SI P
si /? = 2,
les cinq autres correspondent aux cinq derniers systèmes a, a', p, ^', y. y' trouvés dans les deux premières hypothèses faites sur A, a, v. Seul le type correspondant à a = o, a'= fl = I, ^' = Y = y' = o a tous ses diviseurs ahéliens.
FIOURF. (rSi)(i I ). 2()
Decxikmf. cas r = *>>i.
On peut toujours faire une des deux hypothèses irréductibles l'une à l'autre :
La première conduit aux mêmes formules de transformation que pour /■ ^ s; d'oii pour G les sept mêmes types. La deuxième conduit à
Ça, + Ç'S, -H r-/, = y.z^ + y'y + e-^-j, r< + Ç',S', + r"-/, = 7^' + 7'/ + -r'.r',
d'où pour G les cinq types
si p> 2,
si /J == !,
Seul le dernier a tous ses diviseurs abéliens.
Troisième cas. r'^s~i.
La condition de figure étant 1 ou tx ou v^ o, on voit qu'on peut toujours faire sur À, [A, V une des deux hypothèses irréductibles l'une à l'autre :
/^i = ft = v, = v = o, ),, = X = i; ;j., — ;j, — o, v,-;v=:i, /, = ?. = (3.
La première hypothèse donne la condition ^lE^xy' — yx' et les formules prises mod/> de la transformation la plus générale des exposants restants sont
^■iÇ =3£.r + a'/, a'|Ç = xa-' -h 0('y',
a, r; + (3, r/ + y, r/' e= |3 .r + [S'j-, 'j.\ -fi + fi', r/ + ■/', r," s ^ j:' + (3'/',
On peut donc ramener a, a' à l'un des deux systèmes irréductibles entre eux : a = o, Cf.' = o, I. Si l'on a a = a'= o, on voit que G a les trois types
'^O I.KS (IROrPES n'oUDUK /;".
I.e dernier, si l'on suppose r= 2, est un groupe que l'on retrouvera plus loin : le g^/ de ligure (21 i)(ii) dont tous les g,/ sont abéliens. Si l'on a a, = a = o, a', = a' = i, donc ysso, .VE^j, ^:;~y, on voit que G a les deux types
La deuxième hypothèse : (x, = [jl = o, v,=v = i, a, = X = o donne les conditions ^"Esr/'i^EO, 'Ç" ^;£a xy' — YJe' et les formules prises mod/j de la transformation la plus générale des exposants restants sont
On voit de même que G a les sept types
a — «'= (3=r(3'=o, y = o, y'=:o, i, si /; > 2,
a ;= «'= |3 ^ j3'= o, 7 = 0, I, y'='> si/?=:2,
iZ = o, a'=i, 3 = 0, y = o, I, ^'='/=zo, x — o, x'—i, P=i, y=:P'r=y'=o.
Le dernier est le seul groupe de figure (n i)(i r) r>- i, qui ait tous ses diviseurs abéliens.
Les g//» métabéliens ayant tous leurs g/,» ■ abéliens.
17. Quelques-uns des types des figures (/•i)(i 1 1), qui nous restent à étudier, ayan tous leurs gy"-= abéliens, proposons-nous de déterminer en outre tous les g^/» métabéliens dont tous les gy» = sont abéliens, sans que tous leurs g^-"-' le soient.
Soit G un gj," mélabé/ien ayant tous ses g/,'"-' abéliens sans que tous ses g.,'«
le soient, A le central de G, A;,, ..., A:;^ un système de générateurs indépendants (') de G | .\ et
I ï, -^ji! = 1'^. Comme E n'est pas abélicn, il faut (G, E)^/r?.
Si l'on a (G, E) = />, A a un é'èmenl d hors de E, d^ étant dans E, donc dans le central I) de E, et l'on a G = j E, (/', E ayant tous ses diviseurs abéliens. Inversement si E a tous ses diviseurs abéliens et si d, d'ordre p rnodE est permutable à fous les éléments de E, je dis que
( ') Les Az, ((' = I, . . ., [x) sont dits indépcndaiiis dans G ] A ou modA quand aucun des 3, n'est dans un complexe de la forme A ^^j,' . . . z]'~\ z]'^^ . . . z^-^ .
LES G^,- MÉTABKLIKNS AYANT TOIS LEURS Gy'-= AIÎÉLIENS. 3l
flans G loul gp'" > G' autreqiieEesl abèlien. En eiïct, soit (13) E = ;e,/;, D = ;«/', /'',e'/~' ef\; le p. g. c. d. des g,/— de G est ici (13) j D, </'' | = D; si G' est différent de E, G' contient r/, donc G'= I D, d,f^(f\. Or ; D,/'e'"| <;E est abélien et tous ses éléments sont perniutahlos à (L
(Jierolions les équations de G. Ou peut sans changer G remplacer c/ par un élément quelconque de ErA Supposons d'abord E dejigure (rsi) (i i), ses équations sont (16)
aP'' = bi'' = cl' = I , ei'=a, f'—b, f-^ef=ec.
Soit di' = c^ b'^ (v" . Si l'on prend df~^e''^ pour don aura d''=c<, on peut donc toujours supposer d'' dans le commutant \c\ de E. Alors i« y est es;o, G esl produit direct de E par \d\; si y est ^ o, en prenant r/^ ' pour d on aura dP= c; comme A = ; a, h, c [ est produit direct des groupes \a\, \b\, \ d[, G est de /igure (rs2.) (i t) et a pour e'c/uations
ai'''= y = c/r'- =: I , e'' — «, //' = b, / ' e/ = ed''.
Supposons ensuite E de figure (/■s)(ri) ou (/■)(ii); on pourra toujours, en prenant df-e-^ pour d, déterminer a; et j de manière à avoir «'''= j ; G sera donc toujours produit direct de E par J d\.
Soit maintenant E = G. Désignons par P le p. p. c. m. des yo-ièmos puissances de G, par CPj",, . . ., CPiCv une base du groupe abélien principal G| CP. Ou a vu qu'il faut v > i , sans quoi G est cyclique (13). 6Ï v est >3, tout g^,»'-'+2 1 CP, ar-,, x^\ est abélien, donc aussi G. Si v = 3, tout gy"-"'; CP, a;,! est abélien, donc CP divise A. Or A ne peut être > CP, car tout élément de G étant de la forme ^ =cJT-J'. c étant dans C et par
suite dans A, g ne peut être dans A que si TT^J' t'st dans A, c'est-ii-dirc si l'on a y,^^o
(]uel que soit «(les z-i sont par hypothèse indépendants modA). Donc A = CP; G|A est abélien principal d'ordre p^ ; A qui ne peut être cyclique (3) et doit être central des g/" ■ non abéliens de G ayant tous leurs diviseurs abéliens sera ( 13) de figure {rs) ou {rs i), et G sera dejigure {rs)(^\ i i) ou {rs i)(i 1 1).
Si l'on a (^P = A, un g^/«-i quelconque de G sera G' =\X, g, g'\, un déterminant
d(! , •^, . étant p^ o. Si G' n'est pas abélien, son central est A. G'I A étant principal
d'ordre /r, la condition nécessaire et sultisanle pour que G' ait tous ses diviseurs abéliens est (13)
Donc, pour que G ait tous ses gi,«'--- abéliens, il faut et il suffit que dans tout gj/n-^ non abélien \ A, g, g'\ on ait \ gP, g'P, g~' g'~'gg'\ = A. Le théorème du n° 14 fournit l'expression de cette condition.
