I.F.S CROIPKS I) OliDRE jr

xz — zx =^yz' — zy

On obtient ainsi un g/,-»- } A , g-, 5-' { non abélien.dans lequel D' est < A et qui, par suite, a un g/,-" I non abélien. Soit Jonc asE^^o, ^[y^o. Si s est > I, on peut trouver x,y., z, a/, y', -' vérifiant

^y[}.{zx'- xz') + ix{zy' - yz-)]

et non

xz' — zx's^yz' — zy' ^^ o.

On obtient ainsi encore un g,,™- qui, comme précédemment, a un g^,™-; non abélien. Ainsi, aucun gp«^ de figure (r*)(i 1 1 ), r>5 > i , lia tous ses g^m-, abéliens. Si s = i et Xsso, on a

y-ij

Si donc on prend

yz'— zy'=o.

donc £;;'( j -+- v') = o,

on a D'< A, par conséquent, le g^/'-- obtenu a un gy ' non abélien. Si X est ^o, un déterminant de la matrice de D' est toujours =^ o, à moins que G' ne soit abélien, car, si les trois déterminants sontsso, on a

o = z{yz'-zy') = ='(/-'- -/) = H^oz'-zx') -h i^^yz'-zy') ^,zz'{y+y').

Si donc on prend z^^z'^o. G' est abélien; si l'on prend yz' — zy'^B:0, donc izz' {y -\- y')--^o, xz' — zx'^^-o. G' est encore abélien. Ainsi, le type de Jigure(rs)(i 1 1) (r> 1) correspondant à

est le seul qui ail tous ses g,/"-' abéliens.

Supposons r = 5 = 1, donc G d'ordre />' et de figure (r i)(i 1 1). Les types de G sont connus ('); si les trois dernières équations de G sont mises sous la forme

d-^cd^=c, e-'ce :^ ca, e~^de ^=z db,

(I ) I^E Skgiier, Éléments de la théorie des groupes ab.straitx, Cliap. IV.

niu;iiE (/■^)(i 1 1).

les équations caractérisant les divers types de G sont

dP=.X,

rf^=i,

ci'—\.

doz^x.

ir.

dP—a,

ei'= t.

iir.

dP=a,

eP~b-'.

IV'

dP-b-',

eP= I.

d-=ia.

e-zz: I

di'~b-\

eP = a.

vr.

d'=za.

dP~b,

eP — I .