on est précisément amené à discuter les formules (i') et (2'). Cette discussion l'ournil donc en même temps tous les types de gy» (p > 't) de figure (rr)(i i 1) où r est >► i.

Si p = -2, il vient, en résolvant les deux premières de chaque système,

a, = /(a.r -+-[3/ )-ha:'(lx + fx/ ), )., = À^ -t-jS/ + (a -t- ij.)xy, ix,=y {c(x'-h^y') + x (>..r'--f- fxy'), [3, = ),x'-r- (3/+ (ot -t- |/)a;'/.

On en tire a, -H p.|=sa + ix, et l'on peut faire ^,X, = o toujours et seulement si l'on a

Supposons [3 = X := a 4- ij. = j . En prenant x = o, x =y' -= i, j = a, on peut faire a, = o, donc a, = I . Soit a, = a = o, ^, = [3 = A, = A = a, = a = i , donc

on peut toujours déterminer a?", y de manière à faire y, = v, = o, d'où un seul type

ot = o, [3 = >, =: /ji = I , y = V =; O.

Supposons a -H [ji. = I , |3a — o. En prenant x' et j' solutions non toutes esso de Àx-'-f- ^y+ aj'j'sso, on peut faire ^, = 0. Soit ^, = [3 = 0, donc o^^x Çk+ y'^). En prenant a'^o, ar = y'=i, j = X, on peut faire X, = o. Soit X, = X = o, donc a'v^o;' y'^=o; on peut faire a = o, donc [x, = i en prenant a^v' = [/., vj;-'=a. Soit a, = a = o, ij.| = pi = I , donc jïEEaj'^o, x^^y'^E^ \ ; il reste

d'où les deux types

Supposons a -+- [i. — o. On a p, = X, = o toujours et seulement si l'on a ^ = X = o. S'il en est ainsi, il reste a,^a. En prenant a, = a = o on a

l'où les deux types

V rz: o, I.

(') De SÉGi'iER, Eléments de la tliéorie des groupes abstraits, Chap. IV.